人教版（2024）新教材八年级数学上册第十五章轴对称 大单元教学设计

第十五章轴对称大单元教学设计 “轴对称”位于人教版八年级上册第15章，在初中数学体系里占据关键位置。它是对图形变换的深入探究，此前学生已接触简单平面图形，像三角形、四边形等，也了解平移这一图形变换方式。轴对称作为又一基础图形变化，不但丰富了图形变换的知识架构，还为后续学习等腰三角形方形等特殊图形的性质与判定筑牢根基。在现实生活中，轴对称现象随处可见，如建筑设日常用品等，通过对这一章节的学习，学生能更好地感2022版初中数学新课标在“图形与几何”领域着重强调图形的变化，轴对称便属于其中关键主题。依逻辑推理：在探究轴对称性质、线段垂直平分线性质定理与判定定理、等腰三角直观想象：借助绘制轴对称图形、利用坐标表示轴对称等活动，增强对图形数学建模：运用轴对称知识解决诸如最短路径等实际问题，将实际情境抽象八年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的关键阶段，他们且具备一定的观察、分析和归纳能力。此前已学习过一些基本图形和图形变换知识习经验，但在抽象概念的理解以及逻辑推理的严密性上还有待提升。在学习本章时，学生能够轻松识活中的轴对称现象，可对于精准提炼轴对称的数学概念或许存在一定难度；程中，部分学生可能在思路梳理和推理表述 单元教学目标●透彻理解线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形的概念，牢固掌握其性质定理与判定定理，并能●在解决问题过程中，积极尝试不同策略●在解决问题遭遇困难时，勇于坚持和 活动一轴对称及其性质活动二线段的垂直平分线活动三轴对称的图形的画法活动四等腰三角形活动五最短路径问题 跃度和对知识的理解程度。对于主动发言且回答正确的学生给予口头表扬；●作业完成情况：认真批改作业，对作业完成质量高、解题思路清晰、书写规范的学生进行表扬，并在班级展示优秀作业；针对作业中存在的普遍问题，在课堂上集中讲解；对于个别学生的问题，进行单现突出的小组和个人进行记录，活动结束后进行总结评价，可通过小组自评、互评和教师评价相结合 知识的掌握程度，包括概念理解、性质运用、定理证明、图形绘制以及实际问题解决等方面。严格按●项目式学习成果展示：布置项目式学习任务，如让学生利用轴对称知识设计一个校园景观方案艺术品等。学生以小组形式完成项目，在课堂上进行成果展示。从项目的创新性、实用性、数学知识 反思性教学改进 单元教学结构图相关分线关于y轴对称等腰三角形轴对称活动一轴对称及其性质如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这条直线就是它的对称轴.追问：以下是我们常见的电子设备中的液晶数字，哪些是轴对称?活动：每人轮流按顺序报一个字母，如果你认为你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速站起来报是，并说出它有几条对称轴；如果你认为你报的字母的形状不是轴对称图形，那么,你只需坐在座位上报不是就可以了.其他同学认真听，如果报错了，及时提醒.K追问：常见的国旗中哪些是轴对称图形?图形图形形2形4四边02三角形三角3131思考：下面的每对图形有什么共同特点?又有什么区别?把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这图形区别1.都是沿着某条直线折叠后能重合2.可以通过分割或整合互相转化.两个有特殊位置关系的全等图形;■情境引入■探究新知CC⊥MN.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA',AP=A'P.直线MN是线段AA′的垂直平分线.图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分思考：如图，直线1垂直平分线段AB,P1,P2,P3,……是1上的点，请你猜想点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离之间的数量关系.AP₂的长猜想：AP=BP.追问：你能证明以上猜想吗?点P在1上.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.师生活动：观察图片，动手实践，得出线段垂直平分线的性质。设计意图：通过动手实践，培养学生的归纳能力。例1.如图，AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上，AB,AC,CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?例2.如图，在△ABC中，BC=8,AB的垂直平分线交BC于D,AC的垂直平分线交BC于E,求△ADE的周长.=8.思考：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?已知：如图，PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作AB的垂线PC,垂足为点C.在Rt△PCA和Rt△PCB中，线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.应用格式：∴点P在AB的垂直平分线上.作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.例3.△ABC中，AB=AC,D在AB边上，M在线段AD上，且MB=MC,求证：DB=DC.设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握线段垂直平分线的性质和判定，同时培养学生变相思考问题的能力，运用知识.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识.从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系?你还学习过其他具有类似关系的命题吗?这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中，有许多互逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.你还能举出类似的例子吗?例4.命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.(1)请写出该命题的逆命题；(2)判断(1)中的命题是否是真命题?如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明.思考：我们知道下面的图形是对称的，那么我们应该如何验证呢?又如何作出它们的对称轴呢?如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.(1)分别以点A,B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于C,D两点；(2)作直线CD.CD即为所求.例5.如图，某小区有A,B,C三个单元，现准备在小区内建一个纯净水取水点，要求取水点到三个单元追问：根据线段垂直平分线的尺规作图方法，你会作轴对称图形的对称轴吗?对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.师生活动：利用尺规作图，明确作图步骤和方法，教师指导。设计意图：通过学习线段的垂直平分线的尺规作图，解决实际问题，为学习作图形的对称轴做铺垫。思考：右图中的六角星有几条对称轴?如何作出这些对称轴呢?(1)找出六角星上的一对对称点A和B,连接AB.(2)作出线段AB的垂直平分线1.则1就是这个六角星的一条对称轴.用同样的方法，一共可以找出六条对称轴，所以六角星有六条对称轴.例6.画出下列图形的对称轴.思考：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.追问：你能写出已知和求作吗?求作：AB的垂线，使它经过点C.追问1:为什么直线CF即为所求?∵从作法的(2)(3)步可知CD=CE,DF=EF,追问2:为什么任意取一点K,使点K与点C在直线两旁?追问3:为什么要以大于1/2DE的长为半径作弧?活动三轴对称的图形的画法■情境引入个图形的对称轴的方法.■探究新知追问：1.点P和点P’有何关系?2.线段PP’与对称轴有何关系?归纳：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线1对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同(位置、朝向可能不同);新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线1的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.■应用新知例1.已知点A和直线1,画出点A关于直线1的对称点A'.解：如图所示即为所求，步骤如下：1.过点A作直线1的垂线，垂足为O,2.在垂线上截取OA′=OA,3.点A'就是点A关于直线1的对称点.例2.已知线段AB和直线1,画出线段AB关于直线1的对称线段A'B'.1(1)过点A作直线1的垂线，垂足为0,在垂线上截取OA′=OA,点A′就是点A关于直线1的对称点.(2)过点B作直线1的垂线，垂足为P,在垂线上截取PB′=PB,点B'就是点B关于直线1的对称点.(3)连接A’、B',则线段A'B′即是所画.思考：已知线段AB,画出AB关于直线1对称的线段.归纳总结：几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.(1)特殊点对画轴对称图形特别重要，找特殊点时，要把确定图形形状的特殊点找全，否则画出的图形将不准确或不完整.(2)常见的特殊点，除线段的端点外，还有线与线的交点、中点等.1.在原图形上找特殊点(如线段端点)例3.如图，把下列图形补成关于直线1对称的图形.例4.如图，在正方形网格中，△ABC是格点三角形.(请仅用无刻度直尺完成以下作图，保留作图痕迹).(2)请在直线1上找一点P,使点P到A,C两点的距离相等.设计意图：通过实践，让学生真正掌握轴对称图形的画法，加深对轴对称性质的理解.思考：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点A′吗?追问1:你能说出点A与点A'坐标的关系吗?追问2:你能写出其他点关于x轴的对称点的坐标吗?这些对称点的坐标有何特点?已知点总结：关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数.思考：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点A′吗?追问1:你能说出点A与点A'坐标的关系吗?追问2:你能写出其他点关于y轴的对称点的坐标吗?这些对称点的坐标有何特点?已知点总结：关于y轴对称的点的坐标的特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数.-3.2)关手A(3.2)设计意图：通过观察、操作、交流得出体会一对关于x轴或者y轴对称的点的坐标的规律，加强学生用数■应用新知1.点P(-5,6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为2.点M(a,-5)与点N(-2,b)关于x轴对称，则a=,b=3.点P(-5,6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为4.点M(a,-5)与点N(-2,b)关于y轴对称，则a=,b=.5.点M(a,-5)与点N(-2,b)关于原点对称，则a=,b=.例6.如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1.解：(1)如右图所示；A'(3,3),B'(5,1),C"(1(2)S△ABC连接：按原图对应点连接所描各点得到对称图形.例7.已知点A(2a—b,5+a),B(2b-1,—a(1)若点A、B关于x轴对称，(2)若A、B关于y轴对称，求(4a+b)2025的值.解得a=-8,b=-5.设计意图：让学生通过例题巩固所学，熟悉点关于坐标活动四等腰三角形■情境引入■探究新知另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.思考：找一张等腰三角形纸片，动手折一折，它是轴对称图形吗?其中有哪些相等的角和线段?相等的角∠BAD与∠CAD追问1:你能写出已知和求证吗?追问2:你能写出证明过程吗?方法1:作底边上的中线.证明：作顶角的平分线AD,师生活动：学习等腰三角形的概念，举手回答问题，学生思考等边对等角的证明方法。设计意图：通过折纸活动理解等腰三角形的性质1,通过一题多解锻炼学生的逻辑思维。例1.填空：(1)等腰直角三角形的每一个锐角的度数是;(2)如果等腰三角形的底角等于40°,那么它的顶角的度数是_;(3)如果等腰三角形有一个内角等于80°,那么这个三角形的最小内角等于例2.如图，∠AOB=15°,且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数.例3.根据等腰三角形的性质定理完成下列填空.(2)∵AD是中线，(3)∵AD是角平分线，CC总结：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”).注意：一定是需要底边上的中线和高才行!例4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求证：(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.CC证明：(1)∵AD⊥BC,∴∠B+∠BAD=90°,CC解：(2)设∠A=x,则x+2x+2x=180°,师生活动：学生思考例题，主动练习，教师引导学生解题并讲评。设计意图：让学生通过例题巩固所学，熟悉等腰三角形的性质，并能利用其熟练解题。等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”).cc图形性质的三角形是等边对等角三线合一师生活动：结合猜想，学生说出已知和求证，指定学生板演。教师归纳定理，写出几何语言，同时讲解判定和性质的区别和联系。习的过程中领悟得到真命题的方法。例6.如图，D是AC上的一点.例7.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,过点D作BC的平行线DE交AB于E,试说明DE=BE的理由.∴∠ABD=∠DBC(角的平分线的意义)∵DE//BC(已知)∴∠DBC=∠EDB(两直线平行，内错角相等)∴∠ABD=∠EDB(等量代换)例8.尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a,底边上的高为h(如图所示),求作这个等腰三角形.(1)作线段AB=a.(2)作线段AB的垂直平分线MN与AB相交于点D.(4)连接AC,BC,则△ABC就是所作的等腰三角形思考：下面的交通标志是什么图形?什么是等腰三角形?在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.追问：等边三角形三个内角之间有何关系?等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：△ABC中，AB=AC=BC.求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).同理，∠A=∠C.追问：等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?等边三角形一定是锐角三角形吗?(1)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴.(2)等边三角形三个角都相等，都是60°(3)等边三角形三条边都相等.(4)等边三角形一定是锐角三角形.(5)等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”三条对称轴图形三个角都相等，且都是60°底边上的中线、相重合1条对称轴例9.如图，△ABC为等边三角形，DEI|BC,分别交AB,AC于点D,E.∴△ADE为等边三角形.CC等腰三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形思考：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°,如果∠A=30°,那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢?在Rt△ABC中，若∠A=30°,则活动三：结论证明含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边■II■II例13.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB例13.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握知识的应用，同时培养学生变相思考问题的能力，运用知识.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识.最短路径问题入思考：如图，一位将军从A地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?思考：如何把前面我们提到的“将军饮马”问题抽象成我们熟知的数学问题?将A,B两地抽象为两个点，将河1抽象为一条直线问题转化为：在直线1上确定一点C,使得AC+BC最短.分别是直线1异侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短?连接AB,与直线1相交于点C.根据“两点之间，线段最短”,可知这个交点C即为所求.追问2:如果点A,B分别是直线1同侧的两个点，又应该如何解决?能够借助异侧两点的思路来解决同如果将点B“移”到1的另一侧B′处，满足直线1上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等，就可以了!利用轴对称，作出点B关于直线1的对称点B'.(1)作点B关于直线1的对称点B';(2)连接AB',与直线1相交于点C.则点C即为所求.设计意图：通过情境引入，提升学生的学习兴趣，利用异侧两点之间的最短距离的学习，类比同侧两点之例1.如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A,B,C在小正方形(2)在直线MN上找一点P,使PB+PC的长最短.(1)分别作出点A,B,C关于直线MN的对称点，再顺次连接即可；(2)由题意，PB+PC=PB+PF,根据两点之间线段最短即可求作.最小值.解：如图，作D关于直线AC的对称点M,关于BC的对称点N,连接CM,CN,CD,EN,FM,DN,DM.DE+EF+FD的值最小为MN=2CD,∴CD=12/5,∴DE+EF+FD的最小值为24/5.A理由：另任作桥M₁N₁,连接AM,BN₁,A₁N₁.由平移的性质知AM=A₁N,AA₁=MN=MAM+MN+BN转化为AA₁+A₁B,+M₁N₁+BN₁转化为AA₁+A₁N₁+BN₁.(1)如图，作点A关于直线1的对称点A';(3)连接A'B',分别交直线/1,12于点C,D,解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG⊥CE,且BG=河宽，连接GF,与内河岸相交于E',D'.过E',D'作河岸的垂线段DD',EE′即为桥.理由：由平移的性质可知，AD//FD',AD=FD'.由两点之间线段最短可知，GF最小.1.本节课你学到了什么?2.什么是轴对称?其性质是什么?3.什么是线段的垂直平分线?其性质是什么?如何用尺规作图?4.如何画轴对称图形的对称轴?5.如何用坐标表示轴对称?6.等腰三角形的概念是什么?有何性质?如何判定?7.如何判定一个三角形是等边三角形?8.含有30°的直角三角形有何性质?什么是互逆命题?9.如何解决“将军饮马”和“造桥选址”两类问题?依据是什么?1.加快建设体育强国，就是要弘扬中华体育精神.下列体育图标是轴对称图形的是()A.6给出下列四个结论：①DE=DF,②DB=DC,③ADIBC,④AC=3BF,其中正确的结论共有()11.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5,点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为()A.7.5B.5C.4D.不能确定CC12.仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案.13.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B'、D′两点处，若∠AOB′=70°,则∠B'OG的度数为若点P与点P’关于x轴对称，则a=,b=若点P与点P’关于y轴对称，则a=,b=15.画出下列轴对称图形的所有的对称轴.17.如图，已知△ABC和直线1,画出与△ABC关于直线1对称的图形.(1)作△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C1;(2)将△ABC向下平移4个单位长度；做出平移后的△A₂B₂C₂;(3)求四边形AA₂B₂C的面积.FFCC师生活动：学生做练习，教师订正答案.∴直线1是AB的垂直平分线；A.108°B.72°C.144°6.如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的A.VABC三条角平分线的交点B.VABC三条高所在直线的交点C.VABC三条中线的交点D.VABC三边的垂直平分线的交点【答案】【答案】D【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答.【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等，∴凉亭的位置应选在VABC三边的垂直平分线的交点，故选：DA.35°B.30°C.20°A.35°B.30°C.20°【答案】B【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键.由三线合一得AD⊥BC,∠B=∠C,进而求出∠BDE=75°,由BD=BE得∠BED=∠BDE=75°,求出∠B=30°即可求解.根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可.【详解】解：∵AB=AC,AD是BC边上的中线，故选：B.8.在平面直角坐标系中，若点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称，则m+n【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征.根据关于y轴对称的点的坐标特点：两个点关于y轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标符号相反，即可得出答案.解得：m=2,n=-1,9.下列正多边形中，对称轴条数最多的是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【分析】本题考查求对称轴的条数，根据正n边形有n条对称轴，即可求解.【详解】解：正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对故选D.10.点P(1,-2)关于x轴对称的点的坐标为()A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律.熟练掌握平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律是解题的关键.关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据此性质来求解点P(1,-2)关于x轴对称的点的坐标即可.【详解】解：P(1,-2)关于x轴对称的点的坐标为(1,2【答案】6【答案】6【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质.根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE,再求出AC+BC=6,【详解】解：∵DE垂直平分线段AB,QVBCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=6,故答案为：6.12.若A(-1,m-1)与点B(n,2)关于y轴对称.则m+n=【答案】4【答案】4【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出m,n的值，进而得出答案.【详解】解：∵点A(-1,m-1)与点B(n,2)关解得：m=3,则m+n=3+1=4.故答案为：4.(2)如果AB=5,AC=3,求BE的长.【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键.(2)先证出Rt△AED≌Rt△AFD,根据全等三角形的性质可得AE=AF,再设BE=CF=x(x>0),根据线段的和差建立方程，解方程即可得.【详解】(1)证明：如图，连接BD、CD,B<D由(1)已证：BE=CF,解得x=1,(1)在图中画出线段BC关于y轴对称的线段B₁C₁,并直接写出点C₁的坐标为_;(2)在(1)的基础上，直接写出△AB₁C₁的面积为_;(3)在x轴上有一条长度是1的运动线段MN(点M在点N左边),使得BM+MN+NA最小，请画出点M.(保留必要的画图的痕迹).(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小(只需作图保留作图痕迹);【分析】(1)关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此画出图形，进而即可(2)利用轴对称-最短路径问题的原理，作点A关于x轴的对称点A’,连接A'B与x轴的交点即为P点，依据是两点之间线段最短.(3)先根据坐标求出VABC的面积，再设出Q点坐标，利用三角形面积公式列出关于Q点纵坐标的方程，求解得到Q点坐标.本题主要考查了轴对称的性质、坐标与图形变换、最短路径问题以及三角形面积于坐标轴对称的点的坐标特征和利用图形割补法求三角形面积是解题的关键.【详解】(1)解：求VABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁及顶点坐标已知A(1,1),关于y轴对称的点A₁,根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，B4CB(3)解：3即*或*(2)若点A,B关于y轴对称，求(4a+b)²⁰22的值.【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值.进行计算即可.【详解】(1)解：∵点A、B关于x轴对称，解得(2)解：∵点A、B关于y轴对称，解得.(4a+b)²⁰²²=(-4+3)²⁰²的周长.【答案】28【答案】28的周长比△BCD的周长长2,求出AB=AC=10,最后再利用三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.∴(AB+AD+BD)-(BC+BD+CD)=2,即∠1=∠2.如图2,OM和ON是两块平面镜，入射光线AB经过两次反射后，得到反射光线CD.则下列A.若α=60°,则∠OBC=60°B.若BC⊥CD,则β=45°C.若α=β,则AB//CDD.若AB//CD,则α+β=90°【答案】C【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键.根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可.【详解】解：A、∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，∴∠OBC=α=60°,正确，故此选项不符合题意；∴∠OCB=β=45°,正确，故此选项不符合题意；∴∠ABC=∠BCD,不能得出AB//CD,原结论错误，故此选项符合题意；∴∠APB=∠APC=180°-30°=150°,与已知条件不符，故D符合题意.A.5cmB.6cmC.8【答案】【答案】D【分析】本题重点考查等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称-最短路线问题等知识，正确地画出图形找到MH+NH的最小值时点H的位置是解题的关键.利用条件求解即可.【详解】解：∵VABC是等边三角形，BD是边AC上的高，作点M关于BD的对称点M',连接M'N,则M'在BC上，MN与BD的交点为H,NDM'∴MH+NH的最小值为7cm.BE,证明AD垂直平分BB′,推出BE=BE,由三角形三边关系可知，BE+EF=B+EF吵BFBY,即BE+EF的值最小为B'F′,通过证明△ABE′≌△AB'E,推出∠AEB=∠AE'B’,因此利用三角形外角的性本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置.【详解】解：过点B作BB’⊥AD于点G,交AC于点B′,过点B'作BF⊥AB于点F′,与AD交于点E',连∴当点E在点E'处时，EF+BE最小，故答案为：125°.(1)由折叠得∠CFE=∠GEF,∠HEF=∠BEF,结合平行线的性质求得∠BEF=110°,由角度的和差得到∠GEH;(2)设∠QHG=x,由翻折可得∠QHF=∠D=90°,∠GHE=∠B=90°,∠HGF=∠C=90°,所以∠GHF=7.已知一张三角形纸片ABC(如甲图),其中∠B=∠C.将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的点E处，折痕为BD(如乙图),再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如丙图).甲乙丙解题的关键.(1)根据等腰三角形的特征，可作出判断；(2)由等腰三角形的性质，可得∠ABC=∠C,由折叠，得∠BED=∠C,∠EDF=∠A,则∠ABC=∠C=∠BED=2∠A,再在VABC中利用三角形内角和定理列方程，求出∠A的度数，即可解决问【详解】(1)解：丙图中除VABC外的所有等腰三角形：△BCD,△BDE,△EAD,DAB;(2)解：∵AB=AC,故甲图VABC中各角的度数分别为∠A=36°,∠B=∠C=72°.8.【问题呈现】段CD和CE的数量关系是【知识应用】连接DE,且∠B+∠CED=180°.试判断CE,CF,BF之间的数量关系，并说明理由.【拓展延伸】【答案】(1)【答案】(1)CD=CE;(2)CE=CF-BF,理由见解析；(3)见解析.【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键.(1)根据角平分线的性质即可得出答案；(2)先证明△DCF≌△DCA,得到CF=CA,再证明△DFB≌△DAE,得到BF=AE,即可得出答案；(2)∵CD平分∠ACB,∠A=90°,DF⊥BC,(3)过点C作CG⊥AC,交AE的延长线于点G,9.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题.(1)如图.直线a是一条输气管道，M,N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供生站0,向M,N两村庄供应天然气.在下面四种方案中，铺设管道最短的是()A.A.D.(2)如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地.请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由.NN【答案】(1)【答案】(1)B(2)最短路径如图，理由见详解【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键.(1)作点M关于直线a的对称点M',连接MM',根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项.(2)作点A关于直线OM和ON的对称点B和C,连接AB和AC,连接BC,分别交直线OM和ON于点D和E,连接DA和EA,根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径.【详解】(1)解：∵作点M关于直线a的对称点M',连接MM',故直线a是MM'的垂直平分线，(2)解：作点A关于直线OM和ON的对称点B和C,连接AB和AC,连接BC,分别交直线OM和ON于草地小河M④BG-CH=GH,⑤∠AEC+∠ABE=90°其中正确的结论是()据∠AEC=180-x-z,于是得到∠AEC=180-(y+90°),推出y+∠AEC=90°,即可得到结论；④由BG=GE,【详解】解：①∵BE平分∠ABC,同理CH=HE,②△HEF与VCBF不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误；③过点E作EN⊥AC于N,ED⊥BC于D,EM⊥BA于M,如图，E设∠ACE=∠DCE=x,∠ABE=∠CBE=y,∠MAE=∠CAE=z,即∠ACE+∠AEB=90°,故③正确；即∠ABE+∠AEC=90°,故⑤正确；∴BG-CH=GE-EH=GH.故④正确.综上，①③④⑤正确，一共4个.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点.△A₃B₃A₄…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a₁,第2个等边三角形的边长记为a₂,以此类推，若OA₁=1,则a2025=【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出a₄=8a₁=8,a₅=16a₁…进而得出答案.又∵∠3=60°,以此类推：a₂025=22024,故答案为：22024.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a₃=4a₁=4,a₄=8a₁=8,a₅=16a1…进而发现规律是解题关键.3.小明同学喜欢玩折纸游戏，他在学习完角的知识后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，首先他在长方形纸片ABCD的边AD上找到一点E,然后沿着CE进行第一次折叠(如图1),使得D点落在F处.(1)此时(如图1)小明经过测量得到∠DEC=38°,请你帮他计算∠AEF=(2)第一次折叠后，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿着BE进行第二次折叠(如图2),使得A点落在G处，小明发现∠BEG的大小会随着E点的位置改变而发生改变：①若点A经过折叠后刚好落在线段EF上(如图3),求出此时∠BEC的大小；(请写出推理过程)②小明将E改变到如图4的位置的时候，经过测量∠GEF=10°,请你计算出此时∠BEC的大小.(请写出推理过程)(3)小明继续研究折纸游戏，他又发现有意思的折纸过程：他将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠后(如图5),点D落在点F处，AF和BC交于点M,再将△CFM沿CM折叠后，点F落在点H处，此时CH将∠ACB分成的两个角满足：∠ACH:∠BCH=1:3,请你直接写出∠ACB的度数.【分析】本题考查折叠问题，解题关键是掌握折叠前后对应角相等.(1)由折叠前后对应角相等得∠FEC=∠DEC=38°,进而即可求解；(2)①由折叠前后对应角相等得∠FEC=∠DEC,∠AEB=∠GEB,进而即可求解；②(3)由折叠得，∠ACD=∠ACF,∠FCM=∠BCH,设∠ACH=α,则∠BCH=∠FCM=3α,∠ACB=4α,进而可得∠ACD=∠ACF=7α,再根据∠BCD=∠ACB+∠ACD=11α=90°即可求解.【详解】(1)解：由折叠得，∠FEC=∠DEC=38°,故答案为：104°;(2)解：①由折叠得，∠FEC=∠DEC,∠AEB=∠GEB,备用图之间的数量关系，并说明理由.(3)PE=AP+PD,见解析.【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△C(1)根据等边三角形的性质得到∠BAD=∠CAE,AB=AC,AD=AE,由“SAS”可证△BAD≌△CAE,可(2)由全等三角形的性质可得∠AEC=∠ADB,由三角形内角和定理求出∠DPE=60°,进而得到∠BPE=120°,作AG⊥BD,AH⊥CE,全等三角形的性质，推出AG=AH,得到PA平分∠BPE,求出AO=AP,证明△APO是等边三角形，可得AP=PO,可得PE=AP+PD,即可求解.ADBDC5.在VABC中，AB=AC,∠BAC=n°,作等腰△ACD,使(1)如图1,若