数学活动 月历中的奥秘与和为定值的两数积规律-同步练习 人教版2024 八年级数学上册

数学活动月历中的奥秘与和为定值的两数积规律同步练习班级：________姓名：________一、单选题1．小明在月历的纵列上圈出了三个数．若设中间的数为n，则上、下两个数的乘积为（

）A．n2−49 B．n2−14 C．2．若两个数的和为60，它们的积最大时，这两个数分别是（）A．20和40 B．25和35 C．30和30 D．15和453．已知a+b=50，下列各组数中积最大的是（）A．a=10，b=40 B．a=24，b=26 C．a=20，b=30 D．a=0，b=504．如图是2025年11月的日历图，“U形框”中7个数的和不可能是（

）A．98 B．133 C．105 D．125二、填空题5．若两个数的和为80，则它们的最大积是_________．6．已知x+y=36，当x=_________时，xy的值最大，最大积是_________．7．如图，为某年某月的日历（数字隐去）其中A，B，C，D代表当日的数字，设A代表的数字为m，则B⋅D−A⋅C=．（用含m的代数式表示）8．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是144，则最大数是．9．用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．当a是时，场地的面积S最大，最大面积是三、解答题10．在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究．探究主题：月历中的数学操作发现（1）图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，尝试计算：3×17−2×18=；5×19−4×20=；2×16−1×17=．推理论证（2）多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值．设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明．深度探究（3）在某张月历中，两个“Z”字型框架如图3摆放，若每框中A、E上的数各自相乘，两积之差为360，求a、b的值．11．如图是2025年5月的月历，现用如图所示的“Z”字形框出月历中的5个数（图中阴影部分）．(1)将中间数字的上、下两数相乘，左上、右下两数相乘，再相减，通过计算后你能发现什么规律？(2)请用整式的运算对你发现的规律加以证明．12．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值．例如：求代数式a2解：我们可以先将代数式配方：a2再利用完全平方式的非负性：∵a+1∴a+12+2≥2(1)请直接写出x为何值时代数式x+22(2)求代数式−x(3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形ABCD，另外两边用总长为40m的栅栏围成．如图，设AB=xm，请问：当答案与解析一、单选题1．小明在月历的纵列上圈出了三个数．若设中间的数为n，则上、下两个数的乘积为（

）A．n2−49 B．n2−14 C．【答案】A【解析】此题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．设中间的数为n，则上面的数为n−7，下面的数为n+7，然后相乘利用平方差公式求解即可．解：设中间的数为n，则上面的数为n−7，下面的数为n+7，∴n−7n+7故选：A．2．若两个数的和为60，它们的积最大时，这两个数分别是（）A．20和40 B．25和35 C．30和30 D．15和45【答案】C【解析】核心规律为“和为定值的两数，相等时积最大”，两数和为60，相等时均为30，此时积最大．解：设两数为x和60-x，积为x(60-x)=-x²+60x，当x=30时，此时另一数为60-30=30积最大，故选C．3．已知a+b=50，下列各组数中积最大的是（）A．a=10，b=40 B．a=24，b=26 C．a=20，b=30 D．a=0，b=50【答案】B【解析】和为定值时，两数越接近，积越大，对比选项，24和26最接近，故积最大．解：计算各选项积：A．10×40=400；B．24×26=624；C．20×30=600；D．0×50=0，624最大，故选B．4．如图是2025年11月的日历图，“U形框”中7个数的和不可能是（

）A．98 B．133 C．105 D．125【答案】D【解析】本题考查了整式的加减运算，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据“U形框”的特点，设U形框正中心的数为x，则7个数分别为x−8,x−6,x−1,x+1,x+6,x+7和x+8，然后把每个选项的数进行计算，得出x是正整数，即有可能是框出的7个数的和，否则不是，即可作答．解：设U形框正中心的数为x，则7个数分别为x−8,x−6,x−1,x+1,x+6,x+7和x+8，∴“U形框”中7个数的和为：x−8+∵98÷7=14,133÷7=19,105÷7=15,125÷7=17⋯6，∴“U形框”中7个数的和不可能是125，故选：D．二、填空题5．若两个数的和为80，则它们的最大积是_________．【答案】1600【解析】和为80，两数相等时（各40）积最大，直接计算40×40即可．解：最大积=（80÷2）×（80÷2）=40×40=1600．6．已知x+y=36，当x=_________时，xy的值最大，最大积是_________．【答案】18；324【解析】和定积最大的条件是两数相等，故x=y=36÷2=18，再算积．解：x=36÷2=18，最大积=18×18=324．7．如图，为某年某月的日历（数字隐去）其中A，B，C，D代表当日的数字，设A代表的数字为m，则B⋅D−A⋅C=．（用含m的代数式表示）【答案】7m+48/48+7m【解析】此题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算法则．设A代表的数字为m，然后表示出C代表的数字为m+7，B代表的数字为m+6，D代表的数字为m+8，然后代入B⋅D−A⋅C利用整式乘法的运算法则求解即可．解：∵设A代表的数字为m，∴C代表的数字为m+7，B代表的数字为m+6，D代表的数字为m+8，∴B⋅D−A⋅C===7m+48．故答案为：7m+48．8．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是144，则最大数是．【答案】18【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为x+7+1+1+1=x+10，列出方程为xx+10解：设最小数为x，则最大数为x+7+1+1+1=x+10，∴xx+10∴x2即x+18x−8解得x1∴最大数为8+10=18．故答案为：18．9．用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．当a是时，场地的面积S最大，最大面积是【答案】15225【解析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据矩形周长公式得出另一边长，建立面积关于一边长的二次函数模型，通过配方求其最大值即可．解：设矩形一边长为a米，则另一边长为602S=a30−a∵−1<0∴当a=15时，S取得最大值，最大面积为225平方米．故答案为15，225．三、解答题10．在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究．探究主题：月历中的数学操作发现（1）图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，尝试计算：3×17−2×18=；5×19−4×20=；2×16−1×17=．推理论证（2）多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值．设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明．深度探究（3）在某张月历中，两个“Z”字型框架如图3摆放，若每框中A、E上的数各自相乘，两积之差为360，求a、b的值．【答案】（1）15，15，15；（2）见解析；（3）a=9【解析】本题主要考查了平方差公式，解二元一次方程组，有理数的四则混合计算，熟知平方差公式是解题的关键.（1）先计算乘法，再计算减法即可得到答案；（2）根据题意可得B上的数为x−7，D上的数为x+7，A上的数为x−8，E上的数为x+8，再根据平方差公式计算出x−7x+7（3）根据题意可得b+8b−8−a+8a−8=360，则可推出b+a解：（1）3×17−2×18=51−36=15；5×19−4×20=95−80=15；2×16−1×17=32−17=15；故答案为：15，15，15．（2）∵C上的数为x，∴B上的数为x−7，D上的数为x+7，A上的数为x−8，E上的数为x+8，∴x−7==x=15；（3）∵两框A，E上的数各自相乘，其差为360，∴b+8b−8又∵b−a=12，∴b+a=30，∴a=9b=2111．如图是2025年5月的月历，现用如图所示的“Z”字形框出月历中的5个数（图中阴影部分）．(1)将中间数字的上、下两数相乘，左上、右下两数相乘，再相减，通过计算后你能发现什么规律？(2)请用整式的运算对你发现的规律加以证明．【答案】(1)见详解(2)见详解【解析】本题考查平方差公式以及有理数的运算，正确地表示出日历中的五个数，是解题的关键．（1）根据有理数的运算法则，进行计算即可；（2）根据月历上的数字规律，用含x的式子表示出a,b,d,e，再根据整式的乘法法则，进行计算即可．解：（1）计算图中两个“Z”字形2×16−1×17=32−17=15；5×19−4×20=95−80=15，发现规律：将中间数字的上、下两数相乘，左上、右下两数相乘，再相减，结果都等于15；（2）证明：设“Z”字形框架中位置c上的数为x，则：b=x−7,d=x+7,a=x−7−1=x−8,e=x+7+1=x+8，∴b⋅d=(x−7)(x+7)=x∴a⋅e=(x−8)(x+8)=x∴b⋅d−a⋅e=x12．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值．例如：求代数式a2解：我们可以先将代数式配方：a2再利用完全平方式的非负性：∵a+1∴a+12+2≥2(1)请直接写出x为何值时代数式x+22(2)求代数式−x(3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形ABCD，另外两边用总长为40m的栅栏围成．如图，设AB=xm，请问：当【答案】(1)当x=−2时，代数式x+22(2)代数式−x(3)当x=2