辽宁省点石联考2026届高三上学期12月联考考后巩固卷数学A卷（含答案）

考

数学考后巩固卷

高三2025年12月版

姓名：班级：

强化记忆

举一反三步步为赢点石成金

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1.及时分析，明确薄弱点

错题复盘：逐题分析错误原因（审题不清、知识点遗忘、计算失误等），用不同颜色标注错题类型。

统计归类：按知识点或题型分类整理错题（如函数、几何、语法、实验设计），统计高频失分模块，

明确需优先突破的薄弱环节。

2.针对性突破，夯实基础

知识补漏：针对错题涉及的课本概念、公式、定理，重新梳理核心内容，结合例题理解应用场景。

专项训练：根据错题类型，精选同类题目进行限时练习（如每天10道同类题），强化解题思维和熟练

度。

3.构建思维框架，提炼方法

思路对比：对比参考答案与自己的解题步骤，标注关键思路差异（如是否遗漏隐含条件、逻辑跳步）。

总结模板：针对高频题型（如阅读理解主旨题、数学压轴题），归纳通用解题步骤或答题模板。

4.模拟应用，检验效果

变式训练：将原题条件或设问方式稍作改动，自主改编1-2道同类题，测试是否真正掌握核心逻辑。

限时重测：1-2周后重做巩固卷，对比正确率变化，重点关注反复出错的题目。

5.长期规划，动态调整

建立档案：将错题整理成电子文档或活页本，标注错误日期和重做结果，形成个人学习轨迹。

定期回顾：每周抽取10分钟复习错题本，考前集中筛查易错点，避免重复错误。

点石联考

小题满分零分人

题号知识点人数平均分难度标准差区分度

分值人数数

1椭圆的简单性质4346354.2685.131.780.44370006463

2平面向量的坐标运算4346353.5370.572.280.593067012793

3交集及其运算4346354.4789.41.540.27388554608

4对数的运算性质4346353.3366.662.360.632897214491

5直线与圆的位置关系及应用4346353.5170.282.290.73054812915

6基本不等式4346353.8576.992.10.473346110002

7三角函数中的恒等变换应用4346352.7955.872.480.532428219181

8函数与方程的综合运用4346352.6352.572.50.492285020613

9椭圆的简单性质4346363.1652.742.650.421818715804

10等差数列与等比数列的综合4346362.2637.721.60.327678711

空间中直线与平面之间的位置

114346362.5242.061.910.27593912837

关系

填空

12-1综合43463155.3335.523.760.3912399722

4

15利用导数研究函数的极值43463137.0954.515.150.81117518439

16解三角形的实际应用43463156.4843.196.10.811150512601

17点、线、面间的距离计算43463158.3255.435.510.75102586109

18直线与圆锥曲线的综合问题43463173.5420.823.330.3550913013

19等比数列43463172.2813.412.520.241419717

点石联考2025年12月高三数学巩固卷

【原卷1题】知识点求椭圆的离心率或离心率的取值范围

x2y2

1-1（基础）椭圆+=1的离心率为()

259

144

A．1B．C．D．

335

1-2（巩固）椭圆x2+4y2=4的离心率为()

13

A．B．1C．D．

4242

22

1-3（提升）已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为，则m=

A．6B．、/6C．4D．2

【原卷2题】知识点求投影向量

rr

2-1（基础）已知=(3,4),b=(1,-1)，则在b上的投影向量为()

1r1r1r1r

A．-bB．-bC．-bD．-b

2345

---r---r---r

2-2（巩固）在平面直角坐标系xOy中，已知三点A(1,1),B(m,3),C(3,n)，若向量OB,OC在OA上

的投影向量相同，则m-n的值为()

A．6B．3C．2D．0

rr22

2-3（提升）已知向量=(1,2),b=(x,y)，若b在上的投影向量是，则x+y的最小值为

()

1/39

2111

A．B．C．D．

9245

【原卷3题】知识点交集的概念及运算

ì*ü

3-1（基础）已知集合A={0,1,2,4,5,6}，B=íx∈N|≤0ý,则A∩B=()

l-þ

A．{0,2,4,5}B．{0,2}C．{1,2,4,5}D．{0,1,2,4,5}

ìx-2ü

3-2（巩固）设集合A={xx≤1}，B=íx≤0ý,则A∩B=()

lxþ

A．{x|-1≤x<0}B．{x|-1≤x≤1}

C．{x|0<x≤1}D．{x|0<x≤2}

2ìü

3-3（提升）已知集合A={x∣x-2x-3<0},B=íx<0ý,则A∩B=()

lþ

A．(-1,4)B．(1,3)C．(3,4)D．(-∞,1)È(3,+∞)

【原卷4题】知识点对数的运算性质的应用,运用换底公式化简计算

4-1（基础）log218-4log43=()

A．1B．0C．-log23D．log23

4-2（巩固）设lg2=a，lg3=b，则log56=()

aba+baba+b

A．B．C．D．

a+b1-a1-aa

4-3（提升）已知log23=a，log25=b，则log15375=()

2/39

a+2ba+3ba-2ba-3b

A．B．C．D．

a+ba+ba-ba-b

【原卷5题】知识点求点到直线的距离,由标准方程确定圆心和半径,由直线与圆的位置关系求参数

22

5-1（基础）若直线3x+4y+m=0与圆(x-1)+(y+2)=4相切，则m的值为()

A．21或-1B．-21或1C．5或-15D．-5或15

2222

5-2（巩固）若圆(x-a)+(y+2)=a与直线2x+ay-3a=0相切，则a=()

A．2B．3C．4D．5

22

5-3（提升）若直线l:ax+by-2(a+2b)=0与圆(x-1)+(y-2)=5相切，则直线l的斜率为

()

11

A．2B．-2C．D．-

22

【原卷6题】知识点基本不等式求积的最大值,条件等式求最值

111

6-1（基础）[28698739]已知x>0,y>0且x+y=1，则++的最小值为()

xyxy

A．4B．8C．2、D．4

6-2（巩固）已知正数m，n满足m2+4n2=5，则m-的最大值为()

A．B．1C．、D．2

6-3（提升）已知x2+9y2=12,x,y>0，则-3x的最小值为()

A．-6B．-2C．1D．-1

【原卷7题】知识点利用正弦函数的对称性求参数,辅助角公式

3/39

(ö

7-1（基础）已知函数f(x)=sin(3x+φ)-<φ<÷图象的一条对称轴为直线x=，则φ=

çè,

()

ττ

A．B．-C．D．-

43

7-2（巩固）若f(x)=sin2x+cos2x的图象关于x=a对称，则f(ça+=()

è

A．-1B．0C．1D．、

7-3（提升）已知函数f(x)=sinwx+coswx(w>0)，若f(ç-x=f(x)，且f(x)在(ç0,÷上

èè

有最大值，则w的最小值为()

A．1B．4C．7D．11

【原卷8题】知识点根据解析式直接判断函数的单调性

5

3e3

8-1（基础）已知实数x,y满足x3=e3-x，lny=+2（其中e是自然对数的底数），则xy=

y

()

A．e5B．e4C．e3D．e2

a23

8-2（巩固）已知a,β满足ae=e,β(lnβ-1)=e，其中e是自然对数的底数，则aβ的值为

()

A．e4B．e3C．e2D．e

8-3（提升）若lnx-lny>y2-x2，则()

A．ex-y>1B．ex-y<1C．lnx-y>0D．lnx-y<0

【原卷9题】知识点根据方程表示椭圆求参数的范围,求椭圆的焦点、焦距,求椭圆的长轴、短轴

4/39

22

9-1（基础）已知曲线C的方程为+=1，则下列说法正确的是()

A．存在实数λ,使得曲线C为圆

B．若曲线C为椭圆，则λ的取值范围是(-16,24)

C．若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则4<λ<24

D．当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值

9-2（巩固）已知椭圆C则()

A．a的取值范围为(-14,8)B．若C的焦点在x轴上，则a>-2

3·、

C．若a=，则C的焦距为6D．若a=2，则C的离心率为

24

9-3（提升）已知曲线C为椭圆，则()

A．-2<m<1

B．若C的焦点在x轴上，则C的焦距为2

(ö

．若的焦点在轴上，则的短轴长取值范围为

CCxCç0,÷

è2,

D．若C的焦点在y轴上，则C的离心率为

【原卷10题】知识点等差数列通项公式的基本量计算,等比中项的应用,裂项相消法求和

设等差数列满足，，则下列说法正确的是()

10-1（基础）{an}a2=5a6+a8=30

．不是等差数列

A．an=2n+1B{a2n-1}

5/39

C．D．数列的前n项和是

10-2（巩固）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=-135，a2+a4+a6=-129，则()

A．{an}的公差为3B．an=2n-51

C．数列的前n项和为D．数列{an}的前50项和为1250

2

10-3（提升）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，公差为d，若(S1+S3)=S2S5，则

()

A．d=2或dB．a1=1

【原卷11题】知识点求点面距离,求线面角,证明面面垂直,求点到直线的距离

11-1（基础）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，下列四个结论中正确的是()

A．B1C丄AD1B．直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为

C．点B1到平面ACD1的距离为D．B1D丄平面ACD1

11-2（巩固）如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD,ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜

6/39

边，且AD=3,BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形，下面结论正确的是()

A．ABC为正三角形

B．A△D^BC

C．AD与底面BCD所成角的正弦值为

D．点D到平面ABC的距离为

11-3（提升）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=4，AC=AD=CD=4，将△ACD沿AC折

起至△ACH的位置，使HB=42，F是AC的中点，E是BC的中点，则()

A．AB丄HFB．点F到平面HBC的距离为

C．HE=27D．直线HE和平面HAC所成的角的正弦值为

【原卷12题】知识点求复数的模,复数的除法运算

设xi=1—i,则Ixl=________________________.

12-1（基础）已知复数z=(4-3i)(+i)，则|z|=．

12-2（巩固）i是虚数单位，复数z满足=1+2i，则z=.

2

12-3（提升）已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=(2-i)，则z=．

7/39

【原卷13题】知识点利用给定函数模型解决实际问题,解不含参数的一元二次不等式,一元二次方程根的分布问

题

13-1（基础）某医院开展某种病毒的检测工作，第n天时每个检测对象从接受检测到检测报告生

ìt0

ï,n<N0

ï、i

成平均耗时t(n)（单位：小时），t(n)=í（t0,N0为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小

t0

ï,n≥N0

ïl·

时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为小

时．（精确到1小时）

13-2（巩固）衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后

体积V与天数t的关系式为：V=a.e-kt．已知新丸经过50天后，体积变为a．若一个新丸体积变为a，

则需经过的天数为．

13-3（提升）已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：m）与速度v（单位：km/h）的

平方及汽车总质量成正比.设某辆卡车不装货物以60km/h的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了20m.如果这辆

卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5m以外处停车，最大限

制时速应是km/h.（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1s）

【原卷14题】知识点等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,利用an与sn关系求通

项或项,根据数列的单调性求参数

已知等差数列和等比数列满足，，设数列中不

14-1（基础）{an}{bn}a1=2b2=4an=2log2bn.{an}

在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，则S100=.

已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，

14-2（巩固）{an}{bn}b1-a1=1b2-a2=1

8/39

b3-a4=1，若数列{an}和{bn}的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列{cn}，数列{cn}的前n项和

为Sn，则使得>12成立的n的最小值为．

n+1

an

14-3（提升）[21364900]已知正项等差数列{an}中，a1=1，其中a2+1，6，a5构成等比数列，bn=2，数

*

列{bn}的前n项和为Sn，若"n∈N，不等式λcosnτ<Sn+an恒成立，则实数λ的取值范围为.

【原卷15题】知识点求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,求已知函数的极值

x12

15-1（基础）已知函数f(x)=xe-x-x+4.

2

(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

(2)求f(x)的极值．

15-2（巩固）已知函数f(x)=lnx-3x.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)求f(x)的极值.

15-3（提升）已知函数f(x)=ax--(a+1)ln(x+1),a∈R.

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；

(2)求f(x)的极值.

【原卷16题】知识点正弦定理解三角形,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形

（基础）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinAcos(çA+=

16-1è.

△

9/39

(1)求角A的大小；

(2)若a=2，c=b，求ABC的面积.

△

16-2（巩固）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且

2asinAcosB+bsin2A=2a△cosC．

(1)求角C的大小；

(2)若c=3，且a+b=6，求ABC的面积．

△

+

16-3（提升）已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2ccosA=(acosBbcosA)

(1)求角A；△

(2)若ABC的周长为3，且a=，求ABC的面积.

△△

【原卷17题】知识点线面垂直证明线线垂直,已知线面角求其他量,点到平面距离的向量求法

17-1（基础）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1丄平面

ABCD，AD=2,AA1=A1D．

(1)求证：A1D丄AB；

(2)若AB与平面A1DC1的所成角的正弦值为，求点B到平面A1DC1的距离．

17-2（巩固）在直角梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD=2AB=2，上ABC=90°,如图把

△ABD沿BD翻折，使得平面ABD丄平面BCD（如图).①

②

10/39

(1)求证：CD丄AB；

(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；

(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60°?若存在，求出的值；若不存在，请

说明理由．

17-3（提升）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是CD的中点，如图所示，沿BE将

△BCE翻折至△BFE，使得平面△BFE丄平面ABCD.

(1)证明：BF丄AE；

(2)已知在线段BD上存在点P（点P与点B，D均不重合），使得PF与平面DEF所成的角的正弦值是.

求的值；

①求点P到平面DEF的距离.

@

【原卷18题】知识点根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中的直线过定点问题,椭圆中的定值问题,根据韦达定理

求参数

18-1（基础）已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1).点M，N在C

上，且AM丄AN，AD丄MN，D为垂足.

(1)求C的方程；

(2)证明：直线MN过定点

11/39

(3)存在定点Q，使得DQ为定值，求DQ.

18-2（巩固）已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M,N，离心率为，点

(ç1,÷在椭圆C上，P为椭圆上异于M,N的任意一点，直线l与椭圆C交于A,B两点．

è

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明：直线PM与直线PN的斜率之积为定值；

(3)记直线AM,AN,MB,NB的斜率分别为k1,k2,k3,k4，且，证明：直线l过定点．

18-3（提升）已知点F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，若C上的点与点

ab

F距离的最大值为3，最小值为1，过点F作C的两条互相垂直的弦AB，DE.

(1)求C的方程；

11

(2)求证：+的值为定值；

ABDE

(3)设AB，DE的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.

【原卷19题】知识点根据数列递推公式写出数列的项,写出等比数列的通项公式,由递推关系证明等比数列,裂项

相消法求和

19-1（基础）拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基

础．其定理陈述如下：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，则存在x0∈(a,b)，使得

¢2

f.已知函数f(x)=x-x，数列满足an，且a1=2．

(1)求a2,a3；

(2)证明：数列{an+1}为等比数列；

(3)若数列bn=，记Sn为数列{bn}的前n项和，证明：Sn<．

2

19-2（巩固）已知正项数列{an}中，a2=8，点(an+1,an+2an)在直线y=x上，bn=lg(an+1)，其

12/39

中n∈N*.

(1)证明：数列{bn}为等比数列；

(2)设Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn；

记cn，数列{cn}的前n项和为Tn，试探究是否存在非零常数λ和μ,使得Tn为定值?

若存在，求出λ和μ的值；若不存在，请说明理由.

*

19-3（提升）对于数列{an}，其前n项和记为Sn，已知a1=-2,Sn=an-4an+1,n∈N.

(1)证明：数列{2an+1-an}为等比数列；

(2)设bn，数列{bn}的前n项和为Tn，记Mn，

（i）求Tn；

*

（ii）证明：Mnn∈N.

13/39

高三数学答案解析

✍变试题原题答案

【原卷1题】【正确答案】D

【试题解析】

【原卷2题】【正确答案】B

【试题解析】

【原卷3题】【正确答案】A

【试题解析】

【原卷4题】【正确答案】C

【试题解析】

【原卷5题】【正确答案】D

【试题解析】

【原卷6题】【正确答案】B

【试题解析】

【原卷7题】【正确答案】D

【试题解析】

【原卷8题】【正确答案】B

【试题解析】

【原卷9题】【正确答案】BD

【试题解析】

14/39

【原卷10题】【正确答案】ABD

【试题解析】

【原卷11题】【正确答案】AC

【试题解析】

【原卷12题】【正确答案】

【试题解析】

【原卷13题】【正确答案】

【试题解析】

【原卷14题】【正确答案】

【试题解析】

【原卷15题】【正确答案】

15/39

【原卷16题】【正确答案】

【原卷17题】【正确答案】

【原卷18题】【正确答案】

16/39

【原卷19题】【正确答案】

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精准训练答案

【试题解析】【分析】利用投影向量公式，结合向量的

✍变试题答案

坐标运算，即可求解.

uuu→uuu→uuu→

1-1【基础】【正确答案】D【详解】向量OB,OC在向量OA上的投影向量相

【试题解析】【分析】根据离心率的定义e=,代入数同，∵

uuu→uuu→uuu→uuu→

据即得答案

.OBAOCA

:u=u，则uuuu，

x2y2OAOAO.=O.

【详解】椭圆+=1,a=5,b=3Þc=4

259uuuu

得(O-O.=0，

e,答案为D

而，得

【点睛】本题考查了椭圆的离心率的计算,属于简单A(1,1),B(m,3),C(3,n)

题目.uuuu

O-O=(m-3,3-n),=(1,1)，

1-2【巩固】【正确答案】D

【试题解析】【分析】根据椭圆方程先写出标准方程，得(m-3,3-n).(1,1)=0，得m-3+3-n=0，得

然后根据标准方程写出a，b，c便可得到离心率.

m-n=0.

【详解】解：由题意得：

故选：D

222

Qx+4y=4Þ+y=12-3【提升】【正确答案】D

:a2=4，b2=1【试题解析】【分析】根据投影向量的定义可求得

:c2=a2-b2=3，ex+2y=1，再利用二次函数的性质求解x2+y2的最

a2

小值.

故选：D

1-3【提升】【正确答案】C【详解】向量=(1,2),=(x,y)，

22

【试题解析】【详解】焦点在x轴上的椭圆+=1,∵:

.=x+2y,==，

可得，

a=,c=ö

在上的投影向量是==，

÷

11,

椭圆的离心率为,可得：=，解得m=4.::

22x+2y=1，

故选C.2

2

x2+y2=(1-2y)+y2=5y2-4y+1=5(çy-+

2-1【基础】【正确答案】Aè

:

【试题解析】【分析】先计算.和，利用投影向量,

211

的定义即可求解.当y=,x=时，x2+y2取最小值.

555

【详解】由题意得

故:选：D.

.=3×1+4×(-1)=-1,==，3-1【基础】【正确答案】C

【试题解析】【分析】先将分式不等式≤0求解得

.-

所以在上的投影向量为：=-，

到集合B，根据交集的运算即可得出答案.

故选：

A.xìx(x-6)≤0

【详解】≤0ÛíÛ0≤x<6，又

2-2【巩固】【正确答案】Dx-6lx-6≠0

18/39

∈*

xNlog(325)

log375==2=

15log(5)

所以集合B={1,2,3,4,5}，又A={0,1,2,4,5,6}，2

3

log23+log25log23+3log25a+3b

所以A∩B={1,2,4,5}，===,

log23+log25log23+log25a+b

故选：C.

故B正确.

32【巩固】【正确答案】C

故选：B

【试题解析】【分析】根据绝对值不等式的解法、分式

51【基础】【正确答案】D

不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.

【试题解析】【分析】根据直线与圆的位置关系结合点

【详解】因为A=xx≤1=x-1≤x≤1，

{}{}到直线的距离公式运算求解.

ìx-2ü【详解】圆22的圆心为圆1,-2，

B=íx≤0ý={x0<x≤2}，(x-1)+(y+2)=4()

lxþ

半径为2，

所以A∩B={x|0<x≤1}，

3-8+mm-5

故选：由题意可得：==2，解得m=-5或

C·5

33【提升】【正确答案】B

m=15.

【试题解析】【分析】利用集合的运算结合一元二次不

故选：D.

等式、分式不等式的解法，直接计算求解即可.

52【巩固】【正确答案】D

【详解】因为

ü【试题解析】【分析】根据直线和圆相切得出圆心到直

2ì<=<<

A={x∣x-2x-3<0}={x-1<x<3},B=íx0ý{x1x4}

lþ线距离为半径得出参数.

所以A∩B={x1<x<3}=(1,3).222

【详解】圆(x-a)+(y+2)=a的圆心为(a,-2)，

故选：B

半径为a(a不为0)，

41【基础】【正确答案】A

因为圆与直线2x+ay-3a=0相切，

【试题解析】【分析】利用换底公式结合对数的运算性