广东省广州市天荣中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（含答案）

广州市天荣中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝36°，则∠AOB的度数是（）A．36° B．72° C．64° D．54°3．如图，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（）A．70° B．40° C．30° D．10°4．如图，正六边形绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（）A．30 B．60 C．120 D．1805．关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（）A．开口方向向上 B．与y轴交点坐标为（0，2） C．顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而增大6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣17．学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排36场比赛，设参赛队数为x，则列方程为（）A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36 C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝368．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）．当不等式ax2＞kx+b成立时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞49．如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，AB⊥x轴，将四边形OABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，第2025次旋转后点C的坐标为（）A．（﹣3，） B．（3，﹣） C．（，﹣3） D．（﹣，3）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，向左平移2个单位，平移后的二次函数解析式为．12．若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k的值为．13．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B＝．14．如图，已知点A，B，C在⊙O上，∠OCB＝45°，∠ABO＝70°，则∠AOC＝．15．若抛物线y＝x2﹣6mx+8m2+5m+1的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为．16．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′．下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOC＝150°；④S△AOB+S△BOC＝6+4；其中正确的结论是．三、解答题（共9小题，满分72分）17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）18．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点均在格点上．（1）请画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA′B′；（2）直接写出点A′坐标．19．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD，求证：AD＝BC．20．某地2023年投入教育经费1000万元，2025年投入教育经费1210万元．（1）求2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2026年该地区将投入教育经费多少万元？21．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（1，2）、B（﹣3，2）两点．（1）求二次函数的解析式和顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤2时，直接写出y的取值范围．22．关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若两根x1，x2满足，求k的值．23．根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．【素材2】种植苗木时，每棵苗木高2.44m．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）【解决问题】（1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点A，B，C的坐标，求出抛物线的解析式；（2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即y＞2.44），确定种植点的横坐标x的取值范围；（3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最右边一棵苗木种植点的横坐标x的值．24．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与坐标轴分别交于A，B，C三点．（1）直接写出点A，B，C的坐标，以及抛物线的对称轴；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得三角形MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D是y轴右侧抛物线上一个动点，当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．25．（1）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，求证：BC＝DC+CE；（2）探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝6，CD＝2，直接写出AD的长．广州市天荣中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BBABBCCDCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，向左平移2个单位，平移后的二次函数解析式为y＝（x+2）2﹣1．12．若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k的值为4．13．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B＝50°．14．如图，已知点A，B，C在⊙O上，∠OCB＝45°，∠ABO＝70°，则∠AOC＝130°．15．若抛物线y＝x2﹣6mx+8m2+5m+1的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为1．16．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′．下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOC＝150°；④S△AOB+S△BOC＝6+4；其中正确的结论是①②④．三、解答题（共9小题，满分72分）17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝﹣5，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得x2﹣6x+32＝﹣5+32，即（x﹣3）2＝4，∴x＝3±2，∴原方程的解是：x1＝5，x2＝1．18．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点均在格点上．（1）请画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA′B′；（2）直接写出点A′坐标（﹣4，﹣1）．【解答】解：（1）如图，△OA′B′即为所求；（2）点A′坐标为（﹣4，﹣1）．故答案为：（﹣4，﹣1）．19．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD，求证：AD＝BC．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝，∴AD＝BC．20．某地2023年投入教育经费1000万元，2025年投入教育经费1210万元．（1）求2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2026年该地区将投入教育经费多少万元？【解答】解：（1）设2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，由题意得：1000（1+x）2＝1210，解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），答：2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%；（2）由（1）得：年平均增长率为10%，∴2026年该县投入教育经费为1210×（1+0.1）＝1331（万元），答：预计2026年该地区将投入教育经费1331万元．21．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（1，2）、B（﹣3，2）两点．（1）求二次函数的解析式和顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤2时，直接写出y的取值范围．【解答】解：（1）将点A和点B坐标代入函数解析式得，，解得，所以二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣1．因为y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，所以二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣2）；（2）当x＝2时，y＝7；当x＝﹣1时，y＝﹣2，所以当﹣2≤x≤2时，y的取值范围是﹣2≤y≤7．22．关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若两根x1，x2满足，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣k）＞0，解得：；（2）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣k，∵，∴﹣k﹣2×（﹣1）＝k2，整理得，k2+k﹣2＝0，∴（k﹣1）（k+2）＝0，k﹣1＝0或k+2＝0，解得k1＝1，k2＝﹣2（舍去）．23．根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．【素材2】种植苗木时，每棵苗木高2.44m．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）【解决问题】（1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点A，B，C的坐标，求出抛物线的解析式；（2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即y＞2.44），确定种植点的横坐标x的取值范围；（3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最右边一棵苗木种植点的横坐标x的值．【解答】解：（1）根据图中的坐标系以及题意可得，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（10，1），∵抛物线的顶点坐标为点A（0，5），∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+5，把点B（10，1）代入可得：100a+5＝1，解得：a＝﹣，∴抛物线的函数关系式为：y＝﹣x2+5；（2）∵种植苗木时，每棵苗木高2.44m，∴当﹣x2+5＝2.44时，解得：x1＝﹣8，x2＝8，∵苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布，∴种植点的横坐标的取值范围为：﹣8＜x＜8；（3）根据题中所知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，∴在距离y轴0.5m的两则开始种植，最前排可种植：8×2＝16（棵），则最右边一棵苗木种植点的横坐标x＝7.5，．答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为16棵，最右边一棵苗木种植点的横坐标为7.5．24．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与坐标轴分别交于A，B，C三点．（1）直接写出点A，B，C的坐标，以及抛物线的对称轴；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得三角形MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D是y轴右侧抛物线上一个动点，当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1；（2）如图，△MAC的周长＝MA+MC＝AC，∵AC为定长，∴当MA+MC有最小值时，则△MAC的周长最小，∵点M在对称轴上，∴MA＝MB，∴MA+MC＝MB+MC≥BC，当且仅当B、M、C三点共线时取等，即此时点M在直线BC上，设直线BC解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，∴M（1，﹣2）；（3）（3）∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝3，∴∠ABC＝∠OCB＝45°，①点D在x轴的下方，如图，且∠DAB＝∠ABC＝45°，设AD交y轴于点G，∵∠AOG＝90°，∴∠OGA＝∠OAG＝45°，∴OG＝OA＝1，∴G（0，﹣1），设直线AD的解析式为y＝mx﹣1，则﹣m﹣1＝0，解得m＝﹣1，∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，由得，，②点D在x轴的上方，如图，且∠DAB＝∠ABC＝45°，设AD交y轴于点H，∵∠AOH＝90°，∴∠OAH＝∠OHA＝45°，∴OH＝OA＝1，∴H（0，1），∵AD∥BC，∴直线AD的解析式为y＝x+1，由得，，∴D（4，5），综上所述，点D的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．25．（1）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点