2024九省联考数学试题+官方答案

2/2参照机密级管理启用前河南省2024年普通高考适应性测试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据的中位数为A.14 B.16 C.18 D.202.椭圆的离心率为，则A. B. C. D.23.记等差数列的前项和为，则A.120 B.140 C.160 D.1804.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有A.20种 B.16种 C.12种 D.8种6.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则A.是一个半径为的圆 B.是一条与相交的直线C.上的点到的距离均为 D.是两条平行直线7.已知，则A. B. C.1 D.8.设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为A. B.2 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数，则A.函数为偶函数 B.曲线的对称轴为C.在区间单调递增 D.的最小值为10.已知复数均不为0，则A. B. C. D.11.已知函数的定义域为，且，若，则A. B.C.函数是偶函数 D.函数是减函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合，若，则的最小值为.13.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是，圆锥的表面积与球的表面积的比值是.14.以表示数集中最大的数.设，已知或，则的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求；（2）求的单调区间和极值.16.(15分)盒中有标记数字的小球各2个，随机一次取出3个小球.（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望.17.(15分)如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.18.(17分)已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.（1）证明：直线过定点；（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值.19.(17分)离散对数在密码学中有重要的应用.设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为.（1）若，求；（2）对，记为除以的余数(当能被整除时，.证明：，其中；（3）已知.对，令.证明：.

河南省2024年普通高考适应性测试数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据的中位数为A.14 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】从中去掉最大值和最小值，再从剩下的数中去掉最大值和最小值，如果最后只剩下1个数，则这个数就是中位数，如果最后剩下2个数，则这2个数的算术平均数就是中位数，故本题的中位数为16.2.椭圆的离心率为，则A. B. C. D.2【答案】A【解析】，选A.3.记等差数列的前项和为，则A.120 B.140 C.160 D.180【答案】C【解析】，选C.4.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】如图，正方体中，对于，设面为面，面为，，但，A错.对于B，，面为面，面为面，此时，，但与不平行，错.对于D，面为面，面为面，此时，，但平面与平面平行不垂直，错，选.5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有A.20种 B.16种 C.12种 D.8种【答案】B【解析】甲一定在乙丙中间，否则甲就要在两端，.6.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则A.是一个半径为的圆 B.是一条与相交的直线C.上的点到的距离均为 D.是两条平行直线【答案】C【解析】，在上，，上的点到的距离，选C.7.已知，则A. B. C.1 D.【答案】A【解析】选A.8.设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为A. B.2 C. D.【答案】D【解析】为的中点也是的中点，为平行四边形.即二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数，则A.函数为偶函数 B.曲线的对称轴为C.在区间单调递增 D.的最小值为【答案】AC【解析】，，为偶函数，A对.，则，即对称轴；B错.10.已知复数均不为0，则A. B. C. D.【答案】BCD【解析】对于A，错；对于B，正确.对于C，，C正确；对于D，，D正确，选BCD.11.已知函数的定义域为，且，若，则A. B.C.函数是偶函数 D.函数是减函数【答案】ABD【解析】(1)令得；(2)令，A对；(3)令，是奇函数，C错；(4)在中令，B对；(5)在中将换成，得，是减函数，D对.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合，若，则的最小值为.【答案】5【解析】，则，.13.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是，圆锥的表面积与球的表面积的比值是.【答案】（答对一空给3分）这是官方答案，难道官方答案给错了？好象官方是把圆锥的高当成球O的半径了.【解析】设圆锥底面圆半径为，则高为，设球半径，第一空：；第二空：圆锥的表面积，球的表面积.14.以表示数集中最大的数.设，已知或，则的最小值为.【答案】【解析】令则.（1）若则，令，则.（2）若，则，令则.取等条件：，且，即，且，解得，符合题目要求.所以，的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求；（2）求的单调区间和极值.【解析】(1)，由题意知，即，.………5分(2)由（1）知，令，解得或1，当时，；当时，；当时，.所以的单调递增区间是，单调递减区间是分当时，取得极大值；当时，取得极小值.………13分16.(15分)盒中有标记数字的小球各2个，随机一次取出3个小球.（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望.【解析】（1）所求概率为.………5分（2）的所有可能取值为，且………12分的分布列为:的数学期望为：.………15分17.(15分)如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【解析】（官方解析）(1)连结.因为，所以，故.又为的中点，所以因为，，所以，因此.因为，所以平面6分(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设得， ……9分设是平面的法向量，则 即可取设是平面的法向量，则 即可取.………13分所以.因此二面角的正弦值为.………15分【解析】（网络流传解析）(1)证明:，而，平面.(2)如图建系，，.设平面与平面的一个法向量分别为，则设的平面角为，18.(17分)已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.（1）证明：直线过定点；（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值.【解析】（官方解析）(1)设，不妨设.设，则.由得，故，所以.同理可得.若，则直线，过点.若，则直线，过点.综上，直线过定点.(2)设为的中点，为直线与的交点.由分别为的中点知，所以，故.设为直线与的交点，同理可得.所以.………14分由(1)得，同理可得.所以，当且仅当时等号成立.因此的面积的最小值为8.………17分【解析】（网编流传解析）（1）设直线的方程为此时直线的方程为，恒过定点，当时，显然也过，直线恒过定点.(2)设，直线方程为.同理直线方程为，.不妨设到的距离，，当且仅当时可取“”.19.(17分)离散对数在密码学中有重要的应用.设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为.（1）若，求；（2）对，记为除以的余数(当能被整除时，.证明：，其中；（3）已知.对，令.证明：.【解析】（官方解析）(1)，所以.………4分(2)记其中，是整数,则可知.因为两两不同,所以存在,使得，记，则可以被整除，于是可以被整除，即.若，因为，所以，矛盾，因此.……11分记，其