【初中 数学】平行线的证明第2课时教学课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第七章

证明7.3平行线的证明第2课时01教学目标02新知导入03新知探究04巩固训练05课堂小结06作业设计01教学目标能以“两直线平行，同位角相等”为依据，证明平行线的内错角、同旁内角性质定理；理解“平行于同一直线的两直线平行”的证明思路，区分平行线的性质与判定；01通过推导性质定理，经历“正向推导+初步感知反证法”的过程，提升逆向思维与逻辑推理能力；02发展逻辑推理能力，形成“性质证角相等、判定证线平行”的应用意识；03体会逆向思维（反证法）的独特价值，感受平行线定理体系的严谨性，培养“辨明条件结论，规范推理”的科学态度。0402新知导入复习回顾：1.平行线的判定方法有哪些？2.上节课我们用“同位角相等，两直线平行”证明了内错角、同旁内角的判定定理(已知角相等，证线平行)。反过来，若已知两直线平行，它们被第三条直线截得的同位角有什么关系？相等，这是我们之前用的性质.判定方法一(基本事实)：同位角相等，两直线平行；判定方法二：内错角相等，两直线平行；判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.02新知导入3.两直线平行，它们被第三条直线截得的同位角相等，但这个性质能直接作为证明依据吗？为什么？不能，因为这个性质不是基本事实，需证明其正确性。03新知探究思考：如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？思考：根据“两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等”。你能作出相关的图形吗?已知：如图7-9，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角。求证：∠1=∠2。不平行03新知探究证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图7-10所示．根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD．又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2.03新知探究平行线的性质定理1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。简述为:两直线平行,同位角相等。应用格式：∵AB||CD,∴∠1=∠2.概括有时,直接证明很困难,我们就证明命题的另一面不成立。也就是假设结论的反面不成立,推导出与已知条件、定理、基本事实矛盾,那么所作的假设不成立,原命题成立。方法总结03新知探究03新知探究思考：在上一节中,我们利用“同位角相等,两直线平行”推出了“内错角相等,两直线平行”,类似地,已知两直线平行,同位角相等,能否得到内错角之间的数量关系呢?已知:如图7-11所示,直线11||12,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的内错角。求证:∠1=∠2。分析：由条件11||12可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与∠1，∠2有什么联系？03新知探究证明：11||12(已知)，∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)。又：∠2=∠3(对顶角相等)，∴∠1=∠2(等量代换)。03新知探究平行线的性质定理2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。简述为:两直线平行,内错角相等。应用格式：∵11||12∴∠1=∠2概括03新知探究解:∵a∥b(已知),∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)。∵∠1+∠4=180°(补角的性质),∴∠2+∠4=180°(等量代换)。思考:类似地,已知两直线平行,能否得到同旁内角之间的数量关系呢?如图所示,已知a∥b,那么∠2与∠4有什么关系呢?为什么呢?03新知探究平行线的性质定理3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。简述为:两直线平行,同旁内角互补。概括平行线的性质定理:平行线的性质定理1：两直线平行，同位角相等；平行线的性质定理2：两直线平行，内错角相等；平行线的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补.方法总结03新知探究03新知探究它们的条件和结论的互换。平行线的性质定理是已知两直线平行,得到角的关系;而判定定理是已知角的关系,得到两直线平行。思考:平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？分析由条件b∥a,c∥a可以得到哪些等量关系？为了证明b∥c需要怎样的等量关系？已知：如图7-12，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.例03新知探究解析证明：∵b∥a(已知)，∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等)．∵c∥a(已知)，∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等)．∴∠2＝∠3(等量代换)．∴b∥c(同位角相等，两直线平行).03新知探究03新知探究一般地，我们有如下定理：定理：平行于同一条直线的两条直线平行。应用格式：∵b∥a,c∥a,∴b∥c.概括03新知探究(1)证明一个命题的一般步骤①根据命题,找出命题的条件和结论;②根据命题画出图形,写出已知、求证;③从已知条件出发,根据基本事实、定义、等式的性质等,演绎推理出结论。回顾反思：(1)回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？(2)对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？03新知探究(2)依据匹配原则：若已知“两直线平行”，优先用性质定理推导角的关系(如同位角/内错角相等)；若需证明“两直线平行”，优先用判定定理，从角的关系(相等/互补)切入。转化思维应用：遇内错角、同旁内角问题，可通过对顶角相等、补角定义等，转化为已证的同位角关系，依托“两直线平行，同位角相等”推导。避免混淆技巧：明确“性质是‘线→角’(证角用)，判定是‘角→线’(证线用)”，每步标注依据时，先判断是“用性质”还是“用判定”，再对应选择定理。2.如图,已知a∥b,l与a,b相交。若∠1=70°,则∠2的度数等于(

)A.120° B.110° C.100° D.70°04巩固训练DB1.如图,一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向,∠A=130°,那么∠B的度数是(

)A.160° B.150° C.140° D.130°3.如图,AB∥CD,CE平分∠BCD,∠B=36°,则∠DCE等于(

)A.18° B.36° C.45° D.54°A5.如图,AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°,则∠D=

°。4.一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=102°,则∠2的度数为

。78°10004巩固训练证明:∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3。∴BD∥CE。∴∠C=∠DBA。∵∠C=∠D,∴∠D=∠DBA。∴DF∥AC。∴∠A=∠F。6.如图,已知B,E分别是AC,DF上一点,∠1=∠2,∠C=∠D。求证:∠A=∠F。04巩固训练05课堂小结通过本节课的学习你收获了什么？平行线性质定理定理1：两直线平行，同位角相等(反证法证明)；定理2：两直线平行，内错角相等(转化为同位角，用定理1推导)；定理3：两直线平行，同旁内角互补(转化为同位角，用定理1+补角定义推导)；推论：平行于同一直线的两条直线平行(性质+判定综合证明)。反证法初步逻辑：假设结论不成立→推导与基本事实/定理矛盾→否定假设，确认原结论成立。性质与判定辨析性质：条件是“两直线平行”，结论是“角相等/互补”，用于“由线推角”；判定：条件是“角相等/互补”，结论是“两直线平行”，用于“由角推线”。2.光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中斜射向空气时,要发生折射。由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的。如图,∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4的度数为(

)A.165° B.155° C.105° D.90°1.如图,AB∥CD,EF∥GH,∠1=60°,则∠2补角的度数为(

)A.60° B.100° C.110° D.120°06作业设计基础达标：DC3.如图,直线m∥n,△ABC是直角三角形,∠B=90°,点C在直线n上。若∠1=50°,则∠2的度数是(

)A.60° B.50° C.45° D.40°06作业设计D基础达标：4.如图,有一条直的等宽纸带,按图折叠时形成一个30°的角,则重叠部分的∠α等于(

)A.75° B.70° C.65° D.60°A06作业设计能力提升：5.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图2是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°。当AM∥CB时,∠MAC的度数为(

)A.16° B.60° C.66° D.114°C6.某些灯具的设计原理与抛物线有关。如图,从点O照射到抛物线上的光线OA,OB等反射后都沿着与PQ平行的方向射出。若∠AOB=150°,∠OBD=90°,则∠OAC=

°。607.如图所示是地球截面图,其中AB,EF分别表示南回归线和北回归线,CD表示赤道,点P表示太原市的位置。现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26'(∠BOD=23°26'),太原市的纬度是北纬37°32'(∠POD=37°32'),而冬至正午时,太阳光直射南回归线(光线MB的延长线经过地心O),则太原市冬至正午时,太阳光线与地面水平线PQ的夹角∠α的度数是

。

06作业设计能力提升：

06作业设计能力提升：证明:∵AB∥CD,∴∠BAD=∠D。∵AD∥CE,∴∠D=∠C,∠DAE=∠E。∴∠BAD=∠C。∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠C+∠E。8.如图,已知AB∥CD,AD∥CE。求证:∠BAE=∠C+∠E。