2026高考数学一轮复习-9.2用样本估计总体【课件】

第2节用样本估计总体[课程标准要求]1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数、百分位数),理解集中趋势参数的统计含义.2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.百分位数(1)第p百分位数的定义:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有

的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.(2)四分位数:25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为

,其中第25百分位数也称为

或

,第75百分位数也称为

或

.p%四分位数第一四分位数下四分位数第三四分位数上四分位数第50百分位数就是中位数,中位数是百分位数的特例,百分位数是中位数的推广.2.总体集中趋势的估计(1)平均数:=

.(2)中位数:将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,处在最

的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的

(当数据个数是偶数时).(3)众数:一组数据中出现次数

的数据(即频数最大值所对应的样本数据).中间平均数最多(1)平均数、中位数、众数分别从不同角度描述了一组数据的特征,刻画了一组数据的大致情况.平均数表示“一般水平”,中位数表示“中等水平”,众数表示“多数水平”.(2)一组数据的平均数、中位数都是唯一的.众数不一定唯一,且众数一定是原数据中的数,而平均数和中位数都不一定是原数据中的数.3.总体离散程度的估计1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)若一组样本数据的第10百分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23.(

)(2)平均数受数据的极端值的影响较大.(

)(3)方差反映了一组数据的离散程度.(

)(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.(

)(5)样本数据的方差越小,说明样本数据的稳定性越差.(

)(6)数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半.(

)×√√√×√2.数据7,4,2,9,1,5,8,6的第70百分位数为(

)A.5 B.6 C.7 D.8√解析:将数据从小到大重新排列为1,2,4,5,6,7,8,9,共8个数据,由于8×70%=5.6,所以第70百分位数为7.故选C.3.(多选题)(2024·辽宁沈阳模拟)某团队共有20人,他们的年龄分布如表所示,年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的是(

)A.众数是32 B.众数是5C.极差是17 D.25%分位数是30√√√解析:年龄为32的有5人,故众数是32,A正确,B错误;45-28=17,极差为17,C正确;因为20×25%=5,(30+30)÷2=30,故25%分位数是30,D正确.故选ACD.4.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是

,该组数据的方差是

.2解析:由已知,得4+2a+3-a+5+6=20,所以a=2.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一总体百分位数的估计角度一离散型数据的百分位数[例1]按从小到大顺序排列的9个数据:10,16,25,33,39,43,m,65,70,若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73,则m等于(

)A.40 B.48 C.50 D.57√解析:因为9×25%=2.25,所以第一四分位数为第3个数25;因为9×75%=6.75,所以第三四分位数为第7个数m,所以25+m=73,解得m=48.故选B.计算一组n个数据的p%分位数的步骤角度二连续型数据的百分位数[例2]某小学对在校学生开展防震减灾教育,进行一段时间的展板学习和网络学习后,学校对全校学生进行问卷测试(满分100分).现随机抽取了部分学生的答卷,得分的频数统计表和对应的频率分布直方图如图所示:得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数6a2418(1)求a,b的值;解:(1)由频率分布直方图可知,得分在[20,40)的频率为0.005×20=0.1,故抽取的学生答卷数为6÷0.1=60,由6+a+24+18=60,得a=12.(2)根据频率分布直方图,估计样本数据的15%和85%分位数.解:(2)由图可知,[20,40)内的比例为10%,[40,60)内的比例为20%,[60,80)内的比例为40%,[80,100]内的比例为30%.因此,15%分位数一定位于[40,60),85%分位数一定位于[80,100],频率分布直方图中第p百分位数的求解方法可以模仿中位数的求解思路:(1)确定第p百分位数所在的区间[a,b).(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%,fb%,[针对训练](1)(角度二)如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图,则由直方图得到的25%分位数为(

)A.66.5 B.67 C.67.5 D.68√解析:(1)因为第一组的频率为0.010×10=0.1,前两组的频率之和为(0.010+0.020)×10=0.3,所以25%分位数在[60,70)内,(2)(角度一)某学校为了解该校学生开展志愿者活动的情况,随机抽取了40名学生,对他们本学期参与志愿者活动的时长进行了统计,已知统计数据如表所示:时长/小时7891011人数/人610987则该校学生开展志愿者活动时长的第40百分位数是

.

8.5解析:(2)40×40%=16,故第40百分位数是第16个数和第17个数的平均数,[例3](多选题)某学校共有2000名男生,为了了解这部分学生的身体发育情况,学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则下列结论正确的是(

)C.样本平均数的估计值为66D.该校男生体重不低于70kg的人数大约为600考点二总体集中趋势的估计√√√对于B,设样本的中位数为x,观察频率分布直方图可知该中位数位于[65,70)之间,对于C,由直方图估计样本平均数为57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75,C错误;对于D,2000名男生中体重不低于70kg的人数大约为2000×5×(0.04+0.02)=600,D正确.故选ABD.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数(1)众数:取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数.(2)中位数:把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标作为中位数.(3)平均数:等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.[针对训练](多选题)(2024·浙江金华模拟)某公司开发了一款运动监测软件,用户可以通过软件查看自己每天行走的步数,同时也可以和其他用户进行运动量的PK或点赞,为了解用户每周行走的步数,从女性用户、男性用户中分别随机调查了200名用户,得到女性用户和男性用户每周行走步数的频率分布直方图,如图所示.若女性用户和男性用户每周行走步数的中位数分别为x1,x2,平均数分别为y1,y2,则(

)A.x1>x2 B.x1<x2C.y1>y2 D.y1<y2解析:由频率分布直方图,因为(0.015+0.02)×10=0.35,(0.015+0.02+0.025)×10=0.6,(0.005+0.02)×10=0.25,(0.005+0.02+0.035)×10=0.6,√√则x1∈[60,70),x2∈[70,80),显然每周行走步数的中位数x1<x2,故B正确;y1=45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.1+95×0.1=67,y2=55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.15=77.5,所以每周行走步数的平均数y1<y2,故D正确.故选BD.考点三总体离散程度的估计[例4](2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.9新设备10.110.410.110.010.1旧设备9.810.010.110.29.7新设备10.310.610.510.410.5解:(1)由表格中的数据易得,(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高.(如果

则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高)利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.[针对训练](2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi