2026高考数学一轮复习-6.3等比数列【课件】

第3节等比数列[课程标准要求]1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.等比数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第

项起,每一项与它的前一项的比都等于

,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的

,公比通常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么

叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒

.

2同一个常数公比GG2=ab只有两个同号的数,才有等比中项,并且等比中项有两个.2.等比数列的有关公式等比数列{an}的首项为a1,公比为q.(1)通项公式:an=

.a1qn-1(2)前n项和公式:3.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·

(n,m∈N*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=

.qn-map·aq(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).(1)an=·qn,当q>0,且q≠1时,可以看成函数y=cqn,是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列{an}各项所对应的点都在函数y=cqx的图象上;当q=1时,{an}为非零常数列.(2)则Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0,q≠1).由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=-aqx+a图象上一系列孤立的点.对于常数列的等比数列,即q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=a1x图象上一系列孤立的点.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(

)(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(

)(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(

)(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.(

)(5)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(

)×××××2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于(

)A.- B.-2 C.2 D.√3.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6等于(

)A.31 B.32 C.63 D.64√解析:根据题意知,等比数列{an}的公比不是-1.由等比数列的性质,得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.故选C.4.将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列是(

)A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列√5.在等比数列{an}中,a3=9,a7=729,则a3与a7的等比中项为

.

解析:设a3与a7的等比中项为G.因为a3=9,a7=729,所以G2=9×729=6561,所以G=±81.±816.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=

.

-11解析:设等比数列{an}的公比为q,因为8a2+a5=0,所以8a1q+a1q4=0,所以q3+8=0,所以q=-2,所以

02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一等比数列基本量的运算[例1](1)(2023·全国甲卷)已知正项等比数列{an}中,a1=1,Sn为{an}前n项和,S5=5S3-4,则S4等于(

)A.7 B.9 C.15 D.30解析:(1)由题意知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4,即q3+q4=4q+4q2,即q3+q2-4q-4=0,即(q-2)(q+1)(q+2)=0.由题意知q>0,所以q=2,所以S4=1+2+4+8=15.故选C.√2n-1解析:(2)设等比数列{an}的公比为q,(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和

(1)已知数列{an}是递增的等比数列,a6-a2=40,a4+a2=10,则a1等于(

)√[针对训练](2)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为

.

解析:(2)若q=1,则由8S6=7S3得8×6a1=7×3a1,则a1=0,不符合题意,所以q≠1.当q≠1时,因为8S6=7S3,所以

即8·(1-q6)=7·(1-q3),即8·(1+q3)(1-q3)=7·(1-q3),即8·(1+q3)=7,解得q=.[例2]已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列;②数列{Sn+a1}是等比数列;③a2=2a1.解:选①②作为条件证明③.设等比数列{Sn+a1}的公比为q,Sn+a1=Aqn-1(A≠0),则Sn=Aqn-1-a1,当n=1时,a1=S1=A-a1,所以A=2a1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Aqn-2(q-1),考点二等比数列的判定与证明因为{an}是等比数列,所以

解得q=2,所以a2=A=2a1.选①③作为条件证明②.因为a2=2a1,{an}是等比数列,所以公比q=2,所以Sn==a1(2n-1),即Sn+a1=a12n,因为=2,所以{Sn+a1}是等比数列.选②③作为条件证明①.设等比数列{Sn+a1}的公比为q,Sn+a1=Aqn-1(A≠0),则Sn=Aqn-1-a1,当n=1时,a1=S1=A-a1,所以A=2a1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Aqn-2(q-1),因为a2=2a1,所以A(q-1)=A,解得q=2,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Aqn-2(q-1)=A·2n-2=a1·2n-1,又因为=2(n≥2),且a2=2a1,所以{an}为等比数列.等比数列的判定方法(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*),则{an}是等比数列.(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0,且=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn,c,q均是不为0的常数,n∈N*,则{an}是等比数列.(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.[针对训练](2019·全国Ⅱ卷)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(1)证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),则an+1+bn+1=(an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)求{an}和{bn}的通项公式.考点三等比数列的性质及应用角度一等比数列项的性质[例3]已知数列{an}是等比数列,若a2=1,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的最小值为(

)A. B.1 C.2 D.3√在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.角度二等比数列和的性质[例4]已知正项等比数列{an}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=

.

解析:设等比数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇,由S2n=3S奇,得(1+q)S奇=3S奇,因为an>0,所以S奇>0,所以1+q=3,q=2.2(1)等比数列{an}中,所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶