2026高考数学一轮复习8.3圆的方程【课件】

第3节圆的方程[课程标准要求]1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.圆的方程(1)圆的定义:平面上到

的距离等于

的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.(2)圆的标准方程:我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为

,半径为

的圆的标准方程.当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点O为圆心,r为半径的圆.定点定长(a,b)r(3)圆的一般方程:对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.①当D2+E2-4F>0时,该方程表示以

为圆心,

为半径的圆,该方程叫做圆的一般方程;②当D2+E2-4F=0时,该方程表示点

;③当D2+E2-4F<0时,该方程不表示任何图形.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则2.点与圆的位置关系位置关系d与r的大小关系点P的坐标满足条件点在圆外d>r

点在圆上

(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆内

(x0-a)2+(y0-b)2<r2(x0-a)2+(y0-b)2>r2d=rd<r1.圆的“直径式”方程:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0.2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.3.圆心在任一弦的垂直平分线上.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(

)(2)方程(x+a)2+(y+b)2=r2(r∈R)表示圆心为(-a,-b),半径为r的圆.(

)(3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F>0.(

)(4)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圆心为(2,1)的圆.(

)×√√×2.已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是(

)A.(2,2) B.(1,3)C.(-1,-2) D.(0,-1)√解析:A中(2-3)2+(2+2)2=17>16,在圆外;B中(1-3)2+(3+2)2=29>16,在圆外;C中(-1-3)2+(-2+2)2=16,在圆上;D中(0-3)2+(-1+2)2=10<16,在圆内.故选D.3.圆x2+y2+2x-4y-6=0的圆心和半径分别是(

)A.(-1,-2),11 B.(-1,2),11√解析:先化为标准方程可得(x+1)2+(y-2)2=11,故圆心为(-1,2),半径为.故选D.4.与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的圆的标准方程为(

)A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25√解析:由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1,0),设所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=r2(r>0),点P(-2,4)代入得(-2-1)2+42=r2,解得r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25.故选D.5.圆心在y轴上,半径长为1,且过点(1,2)的圆的一般方程是

.x2+y2-4y+3=0解析:设圆心坐标为(0,b),则(0-1)2+(b-2)2=12,解得b=2.所以圆心为(0,2),所以圆的方程为x2+(y-2)2=1.即x2+y2-4y+3=0.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一圆的方程[例1](1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

.

(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或解析:(1)①若圆过(0,0),(4,0),(-1,1)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分别将三点的坐标代入,易知D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.②若圆过(0,0),(4,0),(4,2)三点,法一设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.法二在平面直角坐标系中作出这三个点(图略),显然由这三个点的连线组成的三角形为直角三角形,该直角三角形的外接圆的圆心为点(0,0)和点(4,2)所连线段的中点,即(2,1),直径2R等于点(0,0)和③若圆过(0,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分别将三点的坐标代入,④若圆过(4,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分别将三点的坐标代入,(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为

.(x-1)2+(y+1)2=5解析:(2)法一设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.易得D2+E2-4F>0,所以☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5.求圆的方程的两种方法(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值.②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.[针对训练](1)经过坐标原点,且圆心坐标为(-1,1)的圆的一般方程是(

)A.x2+y2-2x-2y=0B.x2+y2-2x+2y=0C.x2+y2+2x-2y=0D.x2+y2+2x+2y=0√解析:(1)设圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=R2,经过坐标原点(0,0),则R2=2.所以(x+1)2+(y-1)2=2,即x2+y2+2x-2y=0.故选C.(2)(2024·湖南常德模拟)以点A(1,-2),B(3,4)为直径端点的圆的方程是(

)A.(x-2)2+(y+1)2=10B.(x-2)2+(y-1)2=C.(x-2)2+(y+1)2=D.(x-2)2+(y-1)2=10√解析:(2)A,B的中点坐标为(2,1),即圆心为(2,1),所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.故选D.考点二与圆有关的轨迹问题[例2]已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;解:(1)法一设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).法二设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知

.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解:(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),且M是线段BC的中点,所以由中点坐标公式得所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(y≠0).因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.(3)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.注意是否有“特殊点”需要“抠除”.[针对训练](1)已知等腰三角形ABC的一个顶点为A(4,2),底边的一个端点为B(3,5),则底边的另一个端点C的轨迹为

.以A(4,2)为圆心,半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点解析:(1)如图,由题意得等腰三角形ABC的底边的端点C在以A(4,2)为圆心,经过点B(3,5)的圆上,且除去点B以及点B关于点A对称的点.设点B(3,5)(2)若长为10的线段的两个端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点M的轨迹方程为

.x2+y2=25[例3]已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上.(1)求的最大值和最小值;考点三与圆有关的最值问题解:(1)可视为点(x,y)与原点连线的斜率,的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y=kx,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即,(2)求x+y的最大值和最小值;解:(2)设t=x+y,则y=-x+t,t可视为直线y=-x+t在y轴上的截距,所以x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即求它的最值可视为求点(x,y)到定点(-1,2)的距离的最值,可转化为求圆心(2,-3)到定点(-1,2)的距离与半径的和或差.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如m=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.[针对训练](1)已知实数x,y满足(x-2)2