2024-2025学年山东省泰安市岱岳区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）+答案解析

2024・2025学年山东省泰安市岱岳区八年级（上）期中数学试卷（五四

学制）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各式从左到右，是因式分解的是（)

A.（y-l）（y+l）=y2-lB.心y+xy1—1=xy(x+y)—1

2

C.(工-2)(1-3)=(3—z)(2—J)D.，_4/+4=(，-2)

2.下列式子从左到右变形一定正确的是（）

aa2a。+1aa-1a2a

A.-=-B-=-----C.-r=•;---rD.—=-

bb2b6-1-1b6-1abb

3.表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均分与方差，要从中选出一位成绩优异且发

挥稳定的同学参加数学竞赛，最合适的是（）

甲乙丙T

平均分95989598

方差1.40.10.51.0

A.甲B.乙C.丙D.T

4.下列因式分解结果正确的是（）

A.2a2—3a=a(2a—3)B.-a2+2ab-b2=-(a+b)2

C.2x3y—3x2y2—x2y=x2y(x—3i/)D./+/=(/+$)2

5.如图，边长为小b的长方形，它的周长为14,面积为10,则。2。+4力2的值为（）

A.24

B.70

C.40

D.140

6.某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表:

成绩171及以下172173174175及以上

人数38652

则本次测试成绩的中位数和众数分别是（）

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A.172和172B.172和173C.173和172D.173和173

7.已知M=—r,N=-——，则（）

x-11-ar

Di

A.M+N=1B.M-N=lC.M、N=1

8.某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫,甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型

的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.问甲、乙两种款型

的衬衫各购进多少件？设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为()

A.%一3。=640078006400

B.-30

X1.51X1.5/

「7800640078006400

C.-----F30=D.-30=

1.5/X1.5①X

9.根据如图前进汽车厂去年1一6月汽车产量，解答问题:

(1)平均每个月制造汽车多少辆？

(2)6月份制造的汽车比1月份增长多少？

(3)第•季度制造的汽车比第二季度少多少辆？

A.456,100,154B.456,110,164C.446,100,164D.446,110,154

10.我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，其大

意为：“现在有绫布和罗布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，设绫

布有x尺，则可得方程为120-暨=普一,根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补

x3()—x

充条件的是()

A.每尺绫布比每尺罗布费120文B.每尺绫布比每尺罗布便宜120文

C.每尺绫布和每尺罗布一共需要120文D.每尺罗布比每尺绫布便宜120文

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

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11.多项式3N（Q—b）—9v（b—Q）的公因式是.

2_1

12.若分式x^_的值为0,则尉=____o

x-1

13.若2,3,6,a,b这五个数据的方差是3,则4,5,8,a+2,。+2这五个数据的方差是.

14.已知/一34+1=0，则£2+'=____.

15.某校评选先进班集体，从“学习”，“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分

均为100分，所占比例如表：

项目学习卫生纪律活动参与

所占比例40%25%25%10%

八年级2班这四项得分依次为80分，90分，84分，70分，则该班四项综合得分（满分100）为______分.

16.张老师和李老师同时从学校出发，乘车去距学校35千米的新华书店购买书籍，张老师比李老师每小时

多走2千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走工千米，依题意,

得到的方程是_____.

三、计算题：本大题共1小题，共8分。

T1

17.解方程：-------97=L

x—2xz—4

四、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题10分）

分解因式：

（l）a3-6a2+9a；

（2）X2（X-3）+4（3-x）.

19.（本小题12分）

计算.

,《一6N+9.2x-d

9—x2ar2+3ar,

（2）（1-5）十子.

20.（本小题8分）

先化简，再求值：（当—1）J-4a：4,其中Q=L

%+2）（14-2

21.（本小题10分）

我区某葡萄种植庄园计划要在规定时间种植6000棵葡萄树.在实际施工时，参与种植人数比计划人数多，这

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样每天实际种植葡萄树比原计划每天多20%，结果比原计划提前2天完成种植任务.原计划每天种植多少棵

葡萄树？

22.（本小题12分）

某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验,

并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛.成绩分别为力、从C、。四个等级，其中相应等级的得分依次记

为10分、9分、8分、7分.）学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图

表，请根据提供的信息解答下列问题：

（1）根据信息可以求出：a=,b=______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；

（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；

（3）若该校七、八年级共有900人参加本次知识竞赛，且规定9分及9分以上的成绩为优秀，请估计该校七、

八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？

七年级竞赛成绩统计图八年级竞赛成绩统计图

人W

23.（木小题12分）

近两年来，中国电动汽车因节能省钱优势，市场占有率和销量连续上升.如图中妁、於分别是其汽车品牌制

造企业对公司生产的燃油汽车和电动汽车使用费用人单位：元）与行驶路程单位：百千米）的关系.已知

燃油车每百千米所需费用是纯电动汽车每百千米所需费用的5倍还多5元.请你根据信息计算纯电动汽车每

百千米耗电费用是多少元.

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24.(本小题14分)

综合与实践

【问题情境】

(1)对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面枳，可以得到一个数学等式.

(2)类比图1,写出图2中所表示的数学等式；

(3)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式:

(4)利用(2)中得到的结论，解决下面的问题：

若a+b+c=10,ab+ac+be=35»求+川+

【拓展应用】

(5)用图3中1张边长为。的正方形，3张边长为/，的正方形，〃?张边长分别为a,6的长方形纸片拼出一个

长方形或正方形，求加的值.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A.是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；

4、结果不是积的形式，故本选项错误；

C、不是对多项式变形，故本选项错误；

。、运用完全平方公式分解/一强+4=(1-2)2,正确.

故选D.

根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解.

这类问题的关键在「能否正确应用分解因式的定义来判断.

2.【答案】D

【解析】解：4、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故4错误：

8、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，错误；

C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误：

。、分子分母都除以。，分式的值不变，故。正确：

故选：D.

根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案.

本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质.

3.【答案】B

【解析】解：由表知四位同学中乙、丁的平均成绩较好，又乙的方差小于丁，

所以乙的成绩好且稳定，

故选：B.

先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答

案.

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,

则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

4.【答案】A

【解析】解：力、2a2_3Q=Q(2G—3),故月符合题意：

B、—a^+2(ib—b~~—2ab-f-b~)——(a—故片不符合题意；

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C、2x3y-3x2y2—x2y=x2y(2x—3y—1),故C不符合题意；

D、/+2zy+/=(N+妨2,故。不符合题意；

故选：A.

先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式.

5.【答案】B

【解析】解：由题意得,2(a+6=14,ab=10,

。+b=7,

/.a2b+air=ab(a+b)=10x7=70>

故选：B.

根据氏方形的周长、面积公式得出2(a+b)=14,而=10,再利用提公因式法将Q2b+Qb2分解因式，即

口」代人求值.

本题考查了因式分解-提公因式法，列代数式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：中位数是第12、13个数据的平均数，

所以中位数为"3：S3=u3,

这组数据中172出现次数最多，

所以众数为172,

故选：C.

根据众数和中位数的定义求解可得.

本题主要考查中位数和众数的概念.在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从

小到人依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.

7.【答案】A

X1

【解析】解：.・.〃=-N=--,

x-l1-x

：.M+N

x1

=r--—-17+；1---x

x1

r—1x—1

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r—1

=r-1

=1，

M-N

x1

r—11—ar

r4-1

_t_]

M，N

x1

r—11—x

=-2-.(_——)

r-1'x-Y

x

M=M+N

x1

r—1,1—x

2工(———)

x-i'[x-Y

Xx—1

x-i'~r

=T,

了.A选项的计算正确，B,C,。选项的计算错误,

故选：A.

根据已知条件，利用分式的加减乘除法则，分别求出A/+N,M—N,MN和勺，然后根据计算结果进

N

行判断即可.

本题主耍考查考查了分式的加减乘除，解题关键是熟练掌握分式的加减乘除法则.

8.【答案】C

【脩析】解：•.•购进甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，且乙种款型的衬衫购进X件,

甲种款型的衬衫购进1.52件,

7800+3。①

依题意得:

1.54x

故选：C.

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根据购进两种款型衬衫数量间的关系，可得出甲种款型的衬衫购进1.5♦件，利用进货单一价=进货总价+进货

数量，结合甲种款型每件的进价匕乙种款型每件的进价少30元，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：(1)(400+416+440+450+470+500)+6

=26764-6

=446(辆)，

了.平均每个月制造汽车446辆；

(2)500—400=100(辆)，

.•.6月份制造的汽车比1月份增长100辆；

(3)(450+470+500)-(400+416+440)

=1420-1256

=164(辆),

,第一季度制造的汽车比第二季度少164辆.

故选：C.

(1)求出六个月汽车产量的和除以6即可得到答案；

(2)6月份制造汽车的数量减去1月制造汽车的数量，即可得到答案，

(3)第二季度制造汽车的数量和减去第一季度制造汽车的数量和，即可得到答案.

本寇考查算术平均数，有理数的减法，条形统计图，关键是掌握求平均数的方法.

10.【答案】C

【解析】解:设绫布有x尺，则罗布有3x10-1=(30-・)尺，

设绫布有x尺，则可得方程为120-暨=*-,

.•.缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文.

故选：C.

绫布有x尺，则罗布有(30-1)尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；根据方程

得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可.

本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键.

11.【答案】3(a-6)

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【解析】解：3N(Q-b)-9g(6-a)=3c(Q-b)+9y(a-b),

多项式3x(a-b)-9y(b-a)的公因式是3(a-b),

故答案为：3(a—b).

根据公因式的定义判断即可.

本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键.

12.【答案】-1

【解析】【分析】

本题考查了分式的值是0的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。根据分式的值等于0

的条件，得到«-1=0,且求解即可。

【解答】

解：根据题意得/一1=0,且出一1#0

解得1=-1

故答案为-1。

13.【答案】3

【解析】解：由题意知，数据4,5,8,Q+2,〃+2这五个数据是将原数据分别加2所得，

新数据的波动幅度与原数据一致，

这五个数据的方差是3,

故答案为：3.

根据每个数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案.

本题主要考查方差的意义，如果数据21、22、……、为的方差是$2,那么：①一组新数据g+从交+鼠……

%+〃的方差仍是$2(。是常数)；②一组新数据QZ1、32、……、Q啊的方差是Q2s2,标准差是|Q|S(Q是

常数)；③一组新数据QQi+b、ax2+b>、的方差是a2s2,标准差是同.

14.【答案】7

I解析】解：—3/+1=0，

二.①+工=3,

x

...(/+1)2=12+昼+2=9,

7+5=7.

故答案为：7.

第10页，共15页

首先由«一31+1=0,求得1+」的值，然后由(N+1)2=/+=+2,即可求得答案.

XX

此题考查了完全平方公式的应用.解题的关键是掌握(r+32=/+或+2与整体思想的应用.

15.【答案】82.5

【解析】解：80x40%+90x25%+84x25%+70x10%=82.5(分)，

即该班四项综合得分(满分100)为82.5分.

故答案为：82.5.

根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出八年级2班四项综合得分(满分100),本题得以解决.

本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是关键.

3535_1

16.【答案】

xN+22

3535_1

【解析】解：李老师用的时间为：—h,张老师用的时间为:力.方程可表示为:

X①+2xn+22

3535_1

故答案为:

xn+22

关键描述语为：“结果比李老师早到半小时”；等量关系为：李老师用的时间-张老师用的时间=]

列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语■，找到等量关系是解决问题的关键.

17.【答案】解：去分母得：x(ar-2)-l=jr2-4,

去括号得：/+2/-1=一4，

解得：，=一会

经检验N=-慨是分式方程的解.

故原方程的解是，=一±

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分

式方程定注意要验根.

18.【答案】解：(l)a3-6«2+9a

=a(a2—6。+9)

=(i(a—3>：

(2>2(T-3)+4(3-x)

=x2(x—3)—4(x—3)

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=ix—3)(/—4)

=\x-3)(①+2)(x-2).

【解析】(1)先提公因式，然后利用完全平方公式法分解因式；

(2)先提公因式，然后利用平方差公式法分解因式.

此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.因式分解的方法有:提公因式法,

平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等.

(z-3产.2(/—3)

19.【答案】解.：(1)原式=

(T4-3)(T-3)x(x+3)

T—3x(x+3)

=一£+3'2(13)

x

="2

(x+l)(x—1)X

(2)原式=・

x2出一1

c+1

-•

X

【解析】(1)根据分式的运算法则即可求出答案：

(2)先原式小括号，再根据分式的运算法则即可求出答案.

本题考查分式的乘除法，解题的关键是熟练运用分式的乘除法则，本题属于基础题型.

.2Qa+2、a+2

20.【答案】解：原式=(申一羊).小斤

(I—2a+2

Q+2(a—2)2

1

=a-2,

当。=1时，原式=110=-L

1—2

【解析［根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的信代入计算，得到答案.

本题的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

21.【答案】解：设原订划每天种植x棵葡曲树，则实际每天种植(l+20%)i棵葡曲树,

600060000

根据题意得:----------------=2

x(1+20%)工

解得：rr=500,

经检验，z=500是所列方程的解，且符合题意.

答：原计划每天种植500棵葡萄树.

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【解析】设原计划每天种植X棵葡萄树，则实际每天种植(1+20%)1棵葡萄树，根据实际比原计划提前2

天完成种植任务，列出分式方程，解方程即可.

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

22.【答案】910

【解析】解：“)•.•七年级成绩由高到低排在第13位的是4等级9分，

：.a-9，

•.•八年级4等级人数最多，

.•/=10，

七年级成绩C等级人数为：25-6-12-5=2(人)，

七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：

七年级竞赛成绩统计图

故答案为：9,10：

(2)七年级更好,

理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，

说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，

所以七年级成绩更好；

6+12+(4曾+4%)x25x90g540(人),

50

答：估冲该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有540人.

(1)根据中位数的定义可确定。的值；根据众数的定义可确定人的值：先求出七年级C等级的人数，再将七

年级竞赛成绩统计图补充完整即可：

(2)根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可；

(3)分别将样本中七八年级优秀所占比例乘以900即可作出估计.

本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取

有川信息是解题的关键.

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23.【答案】