【初中 数学】角平分线的性质定理及其逆定理课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件1.5.1角平分线的性质定理及其逆定理第一章

三角形的证明及其应用进行新课知识点1角平分线的性质OECBAD通过刚刚的折纸活动，你能得出什么结论？角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。你能证明这个结论吗？已知：如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。求证：PD=PE。OABC12PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°。∵

∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）。∴

PD=PE（全等三角形的对应边相等）。1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是(

)A．4B．3C．2D．1C返回2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD，则下列关系不一定成立的是(

)A．PC＝PD

B．OC＝ODC．CD垂直平分OP

D．PO平分∠CPDC返回定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的性质：应用所具备的条件：①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离。定理的作用：证明线段相等OABPDE定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为E，F，∴PE=PF角平分线的性质：OABPDE3．[教材P37“例1”变式]如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝8cm，AD＝5cm，DE⊥AB，则AE＝________cm。

4返回4．(4分)[西安交大附中月考]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC于点E。求证：AB＝BE。

返回练一练如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB。若AC=2，DE=1，则S△ACD=______。1FDF=DE=1S△ACD=AC·DF=

×2×1=1尝试·思考知识点2角平分线的判定你能写出这个定理的逆命题吗？定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。逆命题：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。逆命题它是真命题吗？角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点。假命题在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。如何证明？已知：如图，点P

为∠AOB

内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E

，且PD=PE。求证：OP平分∠AOB。OAB12PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠ODP=∠OEP=90°。∵

PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）。∴

∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）。∴OP平分∠AOB。定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。角平分线的判定：应用所具备的条件：①位置关系：点在角的内部；②数量关系：该点到角的两边距离相等。定理的作用：判断点是否在角平分线上OABPDE定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。角平分线的判定：OABPDE几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上5．如图，OC是∠MON内部一条射线，P为射线OC上一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B。下面不能判定OP是∠MON的平分线的是(

)A．∠MOC＝∠NOC

B．PA＝PBC．OA＝OB

D．PB＝OBD返回6．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5cm，DE＝5cm，∠ACB＝58°，则∠DCE＝(

)A．26°B．29°C．58°D．32°B返回例1

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长。ABCDEF解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)。又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°。在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴

DE=AD=×10=5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。练一练如图，BD=CE，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD交于点F。求证：点F在∠A的平分线上。证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠FDB=∠FEC=90°。又∵∠BFD=∠CFE，BD=CE，∴△BDF≌CEF（AAS）。∴FD=FE。又∵FE⊥AC，FD⊥AB，∴点F在∠A的平分线上。角平分线的性质角平分线的判定图形已知条件结论OP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

E归纳：OABPDEOABPDE7．如图，已知点P为∠AOB内部一点，PA⊥OA，PB⊥OB，PA＝PB，C为OP上一点，CD⊥OB于点D，且CD＝7，则点C到OA的距离是________。

7返回8．(4分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。

返回9．

如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(

)A．d1与d2一定相等B．d1与d2一定不相等C．l1与l2一定相等D．l1与l2一定不相等A返回3返回11．[咸阳月考]如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，若∠ADC＝120°，连接AE，则∠BAE＝________°。

30返回12．[东营中考]如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________。

3返回13．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，直线DE是AB的垂直平分线，与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD。

(1)求证：AD平分∠BAC；证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°－∠B－∠DAB＝30°，∴∠CAD＝∠DAE。∴AD平分∠BAC。(2)若CD＝2，求△ABD的面积。返回14．(8分)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC上的一点(不与点A，C重合)，连接BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E。(1)若BD是∠ABC的平分线，求证：BD＝2AE；证明：如图，延长BC，AE，相交于点F，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°＝∠ACB，∠ACB＝∠AEB。∵∠BDC＝∠ADE，∴易得∠CBD＝∠CAF。又∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF，∴BD＝AF。∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠FBE。∵BE＝BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∴△ABE≌△FBE(ASA)，∴AE＝FE，∴AF＝2AE