2024年中考数学试题分类练：圆的相关性质（34题）解析版

专题22圆的相关性质（34题）

一、单选题

1.（2024•湖南•中考真题）如图，AB,AC为0。的两条弦，连接08,OC,若4=45。，则/AOC的度

数为（）

A.60°B.75°C.90°D.135°

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

是解题的关键.根据圆周角定理可知NA=；N"OC,即可得到答案.

【详解】根据题意，圆周角NA和圆心角N80C同对着8C，

ZA=-ZBOC,

2

vZA=45°,

NBOC=2ZA=2x45。=90°.

故选：C.

2.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图，4B是。。的直径，Z£=35°,则N3QD=（）

100°C.120°D.110°

【答案】D

【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出NAOD=2NE.

由圆周角定理得到NAOD=2ZE=70°,由邻补角的性质求出/BOD=180°-70°=110°.

【详解】解：・・・NE=35。,

.-.ZA(9D=2Z£=70o,

/.Z5OD=180°-70°=110°.

故选：D.

3.（2024•江苏连云港・中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在。点，另一端绑一重物.将此重物拉到力

点后放开，让此重物由力点摆动到8点.则此重物移动路径的形状为（）

A.倾斜直线B.抛物线C.圆弧D.水平直线

【答案】C

【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧.

【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以。为圆心，04为半径的一段圆

弧，

故选：C.

4.（2024•四川凉山・中考真题）数学活动课上，同学们要测•个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解

决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作从8的垂直平分线CD交于点。，交43于点C,

A.5（）cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本题考杳垂径定理，勾股定理等知识.由垂径定理，可得出8。的长；设圆心为O,连接OB,在

RlZXOBD中，可用半径0B表示出。。的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直

径长.

【详解】解・：匚8是线段4B的星直平分线，

匚直线C。经过圆心，设圆心为。，连接08.

[C

¥氐4。8。BD=l^=20cm,

2

d（

根据勾股定理得：

OD2+BD2=OB2,即：

（08—10）2+2（f=083

解得：013=25；

故轮子的半径为25cm,

故选：C.

5.12024•内蒙古赤峰•中考真题）如图，AO是。。的直径，是。。的弦，半径008,连接CO,交08

于点E,NBOC=42。，则NOE。的度数是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质.先根据垂径定理，求得

4OC=ZBOC=42°,利用圆周角定理求得N。=g^AOC=2-，再利用三角形的外角性质即可求解.

【详解】解：□半径OC_LM,

□zc=z?c»

n/AOC=/ROC=4?°,7AOR=X4°,

AC=ACf

□ZD=-Z^OC=2I°,

2

□Z.OED=ZAOB-ZD=63°，

故选：B.

6.（2024・湖北•中考真题）A8为半圆0的直径，点。为半圆上一点，且NC48=50。.□以点8为圆心，适

当长为半径作弧，交A8.BC于RE；口分别以。后为圆心，大于^。后为半径作弧，两弧交于点P；口作射

线BP,则（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出N48C=40。,

根据作图可得480=；44。=20。，故可得答案

【详解】解：□48为半圆。的直径，

LZACB=90°,

□ZC4B=50°,

□Z4BC=40°,

由作图知，AP是/ABC的角平分线，

ZABP=-ABC=20°

2t

故选：C

7.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，AB是的直径，若NCD8=60。，则NA8C的度数等于（）

【答案】A

【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等.根据直径所对的圆周角为

直角得到48=90。，同弧或等弧所对的圆周角相等得到NCQ8=4=60。，进一步计算即可解答.

【详解】解：:AB是。。的直径，

/.NACB=90°,

ZCDB=60°,

.-.Z4=ZCDB=60°,

=5尸一幺=3（）M,

故选：A.

8.（2024•四川广元・中考真题）如图，已知四边形A8CQ是。。的内接四边形，£为A。延长线上一点，

400=128。，则NC£陀等于（）

金

C

E

A.64°B.60。C.54°D.52°

【答案】A

【分析】本题考杳了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.根据同弧所

对的圆心角等于圆周角的2倍可求得上从。。的度数，再根据圆内接四边形对角互补,可推出NCDK-4U7C,

即可得到答案.

【详解】解：:/ABC是圆周角，与圆心角/AOC对相同的弧，且&OC=128。，

/.ZABC=-ZAOC=-xl28°=64°,

22

又•.•四边形4B8是。。的内接四边形，

ZABC+Z4Z）C=180°,

又ZCDE+ZADC=180°,

.\ZCDE=ZABC=64°,

故选：A.

9.：2024•云南•中考真题）如图，CD是O。的直径，点A、B在0。上.若AC=8C，NAOC=36',则/。=

A.9B.18°C.36D.45

【答案】B

【分析1本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接08,由人。=8。可得/80。=40。=36。,

进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键.

【详解】解：连接0B,

□AC=4C，

□/8OC=ZAOC=36。，

ZD=-Z^OC=18n,

2

10.（2024•黑龙江绥化•中考真题）下列叙述正确的是（）

A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形

B.平分弦的直径垂直于弦

C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本题考杳了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析

判断，即可求解.

【详解】A.顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；

B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；

C物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确,符合题意：

D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正

确，不符合题意；

故选：C.

11.（2024•广东广州•中考真题）如图，中，弦AB的长为4百，点C在上，OC±AB,NA3c=30。.QO

所在的平面内有一点P,若OP=5,则点。与的位置关系是（）

A.点。在上B.点/＞在内C.点。在0。外D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解

题关键.由垂径定理可得4）=26，由圆周角定理可得NAOC=60。，再结合特殊角的正弦值，求出。。的

半径，即可得到答案.

【详解】解：如图，令OC与A8的交点为

•.•0C为半径，人B为弦，且OC_LA8,

/.AD=-AB=2yl3,

2

ZABC=30°

.•.Z4OC=2ZA8C=60。，

在ZkAOO中，400=90。，ZAOD=60°,人。=26,

VsinZAOD=—,

0A

,nA_AD_2x/3_

.Q一逅，即。。的半.径为4,

~2

・/0P=5>4,

.•.点。在。。外，

故选：C.

12.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，四边形A8CO是。。的内接四边形，A8是。。的直径，若

ZBEC=20°,则。的度数为（）

E

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接AC,由A3是。。的直径得到ZAC8=9（）。，

根据圆周角定理得到NC48=N8EC=20。，得至1]448。=90。-/84。=70。，再由圆内接四边形对角互补得

到答案.

【详解】解：如图，连接AC，

□43是0。的直径，

Z4c8=90。，

□ZBEC=20°,

□ZC4B=Z5EC=20°

□NABC=90°-NBAC=70°

匚四边形A8CO是。。的内接四边形，

□Z4DC=180°-ZABC=110°,

故选：B

13.（2024•湖北武汉•中考真题）如图，四边形A8C。内接于。。，ZABC=60°,N84C=NCAO=45。,

AB+AD=2,则。。的半径是（）

A.如B,也C.BD.

3322

【答案】A

【分析】延长AB至点E,使连接8。，连接CO并延长交0。于点片连接AF,即可证得

AADC^AEBC(SAS),进而可求得AC=cos45，AE=&，再利用圆周角定理得到NA"=60。，结合三角

函数即可求解.

【详解】解：延长A8至点£使BE=A。，连接B。，连接CO并延长交。。于点凡连接"，

匚四边形A8CQ内接于。。，

ZADC+ZABC=ZABC+NCBE=\80°

匚ZAOC—NC"

□ZBAC=ZC4Z>=45°

NCBD=NCDB=45。,/D48=90。

□6。是。0的直径，

□ZDCB=90°

匚△QCB是等腰直角三角形，

匚DC=BC

□6£=4。

L—OC且△EBC(SAS)

匚ZACD=NECB,AC=CE,

CAB+AD=2

DAB+BE=AE=2

又口/。。8=90。

□Z4CE=90。

□△ACE是等腰直角三角形

□ZC=cos45°.AE=>/2

□Z4fiC=60°

□ZAFC=60°

□ZE4C=90°

“AC2y/6

sin6003

OF=OC=-CF=—

23

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等

知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

二、填空题

14.（2024•四川南充・中考真题）如图,A6是。。的直径，位于A。两侧的点C,。均在。。上，“。。=30。，

则乙4。。二度.

【分析】本题考查圆周角定理，补角求出NAOC,根据同弧所对的圆周角是圆心角的•半，进行求解即可.

【详解】解：匚A3是0。的直径，位于A8两侧的点C,。均在。。上，NBOC=30°,

LZAOC=180°-ZBOC=150°,

匚NA。。」NA。。=75。；

2

故答案为：75.

15.（2024・北京•中考真题）如图，的直径48平分弦。（不是直径）.若/。=35。，则NC=

C

【答案】55

【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

先由垂径定理得到AB_LCO,由BC=BC得到/力==35。，故/。=90。-35。=55。.

【详解】解：匚直径AB平分弦CQ,

DABA.CD,

BC=BC，

口//=/〃=35°,

口/。=90。-35。=55。，

故答案为：55.

16.（2024•江苏苏州•中考真题）如图，/8C是。。的内接三角形，若NO8C=28。，则NA二

【答案】62。/62度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接OC,利用等腰三角形的性

质，三角形内角和定理求出NBOC的度数，然后利用圆周角定理求解即可.

【详解】解：连接。C,

□08=0C,NO8C=28。，

NOCB=/OBC=28。，

NBOC=180°-ZOCB-ZOBC=124°,

匚NA=-N8OC=62。，

2

故答案为：62°.

17.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，“8C内接于O。，人。是直径，若N8=25。，则NC4D

B

【答案】65

【分析】本题号查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD,根据直径所对的圆周角是直角得

出/ACA90。，根据同弧所对的圆周角相等得出NO=N8=25。，进而根据直角三角形的两个锐角互余，

即可求解.

【详解】解.：如图所示，连接8，

B

△ABC内接于0。，AO是直径,

匚ZACD=90°,

□4C=AC，〃=25。,

口NO=N8=25。

□ZG4D=900-25°=65°,

故答案为：65.

18.(2024・四川眉山・中考真题)如图，△A8C内接于。。，点。在A3上，4。平分/8AC交0。于。，连

接80.若A8=10,BD=2亚,则8c的长为.

【答案】8

【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判

定和性质,延长AC.交于E,由圆周角定理可得/4/)/?=/A/尔=90。,/A「R=/R「E=5)。,进而可

证明△AB。丝△AED(ASA),得到8O=OE=2右，即得跖=46，利用勾股定理得AO=4石，再证明

△ABDSABCE,得到绘二组，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

ABAD

【详解】解：延长AC,BD交于E,

•.•/V?是。。的直径，

,\AADB=ZADE=90°,ZACB=NBCE=90。，

AO平分NB4C,

/.2BAD=乙DAE,

又□AO=4O,

△/WO0△AEQ(ASA),

:.BD=DE=2旧,

:.BE=4有,

•no,BO=2石，

/ID=^1O2-(2X/5)2=4石，

•.­NDAC=/CBD,

又iiNBAD=NDAE,

匚NBAD=NCBD,

ZADB=ZBCE-90。，

:.AABD^ABEC,

.BE_BC

,获―茄’

4>/5BC

一元"乖’

BC=8,

故答案为：8.

E

19.（2024•陕西•中考真题）如图，8c是。。的弦，连接08,0C,乙4是4c所对的圆周角，则与NO8C

的和的度数是.

【答案】90。/90度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的

关键.根据圆周角定理可得=结合三角形内角和定理，可证明2NA+NONC+NOCB=180。，

再根据等腰三角形的性质可知N08C=N0C8,由此即得答案.

【详解】NA是BC所对的圆周角，/BOC是所对的圆心角，

."B0C=2ZA,

•.・NBOC+ZOBC+NOCB=180°,

/.2ZA+ZOBC+40cB=18()。，

\'OB=OC,

:.NOBC=NOCB,

/.2ZA+ZOBC+NOBC=180°,

.•.2Z4+2ZO^C=I80°,

:.ZA+^OBC=90°.

故答案为：90°.

20.(2024•黑龙江牡丹江•中考真题)如图，在。。中，直径A8_LCO于点E,CD=6,BE=1,则弦AC的

长为.

【答案】3M

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键.

由垂径定理得CE=EO=；CO=3,设0。的半径为，则OE=O4-必="一1,在此△OED中，由勾股定

理得出方程，求出，*二5,即可得出AE=9,在心中，由勾股定理即可求解.

【详解】解；匚A8J,CQ,CZ5—6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

设。。的半径为，则OE=O3-E8=r-1,

在Rf^OED中,由勾股定理得：0炉+。炉=0。\即（-1）2+32=/，

解得：r=5,

.•.OA=5,OE=4,

/.AE=OA+OE=9t

在•△A£C中，由勾股定理得：4C=RCE，A上？=j32+了=3而，

故答案为：3\/iU.

21.（2024•江西•中考真题）如图，48是的直径，/18=2,点。在线段八B上运动，过点。的弦DE/AB,

将OBE沿。E翻折交直线48于点F,当。E的长为正整数时，线段网的长为.

【答案】2-6或2+6或2

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据。EK43,可得。£=1或2,利用勾股定理进

行解答即可，进行分类讨论是解题的关键.

【详解】解：•.•A8为直径，DE为弦,

DE<AB,

「•当DE的长为正整数时，力七=1或2,

当DE=2时，即OE为直径，

VDELAB

将DBE沿DE翻折交直线AB于点F,此时尸与点A重合，

故FB=2；

当DE=1时，且在点C在线段08之间，

如图，连接。。，

此时==

OC=>JOD2-DC2=—，

2

2-出

・•.BC=OB-OC=——，

2

/.RF=2BC=2-6

；.BF=2BC=2+6

综上，可.得线段的长为2百或2I百或2,

故答案为：2-75或2+6或2.

22.（2024,河南•中考真题）如图，在RtAA灰?中，ZACT=90°,CA=CI3=3,线段。绕点C在平面内

旋转，过点B作A。的垂线，交射线4。于点£若CD=l,则4E的最大值为,最小值为.

【答案】2&+I/1+2a2&-1/—I+2血

【分析】根据题意得出点。在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据

AE=AB-cosZBAE,得出当cos/BAE最大时，AE最大,cos/BAE最小时，AE最小，根据当AE与相

切于点。，且点。在△ABC内部时，NBAE最小,人E最大，兰AE与0c相切于点。，且点D在"8C外

部时，最大，AE最小，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】解：匚N4C8=90°,CA=CB=3,

匚NBAC=ZABC=1x90°=45°,

2

匚线段C。绕点。在平面内旋转，CD=1,

□点。在以点C为圆心，1为半径的圆上，

□ZJE14E,

□ZAEB=90°,

□点七在以A8为直径的圆上，

在为△ABE中，AE=AB-cosZBAE,

口43为定值，

匚当C0S/84E最大时，AE最大，cos/BAE最小时，4E最小，

当AE与0c相切于点。，且点D在AABC内部时，/84E最小，AE最大，连接C。，CE,如图所示:

则CD_L4E,

Z4ZX?=ZCD£=90°,

AD=>jAC2-CD2=V32-12=2X/2»

AC=ACf

匚NCEO=NABC=45。，

□ZCDE=90°,

CA。月为等腰直角三角形,

DE=CD=\,

□4E=4O+OE=2及+1，

即AE的最大值为2应+1;

当AE与。。相切于点。，且点。在外部时，N8AE最大，AE最小，连接CD,CE,如图所示:

则CO_LAE,

CZCDE=90°,

^AD=>lAC2-CD2=732-12=2X/2»

匚四边形4BCE为圆内接四边形，

匚ZCEA=180°-ZABC=135°,

□ZCED=180°-ZCEA=45°,

□ZCDE=90°,

△CDE为等腰直角三角形，

□DE=CD=i,

口AE=AD-DE=2^-1，

即AE的最小值为2&-1;

故答案为：2贬+1;2V2-1.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质,

解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出AE取最大值和最小值时,

点D的位置.

三、解答题

23.（2024・四川甘孜•中考真题）如图，A3为［。的弦，C为AS的中点，过点。作。。〃43,交OB的延

长线于点。.连接OAOC.

（1）求证：co是口。的切线：

（2）若04=3,BD=2,求△08的面积.

【答案】（1）见解析

Q）6

【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键.

（1）由垂径定理的推论可知据此即可求证；

（2）利用勾股定理求出C。即可求解：

【详解】（1）证明：nAB为口0的弦，。为48的中点，

由垂径定理的推论可知：OC1AB,

口CO〃A8,

□OC_LC£>,

□0C为口。的半径，

匚CO是口。的切线；

（2）解：匚O8=OA=OC=3,BD=2,

nOD=OB+BD=5,

□CD7OD,-OC=4,

□SA"O=；X"XCO=6-

24.（2024呐蒙古包头•中考真题）如图，A8是。。的直径，8C,B。是。。的两条弦，点C与点。在A3的

两侧，石是0B上一点（OE>BE）,连接OCCE,且NBOC=2NBCE.

⑴如图1,若BE=1,CE=45,求OO的半径；

(2)如图2,若BD=2OE,求证：8O〃OC.(请用两种证法解答)

【答案】(1)3

(2)见解析

【分析】(1)利用等边对等角、三角形内角和定理求出/O8C=/OCB=g(180。-N8。。)，结合

NBOC=2NBCE,可得出NOBC+N5CE=90。，在RjOCE中，利用勾股定理求解即可：

(2)法一：过。作OF_LBO于F,利用垂径定理等可得出3尸=；80=0£,然后利用HL定理证明

R^CEO^RsOFB,得出NCOE=NO8尸，然后利用平行线的判定即可得证；

法二：连接4。，证明得出NCOE=ZABD,然后利用平行线的判定即可得证

【详解】(I)解口匚OC=OB,

□£OBC=Z.OCB=1(1800-ZBOC),

□NBOC=2/BCE,

£OBC=-(1800-2ZBCE)=90°-NBCE,即ZOBC+NBCE=90°,

2

□ZOEC=90°,

^OC2=OE2+CE2,

□OC2=((9C-l)2+(>/5)2,

解得OC=3,

即。。的半径为3；

(2)证明：法一：过O作OFLBD于F,

BF=-BD,

2

匚BD=2OE

匚0E=BF,

又OC=OB,40EC=/BF0=90。，

R^CEOgRt△。/8（HL）,

UNCOE=/OBF,

匚BD〃OC；

法二：连接4。，

□A5是直径,

Z4DB=90°,

DAD=>JAB2-BD2=yj(2OC)2-(2OE)2=2y]0C2-0E2=2CE,

OCCEOE1

----=-----=-----=—i

ABADBD2

匚△CfZfAOB,

□NCOE=ZABD,

□BO〃OC.

【点睛】本题考查了垂径定理，和似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内隹和定理，全

等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键.

25.(2024・安徽•考真题)如图，。。是“8C的外接圆，。是直径上一点，NACO的平分线交于

(1)求证：COJ.A8：

(2)设F、M_LA8,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.

【答案】(1)见详解

(2)472.

【分析】本题上要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解

题的关键.

（1）由等边对等角得出由同弧所对的圆周角相等得出/用石=N8CE,由对顶角相等得

出乙正F=NCEB,等量代换得出NCE8=N8CE,由角平分线的定义可得出4C£=NQCE,由直径所对

的圆周角等于90。可得出NAC8=90。，即可得出NCE8+NOCE=NBCE+NACE=NAC8=90。，即

ZCDE=90°.

（2）由（1）知，4CEB=/BCE,根据等边对等角得出6E=8C,根据等腰三角形三线合一的性质可得出

肱3AE的值，进一步求出。4,BE，再利用勾股定理即可求出AC.

【详解】（1）证明：FA=FE,

DZFAE=^AEF，

又NFAE与Z.BCE都是8尸所对的圆周角，

□NFAE=/BCE,

UZAEF=ZCEB,

口NCEB=NBCE,

匚CE平分/AC。，

ZACE=NDCE,

□AB是直径，

rZ4CB=90°,

□NCEB+/DCE=ZBCE+ZACE=ZACB=90°,

故NCD£=90。，

即CZ）_LA8.

（2）由（1）知，NCEB=/BCE,

□BE=BC,

又FX=FE、FMLAB,

FMA=ME=MO+OE=2,AE=4,

匚圆的半径。4=OB=AE-OE=3,

□BE=BC=OB—OE=2,

在AABC中.

AB=2OA=6,8c=2

□AC=y）AB2-BC1=V62-22=4>/2

即AC的长为4&.

26.（2024•四川眉山•中考真题）如图，/石是O。的直径，点A在O。上，点C在BE的延长线上，

Z£4C=ZABC,AO平分NBAE交0。于点。，连结力E.

⑴求证：C4是的切线；

(2)当AC=KC7?=4时，求DE的长.

【答案】(1)见解析

(2)672

【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判

定是解题的关键.

(1)连接QA,根据圆周角定理得到NZMK-90。，根据等腰二帮形的性质得到—NZMO,求得

NQ4C=90。，根据切线的判定定理得到结论；

(2)根据相似三角形的判定和性质定理得到BC=16,求得BE=BC-CE=12,连接80,根据角平分线的

定义得到N84O=N£AO,求得BD=DE，得到8。二。七，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】(1)证明：连接04,

ZBAE=90°,

:.ZBAO+ZOAE=900,

,:GA=OB,

/.ZABC=ZBAO,

•/^EAC=ZABC,

NCAE=/BAO,

：.ACAE+ZOAE=90°,

...NO4c=90。，

人是O。的半径,

・•.C4是0。的切线；

(2)解：•.•ZEAC=Z/4BC,zc=zc,

/.△ABCS/XEAC,

•AC_CE

正一就‘

84

・‘正二=

4c=16,

BE=BC-CE=12,

连接8。，

4。平分

/BAD=/EAD,

BD=DE，

BD=DE,

■.BE的直径，

/.NAOE=9()。，

27.（2024•江苏扬州•中考真题）如图，已知NPAQ及4尸边上一点C.

（1）用无刻度直尺和圆规在射线A0上求作点。，使得NCOQ=2/C4Q；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，以点。为圆心，以04为半径的圆交射线4。于点4,用无刻度直尺和圆规在射线CP

上求作点M，使点M到点。的跳离与点M到射线AQ的距离相等：（保留作图痕迹，不写作法）

⑶在（1）、（2）的条件下，若sinA=1,CM=12,求的长.

【答案】（1）作图见详解

（2）作图见详解

⑶BM=6后

【分析】（1）根据尺规作角等于己知角的方法即可求解；

（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；

（3）根据作图可得MW_LAQ，CM=WM=12,A8是直径，结合锐角三角函数的定义可得AM的值，根据

勾股定理可求出AC的值，在直角ABCM中运用勾股定理即可求解.

【详解】（1）解：如图所示，

NCOQ=2NC4Q；

点。即为所求

（2）解：如图所示,

连接4C,以点3为圆心，以BC为半径画弧交AQ于点片，以点片为圆心，以任意长为半径面弧交AQ于

点G，R,分别以点G，R为圆心，以大于《GA为半径画弧，交于点耳，连接片片并延长交AP于点M，

□46是直径，

匚Z4c8=90。，即8C_LAP,

根据作图可得SG=4A，cm

CMR.±AQ,即乙34由=90。，M片是点M到4。的距离,

□BC=BB、,

CM=B,M,

点”即为所求点的位置;

（3）解：如图所示，

根据作图可得，NCOQ=2NC4Q，MC=MW=\2,MWJ.AQ,连接4C,

WM3

在RhAMW中，siny4=--=7,

AM5

5WM5x12

AM==20,

~T~

□AC=AM—CM=20-12=8,

口/W是直径,

Z4CB=90°,

□smA*」

AB5

设BC=3x,则A8=5x,

在ABC中，（5x）2=（3x）：+8?,

解得，x=2（负值舍去）,

□BC=3x=6,

在R^8CM中，BM=VCM2+BC2=V122+62=65/5.

【点睛】本题主要考查尺规作角等于己知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，

掌握以上知识的综合运用是解题的关键.

28.（2024•河南・中考真题）如图1,塑像A3在底座BC上，点O是人眼所在的位置.当点8高于人的水平

视线。E时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过人

8两点的圆与水平视线Z）E相切时（如图2）,在切点尸处感觉看到的塑像最大，止匕时/APB为最大视角.

A

A

C

图1图2

⑴请仅就图2的情形证明/APB>/ADB.

(2)经测量，最大视角/AP8为30。，在点尸处看塑像顶部点4的仰角4PE为60。，点P到塑像的水平距离

PH为6m.求塑像A8的高(结果精确到0.1m.参考数据：x/3«L73).

【答案】(1)见解析

(2)塑像A8的高约为6.9m

【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：

(1)连接8M,根据圆周角定理得出=根据三角形外角的性质得出4MB>NA。/?,然后

等量代换即可得证；

(2)在RSAHP中，利用正切的定义求出入"，在中，利用正切的定义求出即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接8M.

则"MB=NAPB.

□ZAMB>ZADB，

ZAPB>ZADB.

(2)解：在中，ZAP//=60°,PH=6.

AH

tanZAPH=­

PHf

□;4H=PHtan60o=6xV3=6x/3.

□ZAPB=30°,

Z13PH=ZAPHZAP"=60。30°=30°.

在RtZXBHP中，tanZ/?PA7=—,

BH=PHtan30°=6x—=273.

3

□A8=A4-8H==4凤4x1.73p6.9(m).

答：塑像A3的高约为6.9m.

29.(2024•江西・中考真题)如图，是半圆O的直径，点。是弦4c延长线上一点，连接8D,BC,

NO=48C=600.

AOB

⑴求证：B。是半圆。的切线；

(2)当BC=3时，求AC的长.

【答案】(1)见解析

(2)24

【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式;，熟知相关性质和计

算公式是解题的关键.

(1)根据直径所对的圆周角为直角结合己知条件，可得NC48=30。，即可得乙430=90。，进而可证得结

论；

(2)连接OC,证明△OBC为等边三角形，求得N4OCT20。，利用弧长公式即可解答.

【详解】(1)证明：48是半圆。的直径，

ZACH=90°f

•.•/D=ZA8C=60°,

ZCAB=900-ZABC=30°,

/ABD=180°-ZC4B-NO=90°,

二.BO是半圆。的切线；

(2)解：如图，连接。C,

OC=O8,NC3A=60。，

.・・△0C8为等边三角形，

/.ZCO^=60°,OC=CB=3,

/.ZAOC=1800-ZCOI3=120°,

I.=—x27rx3=27r.

2360

30.（2024•广东深圳•中考真题）如图，在△48。中，AB=BD,0。为△A3。的外接圆，跖为0。的切线,

AC为O。的直径，连接QC并延长交BE于点与

(1)求证：DE1BE

(2)若A8=5«,BE=5,求的半彳仝.

【答案】（1）见解析

（2）375

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：

（1）连接8。并延长，交4。于点〃，连接。。，易证80垂直平分40,圆周角定理，切线的性质，推出

四边形8/7DE为矩形，即可得证；

（2）由（1）可知。"=8石=5,勾股定理求出的长，设。。的半径为广，在中，利用勾股定

理进行求解即可.

【详解】（1）证明：连接8。并延长，交人。于点〃，连接0。，

AB=BD,OA=OD,

□80垂直平分人力,

□BHJ.AD,AH=DH,

UE石为。。的切线，

匚AC为。。的直径，

□44。。=90。，

□四边形3"。七为矩形，

DDE!BE；

（2）由（1）知四边形股〃龙为矩形，BHJ.AD,AH=DH,

□AH=DH=RE=5,

□BH=JAB2-AH2=575，

设。。的半径为小则：OA=OB=r,OH=BH-OB=5亚-r,

在RtZ\AO〃中，由勾股定理，得：r2=（5）2+（5V5-r）\

解得：r=3-75:

即：0。的半径为36.

31.（2024•四川广元•中考真题）如图，在中,AC=BC,ZACB=90°,。0经过/、3两点，交A8

于点。，CO的延长线交AB于点居DE〃CF交BC于点E.

⑴求证：。后为0。的切线：

（2）若AC=4,tanZCF£）=2,求的半径.

【答案】（1）证明见解析；

⑵仁巫.

3

【分析】（1）连接O。，根据等腰三角形的性质可得NCOD=2NC4B=90。，再根据可得

ZEDO=180。一NCO力=90°,问题得证；

（2）过点C作C〃_L4B于点儿根据等腰直角三角形的性质有CH=AH=2及，结合lan/C尸。=2,可

W777=2,即尸”=拒，利用勾股定理可得CF=所.在Rt△尸。。中，根据tan/CFQ=W；=2,设半径

rH（Jr

为广，即有扁二=2,问题得解.

【详解】（1）证明：连接OO.

AC=BC,Z4CB=90°,

□△4CB为等腰直角三角形，

□NC48=45。，

DZCOD=2ZCAB=9O0,

□DE/ICF,

□ZCOZ)+ZEr>O=180o,

ZEDO=180°-ZCOD=90°,

匚OE为。。的切线.

(2)过点。作C”_LA3于点H,

□△ACB为等腰直角三角形，AC=4,

口A8=4后，

□CH=AH=2y/i，

匚tantCFD=2,

心=2,

FH

FH=>/2,

^CF2=CH2+FH2,

□CF=VIO.

在RtZ^FO。中，tanZ.CFD==2,

OF

设半径为□舟=2,

八迎

3

c

H/D

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问

题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键.

32.（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）如图，在△ABC中，以八8为直径的。。交BC于点DOEAC,垂

足为E.OO的两条弦尸B.H）相交于点F/DAE=/BFD.

（1）求证；。“是。。的切线;

（2）若/。=30。,。。=26，求扇形08。的面积.

【答案】（1）见解析

崂

【分析】（1）连接OQ,利用等边对等角，圆周角定理等可得出NODA=NZM£,由垂直的定义得出

4OE+ND4E=90。，等量代换得出NAQE+NOD4=90。，IODIDE,然后根据切线的判定即可得证;

⑵先利用含30。的直角三角形的性质求出=同时求出N£DC=60。，进而求出/8。。=30。，利

用等边对等角，三角形外角的性质等可求出乙40。=60。，NBOD=120。,证明△AOQ是等边三角形，得出

AD=OD,NQD4=60。，进而求出/4。石=30。，在RlZXAO石中，利用余弦定义可求出4。=2,最后利用

扇形面积公式求解即可.

【详解】（1）证明：连接0。，

口0。=。人，

□ZODA=/LOAD,

又乙DAB=卜D，4DAE=N3FD，

□NOQA=NZME,

DDEJ.AC,

QZADE+ZDAE=90°,

□Z4DE+ZOm=9()0,即OO/OE,

又。。是。。的半径；

□0石是。。的切线；

(2)解：匚NC=3()。，8=26，DEJ.AC,

DE=-CD=>5,NCDE=60°,

2

又OD，DE,

匚NBDO=180°-NODE-NCDE=30°,

□OB=OD,

□NOBD=NODB=3U。,

口400=60。，NBOD=120。

又。。=QA,

□△AOD是等边三角形，

匚AD=OD,NODA=60°,

□ZADE=30°,

在RlZXAOE中，AD=―——=6=2,

cosZ.ADEcos30°

匚扇形08。的面积为12。兀2=电.

3603

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三

角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键.

X.(2024•江苏扬州•中考真题)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊

情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论.

如图，己知△ABC,CA=CB,CO是d8C的外接圆，点。在。。上(AO>80),连接A。、BD、CD.

图1图2备用图1备用图2

【特殊化感知】

⑴如图I,若ZACB=60。，点。在49延长线上，则AO-8D与CD的数量关系为；

【一般化探究】

(2)如图2,若NAC8=60。，点C、。在同侧，判断八。-8。与CO的数量关系并说明理由：

【拓展性延伸】

(3)若4C8=a,直接写出A。、BD.C。满足的数量关系.(用含a的式子表示)

【答案】⑴AO-B/)=C£)；(2)=⑶当。在BC上时，2cos呜=4。-8。；当。在.

a

上时，2COsm—=A/J+8。

2

【分析】(1)根据题意得出AABC是等边三角形，则NC43=6(P,进而由四边形ACO8是圆内接四边形，

设AD.BC交于点E,则3E=CE,设8/)=1,则CO=4Q=1,分别求得AO,8。，即可求解；

(2)在AO上截取。尸=80,证明zM网经ACOWAAS),根据全等三角形的性质即得出结论；

(3)分两种情况讨论，匚当。在6。上时，在A。上截取=证明MBEs*BD,

得出半产=/，作b/AB于点/，得出AB=2BC.sing,进而即可得出结论；□当Z)在A8上时,

CDDC/

a

延长B。至G,使得QG=D4,连接AG,证明△("6sSAG,qD^ABAG,同1可得

即可求解.

【详解】解：匚C4=C8,ZACB=60°,

□△A8C是等边三角形，则NC44=60。

厂。。是“WC的外接圆.

□4。是/B4C的角平分线，则z7M8=30。

匚四边形ACO8是圆内接四边形，

□ZCDB=I2O°

匚N