2026高考数学一轮复习-10.8二项分布、超几何分布与正态分布【课件】

第8节二项分布、超几何分布与正态分布[课程标准要求]1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题.3.了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.两点分布两点分布X01P1-pp我们称X服从

或0—1分布.一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=

,D(X)=

.对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如表所示.pp(1-p)2.二项分布(1)n重伯努利试验①我们把只包含

个可能结果的试验叫做伯努利试验.②我们将一个伯努利试验

进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:同一个伯努利试验重复做n次;各次试验的结果

.独立地重复相互独立两(2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作

.(3)二项分布的均值与方差如果X～B(n,p),那么E(X)=

,D(X)=

.X～B(n,p)npnp(1-p)(1)两点分布是二项分布的特殊情况.(2)二项分布是放回抽样问题(独立重复).3.超几何分布(1)超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=

,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.(2)超几何分布的均值次品率次品率np(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.(2)“二项分布”与“超几何分布”的区别:放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.(3)在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为n重伯努利试验,进而判定是否服从二项分布.大量问题中的随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个

甚至

,但取一点的概率为

,我们称这类随机变量为连续型随机变量.区间整个实轴0对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为

,简称正态曲线.4.正态分布(1)连续型随机变量正态密度曲线②若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从

分布,记为

.特别地,当

,

时,称随机变量X服从标准正态分布.③若X～N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域

的面积,而P(a≤X≤b)为图中区域

的面积.正态X～N(μ,σ2)μ=0σ=1AB(3)正态曲线的特点①曲线是单峰的,它关于直线

对称;②曲线在x=μ处达到峰值③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;x=μ④当σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图所示.当μ取定值时,因为正态曲线的峰值与σ成反比,而且对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,正态曲线“

”,表示随机变量X的分布比较

;当σ较大时,峰值低,正态曲线“

”,表示随机变量X的分布比较

,如图所示.瘦高集中矮胖分散(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ,σ2),则E(X)=

,D(X)=

.(5)正态分布在三个特殊区间内的概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.μσ2在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.对于X～N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知(1)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0).(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.(

)(2)12道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数X～B(12,0.25).(

)(3)从4名男生和3名女生中选出4人,其中女生的人数X服从超几何分布.(

)(4)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“矮胖”.(

)√√√×2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=

.

0.14解析:因为X～N(2,σ2),所以P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.3.在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品的个数,则P(X=1)=

.解析:由题意得,P(X=1)=4.若随机变量X～B(6,p),且E(X)=2,则P(X=3)=

.解析:因为随机变量X～B(6,p),且E(X)=2,02提升·关键能力类分考点,落实四翼[例1](多选题)某城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从该城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是(

)A.这5个家庭均有小汽车的概率为B.这5个家庭中,恰有3个家庭拥有小汽车的概率为C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D.这5个家庭中,4个家庭以上(含4个家庭)拥有小汽车的概率为√√考点一n重伯努利试验与二项分布角度一n重伯努利试验√在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时,首先要确定好n和k的值,再准确利用公式求概率.角度二二项分布[例2]在一个袋子里有大小一样的5个小球,其中有3个红球和2个白球.(1)若有放回地每次从中摸出1个球,连摸3次,设摸到红球的次数为X,求随机变量X的分布列、数学期望和方差;故X的分布列为(2)若每次任意取出1个球,记录颜色后放回袋中,直到取到两次红球就停止,设取球的次数为Y,求Y=4的概率.(1)判断某随机变量是否服从二项分布的关键点①在每一次试验中,事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.④确定二项分布中的两个参数n和p,即试验进行的次数和每次试验中事件发生的概率.(2)求随机变量X的期望与方差时,如果X～B(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.[针对训练](1)(角度一)(多选题)某同学投篮1次,投中的概率是0.8,他连续投篮4次,且他每次投篮互不影响,则下列四个选项中,正确的是(

)A.他第3次投中的概率是0.8B.他恰投中3次的概率是0.83×0.2C.他至少投中1次的概率是1-0.24D.他恰好有连续2次投中的概率为3×0.83×0.2√√(1)解析:投篮1次,投中的概率为0.8,所以第3次投中的概率为0.8,故A正确;恰投中3次的概率为×0.83×0.2=4×0.83×0.2,故B错误;至少投中1次对立事件为4次都没有投中,所以至少投中1次的概率为1-×0.24=1-0.24,故C正确;恰好有连续2次投中的概率为3×0.82×0.22,故D错误.故选AC.(2)(角度二)(2024·河北唐山模拟)劳动课程已成为中小学的一门独立课程,某校为了贯彻落实教育部要求,调查了在校高中生一周参加劳动的时长,所得结果统计如图所示.①求a的值;(2)解:①(0.004+0.006+0.012+a+0.006+0.002)×25=1,解得a=0.01.②估计该校学生一周参加劳动的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);解:②该校学生一周参加劳动的平均时长的估计值为12.5×0.1+37.5×0.15+62.5×0.3+87.5×0.25+112.5×0.15+137.5×0.05=71.25(min).③以频率估计概率,若在该市所有学生中随机抽取4人,记一周的劳动时长在[0,50)的学生人数为X,求X的分布列以及数学期望E(X).故X的分布列为考点二超几何分布角度一超几何分布及概率计算[例3](2024·山东淄博模拟)袋中有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论正确的是(

)①取出的最大号码X服从超几何分布;②取出的黑球个数Y服从超几何分布;③取出2个白球的概率为;④若取出1个黑球记2分,取出1个白球记1分,则总得分最大的概率为.A.①② B.②④ C.③④ D.①③④√解析:对于①,根据超几何分布的定义,要把总体分为两类,再依次选取,由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义,无法用超几何分布的数学模型计算概率,故①错误;对于②,取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义,将黑球视作第一类,白球视作第二类,可以用超几何分布的数学模型计算概率,故②正确;角度二超几何分布的分布列[例4](2024·安徽宿州模拟)为了统计某市智算中心的算力,现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析,若一次抽取2个机房,全是小型机房的概率为.(1)求n的值;(2)若一次抽取3个机房,假设抽取的小型机房的个数为X,求X的分布列和数学期望.解:(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.则随机变量X的分布列为则X的数学期望(1)求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.(2)超几何分布在计算出均值后,可以用进行验证.[针对训练]√(2)(角度二)据调查,目前对于已经近视的高中学生,有两种佩戴眼镜的选择,一种是佩戴传统的框架眼镜;另一种是佩戴角膜塑形镜.某市从该地区高中学生中随机抽取容量为100的样本,其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人,其中2名是男生,6名是女生).①若从样本中选一名学生,已知这名高中生戴眼镜,那么,其戴的是角膜塑形镜的概率是多大?②从这8名戴角膜塑形镜的学生中,选出3个人,求其中男生人数X的分布列及期望.解:②依题意,佩戴角膜塑形镜的有8人,其中2名是男生,6名是女生,故从中抽3人,男生人数X的所有可能取值为0,1,2,所以男生人数X的分布列为考点三正态分布角度一正态分布的理解与有关概率计算[例5](1)(2024·河北衡水模拟)若随机变量X～N(μ,σ2)(σ>0),则有如下结论:P(|X-μ|≤σ)≈0.6827,P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545,P(|X-μ|≤3σ)≈0.9973,高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120,方差为100,理论上在130分以上的人数约为(

)A.19 B.12 C.6 D.5√解析:(1)由题意知该班数学成绩近似地服从正态分布N(120,102),又P(|X-μ|≤σ)≈0.6827,所以P(|X-120|≤10)≈0.6827,根据正态曲线的对称性知,理论上在130分以上的概率约为×(1-0.6827)=0.15865,所以理论上在130分以上的人数约为0.15865×40≈6.故选C.(2)(2024·福建宁德模拟)某地生产红茶已有多年,选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验,在正常环境下,甲、乙两个品种的茶青每500g的红茶产量(单位:g)分别为X,Y,且X～N(μ1,),Y～N(μ2,),其密度曲线如图所示,则以下结论错误的是(

)A.Y的数据较X更集中B.P(X≤c)<P(Y≤c)C.甲品种茶青每500g的红茶产量超过μ2的概率大于D.P(X>c)+P(Y≤c)=1√解析:(2)对于A,Y的密度曲线更“瘦高”,即数据更集中,正确;对于B,因为直线x=c,直线x=μ2,x轴与Y的密度曲线围成的面积S1>直线x=c,直线x=μ1,x轴与X的密度曲线围成的面积S2,所以P(X≤c)<P(Y≤c),正确;所以P(X>c)+P(Y≤c)=1+S1-S2>1,错误.故选D.(1)正态曲线在已知区间上的概率求解问题,可利用正态曲线关于直线x=μ对称的特征,结合正态曲线及正态曲线的性质如P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X>μ+a)等求解.(2)利用正态分布结合样本总体估计样本落在某一区间的频数时,首先应计算出样本落在该区间的频(概)率,再根据频(概)率的意义求解,此类问题要注意3σ原则的应用.角度二正态分布的应用[例6](2024·广东汕头模拟)某商场在五一假期期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,竞猜活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,每关第一次未通过时会有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为,第二关通过的概率为,求甲可以进入第三关的概率;(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问:甲能否获得奖励?请说明理由;解:(2)设此次闯关活动的分数X～N(μ,σ2).①由题意可知μ=171,②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附:若随机变量X～N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解:②假设乙所说为真,则μ=201,所以X>μ+3σ为小概率事件,即丙的分数为430分是小概率事件,可认为其一般不可能发生,但却又发生了,所以可认为乙所说为假.利用正态分布求解实际问题,首先应根据题目特征计算随机变量的均值与方差,进而计算标准差,将问题转化为正态分布问题,结合正态分布的有关性质求解.计算时要注意计算结果的准确性(若已知题目中告诉相应的数据,则在计算中应出现并利用相应的数据).[针对训练](1)(角度一)(2024·江苏南京模拟)某种品牌手机的电池使用寿命X(单位:年)服从正态分布N(4,σ2)(σ>0),且使用寿命多于2年的概率为0.9,则该品牌手机电池至少使用6年的概率为(

)A.0.9 B.0.7 C.0.3 D.0.1√(2)(角度二)(2024·江苏扬州模拟)随着网络技术的迅速发展,各种购物群成为网络销售的新渠道.在凤梨销售旺季,某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况,各购物群销