2026高考数学一轮复习8.5椭圆【课件】

第5节椭圆[课程标准要求]1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于

)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的

,两焦点间的距离叫做椭圆的

,焦距的一半称为

.其数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c为常数}.|F1F2|焦点焦距半焦距在椭圆定义中,若2a=|F1F2|,则动点的轨迹不是椭圆,而是连接两定点的线段(包括端点);若2a<|F1F2|,则轨迹不存在.2.椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程(a>b>0)(a>b>0)性质范围

顶点

性质轴长长轴长2a,短轴长2b焦点

离心率,且e∈(0,1)a,b,c的关系a2=b2+c2-a≤x≤a,且-b≤y≤b-b≤x≤b,且-a≤y≤aA1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关,e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆.1.椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为,通径是最短的焦点弦.2.设P,A,B是椭圆(a>b>0)上不同的三点,其中A,B关于原点对称,P与A,B均不关于坐标轴对称,则直线PA与PB的斜率之积为定值.3.若P(x0,y0)为椭圆(a>b>0)上的任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中

.4.椭圆系方程:5.椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.(1)当P为短轴端点时,θ最大,最大.(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.(4)|PF1|·|PF2|≤.(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦点三角形的周长为2(a+c).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)表示的曲线是椭圆.(

)(2)(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.(

)(3)(a>b>0)与(a>b>0)的焦距相等.(

)(4)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.(

)×√×√2.中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是(

)√解得a=9,c=3,所以a2=81,b2=a2-c2=72,3.(选择性必修第一册P109T3改编)已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则△ABF2的周长为(

)A.10B.15C.20D.25√解析:由题意椭圆的长轴长为由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△ABF2的周长是20.故选C.4.已知椭圆的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(

)√解析:由已知可得b2=4,c=2,则a2=b2+c2=8,5.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为

.解析:由题可知,1-m>m>0,解得,所以实数m的取值范围为02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一椭圆的定义及应用角度一根据定义判断曲线的形状[例1]一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,那么动圆的圆心P的轨迹是(

)A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.双曲线的一支√解析:设动圆P的半径为r,又圆A:(x+1)2+y2=1的半径为1,圆B:(x-1)2+y2=64的半径为8,则|PA|=r+1,|PB|=8-r,可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.故选A.√角度二椭圆的焦点三角形[例2](多选题)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆的左、右焦点分别是F1,F2,为椭圆C上一点,则下列结论正确的是(

)A.△MF1F2的周长为6B.△MF1F2的面积为C.△MF1F2的内切圆的半径为D.△MF1F2的外接圆的直径为√√(1)确认平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a的点的轨迹为椭圆必须满足“2a>|F1F2|”;(2)焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|,|PF2|;通过整体代入可求其面积等.[针对训练](1)(角度一)

如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是(

)A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆√解析:(1)连接QA(图略).由已知得|QA|=|QP|,所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义知,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.故选A.(2)(角度二)设椭圆

(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为2,则a等于(

)A.1B.2C.D.4√所以4c2=(n+m)2-2mn=4a2-8,①解析:(2)设|PF2|=m,|PF1|=n,由∠F1PF2=90°,△PF1F2的面积为2,考点二椭圆的标准方程[例3]已知椭圆E经过A(-2,0),中的三个点,则椭圆的标准方程为

.

解析:根据椭圆的对称性及点B,C的纵坐标相同,横坐标的绝对值不同,可知点B,C中有且只有一个点在椭圆E上,而A,D必在椭圆上.设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),将点A,D坐标代入椭圆C在其上,B不在其上.求椭圆方程的方法(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求出m,n的值即可.[针对训练]过点(3,-2)且与有相同焦点的椭圆方程为(

)√考点三椭圆的简单几何性质角度一离心率[例4](2024·湖南邵阳模拟)已知椭圆

(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,半焦距为c.在椭圆上存在点P使得,则椭圆离心率的取值范围是(

)√求椭圆离心率或其范围的方法(1)直接求出a,c,利用离心率公式求解.(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式求解.(3)构造a,c的方程,可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e.角度二与椭圆上的点有关的最值或范围问题[例5](1)(2024·河南模拟)椭圆

的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆E上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的平分线PQ交椭圆E的长轴于点Q(m,0),则m的取值范围为(

)√(2)焦点在x轴上的椭圆的离心率,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,则的最大值为(

)A.4B.6C.8D.10√与椭圆上的点有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质.(2)设出椭圆上的点的坐标,构造关于以点的坐标为变量的函数关系式,利用函数知识求解.有些也可以利用不等式,注意利用椭圆的范围.[针对训练](1)(角度一)(2022·全国甲卷)椭圆(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为则C的离心率为(

)√(2)(角度二)(2021