2024冀教版八年级数学上册《角的平分线》教案

第十六章轴对称和中心对称

16.3角的平分线

教学目标

1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理；

2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论.

3.能利用尺规作出一个已知角的平分线.

教学重难点

重点：角平分线的性质定理及逆定理，利用尺规作一个角的平分线.

难点：角平分线性质定理的逆定理的得出.

教学过程

旧知回顾

1.角平分线的定义

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这

个角的平分线.

2.线段垂直平分线的性质定理和逆定理

线段垂直平分线的性质定理.：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;

线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段

的垂直平分线上.

导入新课

1.图中表示点P到直线I的距离的是线段尸。的长.

2.本章中，从哪些方面学习线段的垂直平分线？

①线段的垂直平分线的定义；

②线段的轴对称性；

③线段的垂直平分线的性质定理；

④线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；

⑤线段的垂直平分线的尺规作图.

类似地，今天我们将从这些角度学习角的平分线的相关知识.

教师板书课题

探究新知

探究点一角平分线的性质定理

1.角平分线的轴对称性A

问题：角是轴对称图形吗？如图所示，将乙对折，你发现/

了什么？Z------------

OB

学生自己动手操作.

归纳：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.

2.角平分线的性质定理

动手操作：如图所示，。。是乙4。8的平分线，在角平分线0C上任意选一点P,

在边0A上取点D,边0B上取点E,怎样才能使PD=PE'l同学们拿出课前准

备好的乙4。8,用折纸的方法确定。，E的位置.

师生活动:

学生的折纸方法有可能出现的情况很多，让小组同学展示，然后从班内选择以下

两种对本节课有帮助的情况，展开后的图形如图所示.

第一种情况：

由折叠过程可得，PD=PE.

第二种情况：

这样的折叠过程，实际上是给出了PE10B,也能得到夕。=尸£

下面来证明第二种情况结论的正确性.

已知：0C是乙4。3的平分线，P是0c上任意一点，PD10AfPE20B,垂足分

别为。，E.

求证：PD=PE.

你能用什么方法说明你的结论是正确的？教师指点，学生自行讨论，完成证明过

程.展不成果：

方法一：用刻度尺测量PD,PE,得到两条线段的长度相等.

方法二：利用用的对称性，当沿0C所在的直线对折时，P。与PE重合，因此

PD=PE.

方法三：证明：•••PQ10A,PELOB,0C平分乙4。8,

：•乙PD0=£PE0=9。。,乙AOC=CBOC.

NPDO=NPEO、

在△PDO和ZiPE。中，＜ZAOC=ZBOC,

OP-OP,

三△PEO（AAS）,

:.PD=PE.

教师：请你用语言描述你所得到的结论.

学生：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

它常用于证明两条垂线段相等.

教师：利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等，

但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写，同时涉及角平分线上的点与角的两边

的垂直关系时.，可直接得到垂线段相等，不必再证两个三角形全等而走弯路.

练习：判断下列的写法是否正确？

（1）如图所示，AZ）平分乙8AC,（已知）

.・.30=8.（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）

解：错误，理由：没有垂直，不能确定BQ,CD是点。到角两边的距离.

(2)v如图所示，DBLAB,QCLAC,(已知)

BD=CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）

解：错误；理由：无法确定点。在NB4C的平分线上.

探究点二探究角平分线的性质定理的逆定理

思考：线段垂直平分线的性质定理的逆命题是一个真命题，那么角平分线的性质

定理的逆命题呢？

师生活动：教师引导学生写出其逆命题，引导学生画出图形，判断其真假，讨论

如何验证其正确性.

学生：画出图形如图所示，有可能的验证方法：

1.想证明三角形全等但条件不足.

2.如图所示，连接0C,测量所给图形中的CE和C尸的长，得至并测

量得到“0C和480C的大小也相等，从而得到C点在角的平分线上.

A

3.折叠所给图形，使CE与C”重合，此时角的两条边也重合，展开后折痕恰好

经过角的顶点和。点，所以OC是角的平分线，即点C在角的平分线上.

4.在角的内部任取一点，如果这点在角的平分线上，那么到角的两边的距离是相

等的，如果选取的点不在角的平分线上通过测量到角的两边的距离，它们不相等,

所以如果到角的两边距离相等的点，应该在角的平分线上.

教师总结：其逆命题是一个真命题，我们把它作为一个定理，它与角平分线的性

质定理是互逆的，称为逆定理.

角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上.

符号表示：如图所示，••・C£_L04,CFLOB,CE=CF,

:.0C平分NAOB.

证明过程将在第17章中学习.

例已知：如图1所示，AABC的角平分线BM,CN相交于点P.

求证：点P到三边BC,C4的距离相等.

教师点拨：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等

必须标出它们，所以要在证明中写出，同作辅助线一样处理.如果已知中写明点P

到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写.

证明：如图2所示，过点P分别作PDLA&PELBC,PFLAC,垂足分别为D,

E,F.

•.•BM是AABC的角平分线，点、P在BM上,PD1AB,PELBC,

:.尸。=尸£同理PE=PF.

.・.PD=PE=PF.

即点尸到三边A8,BC,CA的距离相等.

思考：点。在〃的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

点。在乙4的平分线上.

结论：三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等.

如图所示，是一个角平分仪，其中BC=OC.将点A放在角的顶点，AB

和AO沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AEAE就是角平分线，你能说明

它的道理吗？

小组讨论后得出：根据三角形全等的“边边边”的判定方法，可以说明这个仪器的

工作原理.

想一想：能够运用这种方法作出任意角的平分线吗？

探究点三用尺规作已知角的平分线

A

教师引导学生作图：作〃。3的平分线.（如图所示）

学生讨论作法.

教师总结作法：

如图所示.

⑴以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交04,。8于点。，E.

⑵分别以点后为圆心，适当长为半径，在4A08的内部画弧，两弧相交于

点、C.4

（3）作射线0C.夕＜…二

则射线OC为所要求作的〃08的平分线.

学生作图.

教师：你能证明。。为什么是4A08的平分线吗？

学生进行交流，写出证明过程.

证明：如图所示，连接CQ,CE.

由作图过程知，0D=0E,CD=CE,

又oc=oc,

•••2ODCZAOEC,

・•・乙4OC=480c.

即OC是乙403的平分线.

试一试：在练习本上分别作锐角，钝角，平角的平分线.

课堂练习

1.如图1所示，在四边形A8CO中，ZBCD=90°,BD平分以BC,A3=6,BC=

9,8=4,则四边形A5c。的面积是（）

A.24B.30C.36D.42

2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图2所示，则能说明40C

=乙80。的依据是（）

A.SSSB.ASA

C.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等

B

图1图2

3.如图3所示，。是△4BC内一点，且点。到三边AB,BC,AC的距离。”=。。

OE,若NR4C=70。，则ZAOC=

4.如图4所示，已知aABC的外角乙CB。和乙灰为的平分线相交于点E求证：点

产在乙QAE的平分线上.

参考答案

l.B2.A3.125°

4.证明：如图所示，过点尸作/G_LAE于点G,FH工AD于点H,Ml/LBC于点

M.

•.•点/在匕8CE的平分线上，FGLAE,FM1BC,E

:,FG=FM.%/

又•.•点/在乙C8。的平分线上，FHlADfFM1BC,

:,FM=FH,AFG=FH./J

ZBHD

.•.点F在"AE的平分线上.

课堂小结

1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距窗相等.

作用：直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线，关键是图中是否有“垂

直”.

2.角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上.作用：证

明角相等.

3.区别与联系：性质定理说明了只要是角平分线上的点，那么它到此角两边的距

离一定相等；性质定理的逆定理说明了只要是到角两边距离相等的点，都一定在

角平分线上.在实际应月中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平

分线）.

布置作业

完成教材习题A组，B组.

板书设计

1