2024-2025学年山东省淄博市张店区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）

2024・2025学年山东省淄博市张店区九年级（上）期中数学试卷（五四学

制）

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，

请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）

1.（4分）一根蜡烛长20。〃，点燃后每小时燃烧5c〃?.若点燃后燃烧时间为x（/?）,所剩余蜡烛的长为），

（c/n）,则在这个变化过程中，下列判断错误的是（）

A.20是常量B.工是自变量

C.1y是因变量D.x是y的函数

2.：4分）已知反比例函数y=2（&H0）的图象经过点（-2,3）,那么该反比例函数图象也一定经过点（）

A.（2,3）B.（1,6）C.（-3,-2）D.（-6,I）

3.（4分）已知，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,则sin人的值为（）

4.（4分）二次函数y=aP+〃x+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

C.aVO,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0

5.（4分）某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡4B的坡比是1：3,坝高8c=10〃］，则迎水坡43的长度

A.10wB.lOVlOmC.20V2mD.30/n

6.(4分)已知点A(-2,yi),B(1,”)，C(3,2)都在反比例函数y=1的图象上，则户，”，*

的大小关系是（）

A.y\<y3<yiB.y\<y2<y3C.y2<y\<y3D.y3<y\<yi

7.（4分）如图，在由小正方形组成的网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在网格的格点上,

连接AB,AC,BC,则tanN43c等于（）

3\/TU

cWD.

210

8.（4分）在平面宜角坐标系xOy中，对于点P（〃?，〃），若〃皿＞0,则称点P为“同心点”.下列函数的

图象上不存在“同心点”的是（）

2

A.y=-x2-2r-3B.y=x+-

D.y=-2r+3

9.（4分）如图，在△ABC中，NB=45°,ZC=60°,4c=4,则△AAC的面积为（）

A.2+2V2B.4+2V2C.2+2V3D.6+2V3

10.（4分）学习完函数的有关知识之后，小刚对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出了如图（1）

所示的函数y=急的图象，并对该函数的性质进行了探究.

人i"O

图（2）

①该函数自变量4的取值范围为xW-3；

②该函数图象与x轴没有交点；

③若（用，yi）,（X2,户）是该函数图象上的两点，则当MVM时，一定有）“〈”；

④如图（2）,若A是该函数图象上的一个动点，C是直线x=-3上的一个动点，过点A作/WJ_x轴于

点B,连接4C,BC,则

则上面小刚推断的①®③©,其中正确的是（）

A.①②③B.®©®C.®@®D.②③④

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分.不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在

答题卡相应位置上）

11.（4分）函数y=而工中自变量x的取值范围是.

12.（4分）若反比例函数（&为常数）的图象经过第二、四象限，则4的值可以是（写出

一个即可）.

13.（4分）小明为测量某棵树的高度，绘制了如图所示的测量示意图（点C表示树的底部，点。表示树

的顶端），已知CD_LAC于点C,点B在线段AC上，AB=30米，且ND4C=28°,NDBC=45；若

设树顶到地面的高度OC=x米，则为求得树高可列出关于x的方程为.

14.（4分）已知点A（-1,），i）,B（3,4）在抛物线y=ax2+bx（«>0）上.若该抛物线的对称轴与x

轴的交点。在点E《，0）,F（/,0）之间（即点C在线段£尸上，但不与£尸重合），则yi,”的大

小关系为.（月连接）

15.（4分）如图，直线尸尔（川>0）与双曲线y=（（A>0）相交于4,8两点，现将线段48沿着直线x=器

对折，得到对应线段C8,过点。作入轴的垂线CQ,交该双曲线于点。，连接。C,OD.若S&OCD=6,

则k的值为.

三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）

16.（6分）计算：

（1）cos300+sin450；

（2）sin2600+sin2300-tan45°.

17.（6分）如图，在aABC中，AD1BC,N8=60°,4c=10,AD=6,求8C的长.

18.（8分）把抛物线2计1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线3

（1）请直接写出抛物线/2的表达式；

（2）对于抛物线/2所对应的函数，当自变量-2时，其函数值是否存在最小值，若存在，请求出这

个最小值；若不存在，请说明理由.

19.（8分）阅读理解：如图，为计算15°角的正切值，我们可以构建RtZXAbC,使得NC=90°,ZABC

=30°,延长C8至点。，使BQ=A8,连接A。，可得到/D=15°,所以，tanl5°=羔=而盘7=

LUDD-TDC

3=-匕-一-V3.

2+V3（2+遮）（2-遮）=2

类比迁移：请根据阅读理解中的方法，计算tan67.5°的值.

20.（8分）如图（I）,一次函数尸=6+力（&W0）与反比例函数丫2=£（%＞。）的图象交于4（4,1）,B

（3膻）两点.

2

（1）求一次函数乃与反比例函数），2的表达式；

（2）根据图（1）中的图象，请直接写出关于x的不等式匕的解集；

（3）如图（2）,在线段A/3上取点C（不与点A,8重合），连接0C,交反比例函数）？的图象于点。,

连接BD.当S&8OQ=2S"CQ时，求点C的坐标.

21.（8分）海岱楼钟书阁位于山东省淄博市张店区齐盛湖公园，是钟书阁全国单体面积最大的连锁店和唯

一建于独栋建筑的文化综合体，似一颗璀璨的明珠，俯瞰淄博大地的日新月异.某校数学“综合与实践”

小组在测量海岱楼钟书阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：

测量对象海岱楼钟书阁

测量目的学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题

测量工具无人机

测量方案如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）：

1.先将无人机从地面的点C处垂直上升99.7〃?至点P,此时

测得海岱楼钟书阁的顶端4的俯角为16°；

2.再将无人机从点尸处向右沿水平方向飞行60/n至点D,

然后沿垂直方向上升20机至点Q,此时测得海岱楼钟书阁的

顶端A的俯角/EQA=45°.

测量示意图

请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出海岱楼钟书阁的高度.（结果

保留整数,参考数据:sin16°%0.28,cos16°^0.96,tan16°弋0.2整）

22.（8分）如图（1）,已知抛物线y=3%2-5%-2交x轴于点A,8（点A在点8的左侧），交），轴于点

C,连接AC,BC.

（1）请直接写出该抛物线的刈■称轴和顶点坐标：

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如图（2）,点P是直线下方该抛物线上的一个动点，连接PC,PB.问△PBC的面积是否存

在最大值，若存在，请求出这个最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

23.（8分）如图（1）,在四边形A4CQ中，对角线4c平分NBA。，N6=NACO=90°,AC=AB+2.

（1）求证：△A4CS/\ACO；

（2）小宇为了研究图（I）中线段之间的数量关系，设A8=x,AD=y.

①建立模型：请求出），关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；

②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系xQy中，画出①中该函数的图象；

③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：.

（3）问边A3与边4。的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值：若不存在，请说明理由.

B

函

(

2

)

2024・2025学年山东省淄博市张店区九年级（上）期中数学试卷（五四学

制）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DDDCBABCDB

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，

请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）

1.（4分）一根蜡烛长20。〃，点燃后每小时燃烧5c〃?.若点燃后燃烧时间为x（/?）,所剩余蜡烛的长为），

（c/n）,则在这个变化过程中，下列判断错误的是（）

A.20是常量B.x是自变量

C.），是因变量D.x是），的函数

【分析】根据函数的概念，常量与变量，逐一判断即可解答.

【解答】解：一根蜡烛长20c7〃，点燃后每小时燃烧5c7〃.若点燃后燃烧时间为X"）,所剩余蜡烛的长

为），（c〃7）,则在这个变化过程中，20是常量，X是自变量，y是因变量，y是X的函数，

故诜：

【点评】本题考查了函数的概念，常量与变量，熟练掌握这丝数学概念是解题的关键.

2.：4分）已知反比例函数y=1（AH0）的图象经过点（・2,3）,那么该反比例函数图象也〜定经过点（）

A.（2,3）B.（1,6）C.（-3,-2）D.（-6,1）

【分析】先把点（-2,3）代入反比例函数的解析式求出％的值，再对各选项进行逐一判断即可.

【解答】解：•・•反比例函数（�）的图象经过点（-2,3）,

:.k=（-2）X3=-6,

A、・・・3X2=6W-6,・••此点不在反比例函数的图象上，不符合题意；

旅・.・[X6=6W-6,・••此点不在反比例函数的图象上，不符合题意；

C、-3X（-2）=6W・6,・••此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；

。、（-6）Xl=・6,・••此点在反比例函数的图象上，符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数）=5（kW0）中，％=孙为定

值是解答此题的关键.

3.（4分）已知，在RtZLABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,则sinA的值为（）

【分析】根据勾股定理，可得A8的长，根据角的正弦，等于角的对边比斜边，可得答案.

【解答】解：由勾股定理得4B=NAC?+8c2=所K=5,

BC4

s,,Al4=而=欧

故选：D.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出斜边，再求出正弦值.

4.（4分）二次函数），=/+尻+。的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

B.〃>0,b<0,c<0

C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0

【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与），轴的交点判断。，4c的符号即可.

【解答】解：•・•抛物线开口向下，

•"VO,

•••抛物线与y轴的交点在y轴负半轴,

r.c<o,

•・•对称轴在y轴右侧，

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数

性质的掌握.

5.(4分)某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡AB的坡比是1：3,坝高8C=10〃?，则迎水坡A8的长度

A.10/MB.lOVlOmC.20V2mD.38n

【分析】在RIZX48C中，已知坡面48的坡比以及铅直高度4c的值，通过解直角三角形即可求出斜面

AB的长.

【解答】解：在RlAABC中,SC=10w,tanA=l：3,

/.AC=BC-rtanA=3O〃？,

由勾股定理得：AB=\/AC2+BC2=V302+102=1OV1O(/w).

故选：B.

【点评】此题主要考查解直角三角形的应用■坡度坡角问题，熟练运用勾股定理是解答本题的关键.

6.(4分)已知点>4(-2,y\),B(1,”)，C(3,”)都在反比例函数y=$的图象上，则>,2»>>3

人

的大小关系是()

A.y\<yy<y2B.y\<y2<y3C.y2<y\<yiD.y3<y\<yi

【分析】直接把各点代入反比例函数y=1求出yi、”、”的值，并比较出其人小即可.

【解答】解：•・•点A(・2,pi),B(I,Y2)和C(3,p)都在反比例函数尸勖图象上，

.*.yi=—^=-3,”=6,>3=2.

•・•・3V2V6，

•'•y\<y3<y2.

故选；A.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此

函数的解析式是解答此题的关键.

7.(4分)如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在网格的格点上，

连接A8,AC,BC,则tanN/18c等于()

V513V10

A.一B.-cWD.------

103210

【分析】延长射到点。，连接C。，根据题意可得：ZCDB=90°,CD=V2,即=3口，然后利用锐

角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：如图：延长B4到点。，连接CQ,

由题意得：ZCDB=90°,

CD=Vl2+l2=V2,

BD=V32+32=3V2,

・・・tanN4心济磊J

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键.

8.（4分）在平面直角坐标系X0，中，对于点户（〃?，〃），若〃川＞0,则称点P为“同心点”.下列函数的

图象上不存在“同心点”的是（）

A.y=-x2-2x-3B.y=x+

3

C.y=-^D.尸-2x+3

【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可.

【解答】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，

函数的图象在二四象限，不满足条件，

故选：C.

【点评】本题考查了反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质.可以用特值法在行快速的排

除.

9.（4分）如图，在△48C中，NB=45°,ZC=60°,AC=4,则△A4C的面积为（）

C.2+2V3D.6+2V3

【分析】如图，过点A作于A,交BC于D,过点4作A£_L8C于E,△AO8是等腰直角三角

形，得AQ=8。，ZC=60°,可得NCAO=30°,CD=^AC=2,计算AO和8C的长，根据三角形的

面积公式可解答.

【解答】解：如图，过点A作AO_LAC于A,交占C于〃,

•••△AO8是等腰直角三角形,

：,AD=DB,

VZC=60°.

•••NC4O=30°,

VAC=4,

：.CD=^AC=2,

：,AD=BD=143,

ABC=2+2V3

•••△430的面积=左8。40=鼻275乂（2+2V3）=2^+6.

故选：D.

【点评】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质

是解本题的关健.

10.（4分）学习完函数的有关知识之后，小刚对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出了如图（1）

①该函数自变量工的取值范围为x#-3；

②该函数图象与x轴没有交点；

③若（XI,VI）,（X2，.V2）是该函数图象上的两点，则当时，一定有：V1V.V2：

④如图（2）,若A是该函数图象上的一个动点，C是直线X=-3上的一个动点，过点4作AB_Lx轴于

点B,连接AC,BC,则S^8C=1.

则上面小刚推断的①®③@,其中正确的是（）

A.①②③B.①②®C.①③@D.②③④

【分析】①由分式的性质知，"3W0,即可求解；

②对于y=忌，・2工0,故函数yHO,即可求解；

③当M、N在图象的两个分支时，当xiVx2时，yiV”错误，即可求解；

④△ABC和△ABC面积相等，均为:因=1，即可求解.

【解答】解：①由分式的性质知，X+3N0,即x#-3,故①正确，符合题意；

②对于y=

•・•2关0,故函数yKO,即该函数图象与人•轴没有交点，故②正确，符合题意；

③当M、N在图象的两个分支时，当xiV.a时，yiV”错误：故③不正确，不符合题意;

④将y轴向左平移3个单位，如图，

连接A。，则△ABC和△ABC面积相等，均为，川=1,故④正确，符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质，涉及到函数的平移，理解反比例函数系数攵的几何意

义是解题的关键.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分.不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在

答题卡相应位置上）

11.（4分）函数y=五=1中自变量工的取值范围是闻—.

【分析】根据二次根式口（后0）可得L12。，，•然后进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：%-1>0,

解得：x21,

故答案为：

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式伤（。20）是解题的关键.

12.（4分）若反比例函数），=。a为常数）的图象经过第二、四象限，则〃的值可以是（写出一

个即可）.

【分析】反比例函数），=?的图象位于第二、四象限，比例系数LV0,根据4的取值范围即可得到结论.

【解答】解：•・•反比例函数a为常数）的图象经过第二、四象限，

•MV0,

:.k=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题考查了反比例函数的性质.对于反比例函数）（�）,（1）k>（）,反比例函数图象在

一、三象限；（2）AV0,反比例函数图象在第二、四象限内.

13.（4分）小明为测量某棵树的高度，绘制了如图所示的测量示意图（点C表示树的底部，点。表示树

的顶端)，已知CO_LAC于点C,点B在线段AC上，48=30米，且ND4C=28°,NDBC=45°.若

设树顶到地面的高度OC=x米，则为求得树高可列出关于x的方程为x=(x+30)tan28。.

【分析】依题意得△BCO是等腰直角三角形，则3C=QC=x米，AC=(x+30)米，在RiZXAC。中,

nr

根据tan/OAC=器，得OC=AC・tan/D4C,即x=(x+30)tan28°,由此即可得出答案.

【解答】解：・・・CO_LAC于点C,N。8c=45°,OC=x米，

•••△8C。是等腰直角三角形，

・・・8C=/)C=x米，

•••48=30米,

：.AC=AB+BC=(x+30)米，

在RtZXACD中，ZDAC=28°,DC=x米，

•・lan/D4C=市:，

/.DC=AC*tanZDAC,

：.x=(x+30)tan280.

故答案为:x=(x+30)tan28c.

【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键.

14.(4分)已知点A(-1,户)，B(3,”)在抛物线y=ar+bx(«>())上.若该抛物线的对称轴与x

轴的交点。在点E8,0),F(/,0)之间(即点C在线段E尸上，但不与E,尸重合)，则产，户的大

小关系为V2>VI.(用连接)

急从而9<一/<1'故再由点

【分析】依据题意得，抛物线的对称轴是直线式=

4(-1,y\),B(3,j2)在抛物线丁=41+〃大(a>0)上，则1y2=9a+3b,可得”・yi=9a+3b

Ca-b)=8a+4b=4(2a+b),结合-2V：V-1,可得2a+〃>0,故可判断得解.

【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线x二-会,

4a

1b

:.一<—<1

22a

又二•点4(-1,yi),B(3,V2)在抛物线丁=小+班(〃>())上.

y\=a-/7,y2=9a+3b,

'•yi-y\=9a+2>b-Ca-b)=84+46=4(2a+b).

,・•・2<-<-l,40,

a

-2a<b<-a.

2a+b>0.

-yi>0.

故答案为：y2>y\.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活

运用二次函数的性质是关键.

15.（4分）如图，直线丁=加1（〃?>0）与双曲线>=]（k>0）相交于A,B两点，现将线段AB沿着直线x=[

对折，得到对应线段CB,过点C作4轴的垂线CQ,交该双曲线于点。，连接OC,OD.若SAOCD=6,

【分析】连接AC,过点8作8E_LAC,设8交工忡于点B先求出，点八（一篇，一后），叫蔡,

厮）,由翻折的性质得直线BE的表达式为x=条AC〃x轴，设点C的横坐标为a,则a一舟舟

（一器〉则点氢3点,一标），则OF=3册,再求出点。（3器，室），则0。=华远，然后根

据S&OCD=6即可求出k的值.

【解答】解：连接4C,过点B作BE_LAC,设CO交x轴于点凡如图所示:

f

・••点A的坐标是A（-J5,-点8的坐标是（JA，\km）t

由翻折的性质得：A8于C8关于直线％=点对称，

则直线BE的表达式为：％=的，AC〃入•轴，

・••点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，都是-痛，

设点C的横坐标为”，

则a邛邛T书，

=3指

・••点C的坐标是（3器，一师）,

•••AC〃x轴，CD_L%轴，

・••点。的横坐标于点。的横坐标相同，都是3器,即。尸=3器,

•・•点。在反比例函数y=[（A>0）的图象上，

・••点。的坐标为（3m

・・・但里_（_师）=率

VSAOCD=2co・0F=6,

解得：k=3.

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了反比例函数与•次函数的交点，解决问题的关键是熟练掌握求反比例函数与一

次函数的交点的方法,理解函数图象上的点满足函数的表达式，满足函数表达式的点都在函数的图象上.

三、解答题(本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上)

16.(6分)计算：

(1)cos300+sin45°；

(2)sin2600+sin2300-tan45°.

【分析】(1)利用30°的余弦值和45°的正弦值计算；

(2)先利用特殊角的三角函数值得到原式=(y)2+(1)2-I,再利用二次根式的性质计算，然后进

行有理数的加减运算.

【解答】解:(1)原式=苧+孝

T3+72

一2；

(2)原式=(―)2+(-)2-1

22

+工

一4十4

=0.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键.也考查了二次

根式的混合运算.

17.(6分)如图，在△48。中，ADA.BC,ZB=60°,AC=I0,A£>=6,求8c的长.

【分析】先求出N8AO=30°,再含30度角的直角三角形的性质得出A8=28O,然后由勾股定理分别

求出8。与。C的长，即可得出答案.

【解答】解：・・・AO_L8C,

AZADB=ZADC=90'i，

VZ«=60°,

：,ZBAD=30Q，

：・AB=2BD,

在RtAAOB中，由勾股定理得：AB2=8Z）2+AZ）2,

/.（2BD）2=BD2+62,

解得：BD=2也（负值已舍去），

在心△4OC中，由勾股定理得：CD=VAC2-AD2=V102-62=8,

：.BC=BD+CD=2y[3+8.

【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，由勾股定理分别求出8。与OC的长是解题

的关键.

18.（8分）把抛物线小），=7-2x+l先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线立

（1）请直接写出抛物线/2的表达式；

（2）对于抛物线/2所对应的函数，当自变量总>・2时，其函数值是否存在最小值，若存在，请求出这

个最小值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由平移的性质即可求解；

（2）当x>-2时，函数在顶点处取得最小值，即可求解.

【解答】解：（1）由平移的性质得，/2的表达式为：y=（x+2）2-2（x+2）+|=?+2v-2：

（2）存在，理由：

由（1）知，其对称轴为直线上=-1,

故当量-2时，函数在顶点处取得最小值，

当x=-1时，y=?+2.r-2=-3,

即函数的最小值为-3.

【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，涉及到函数的平移和最值，熟悉函数的图象和性质是

解题的关键.

19.（8分）阅读理解：如图，为计算15°角的正切值，我们可以构建RtZXAbC,使得NC=90°,ZABC

=30°,延长C8至点。，使BO=AB,连接4）,可得到ND=15°,所以，tanl5°=综=两名7=

LUDlJ-rbC

]_2一否

2+、厉一（2+/3）（2-V3）V-

类比迁移：请根据阅读理解中的方法，计算tan67.5°的值.

A

3015

CBD

【分析】根据题中所给思路，继续完成计算即可.

【解答】解：在Rtz^ABC中，ZC=90°,ZABC=45°,延长C8到点Q,使8。=84,连接AD,

VZABC=45°,AB=DB,

，NO=/D4B=22.5°，

，NOAC=67.5°,

令AC=x,则BC=x,AB=&

：,BD=AB=V2x,

/•CD=CB+DB=x+''/^tx,

在RtAACD中，

tanZDAC=酷==\+垃,

.\tan67.5°=1+V2.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟知正切的定义及勾股定理的熟练运用是解题的关键.

20.（8分）如图（1）,一次函数y\=kx^b（左#0）与反比例函数为=£（%>0）的图象交于A（4,1）,B

（3，〃）两点.

（1）求一次函数户与反比例函数丁2的表达式；

（2）根据图（1）中的图象，请直接写出关于x的不等式丘+b>?的解集；

人

（3）如图（2）,在线段A8上取点C（不与点A,B重合）,连接OC,交反比例函数”的图象于点。，

连接BD.当S^BOD=2SABCD时，求点C的坐标.

【分析】(1)将A(4,1)代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点3

的坐标，再由4,4坐标可得直线解析式；

(2)根据图象得出不等式丘+〃>羡的解集即可；

(3)分别过C,D两点作CELx轴于E,作DF±x轴于F,根据S^BOD=2SABCD,得出"=二证明

0C3

△ODFsXOCE,得出也皿=(―)12=(-)2=求出S&OCF=?x2=1设C(机，-2〃】+9),得

SEE℃3/942

197

出5m(-2m+9)=5，求出〃八=3或=］，即可得出答案.

1

【解答】解：(1)一次函数#=收+〃(攵=0)与反比例函数%=?(%>0)的图象交于A(4,1),8(;,〃)

x2

两点.把A(4,1)代入丫2=乎，得：小=4,

・♦.反比例函数的解析式为力=《：

把九)代入乃二［得："=8,

・・・竭，8),

把4(4,1)、B0,8)代入yi="+〃，得：

(4k+b=1

gk+b=8'

解得:前丁，

，一次函数的解析式为户=-2x+9；

故答案为：y\=-2x+9；y2=^.

1m

(2)由图象可知，当一<rV4时，kx+b>^,

2

1

・•・不等式依的解集是<r<4；

x2

(3)分别过C,。两点作CE_Lx轴于区作DF_Lx轴于凡如图(2)：

S&BOD=2S^BCD,

.ODS^BOD

CDSABCD

.OD2

••=一,

OC3

•・•反比例函数解析式为

.1

,，SAODF=2*4=2，

VCElxft,。/_Lx轴，

：.CE//DF,

:./XODFsAOCE,

,S&ODF,0D2224

,百=（左）=q）=?

•・SAOCE=4x2=2，

设C（加，-2/n+9）,

19

m（-2m4-9）=-,

解得：〃八=3或加2=|，

・••点C的坐标为（3,3）或（|,6）.

【点评】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，相似三角形的判定和性质，将点的坐标代

入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键.

21.(8分)海岱楼钟书阁位于山东省淄博市张店区齐盛湖公园，是钟书阁全国单体面积最大的连锁店和唯

一建于独栋建筑的文化综合体，似一颗璀璨的明珠，俯瞰淄博大地的日新月异.某校数学“综合与实践”

小组在测量海岱楼钟书阁的高度时，形成了如卜不完整的实践报告：

测量对象海岱楼钟书阁

测量目的学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题

测量工具无人机

测量方案如测量示意图所示(图中各点均在同一竖直平面内)：

1.先将无人机从地面的点C处垂直上升99.7/〃至点P,此时

测得海岱楼钟书阁的顶端A的俯角为16°；

2.再将无人机从点P处向右沿水平方向飞行60,7?至点D,

然后沿垂直方向上升20”?至点Q,此时测得海岱楼钟书阁的

顶端A的俯角N£Q4=45".

测量示意图

请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出海岱楼钟书阁的高度.(结果

保留整数,参考数据：sin16°20.28,cos16°^0.96,tan16°~0.29.)

【分析】延长刖交QE于M,延长PO交MB于F,设QM=.X7〃，用x表示出AF、PF,根据正切的定

义列出方程，解方程求出x,进而求出人笈

【解答】解：如图，延长BA交QE于M,延长PD交M8于凡

则QM=ORM/=。。=20〃?，FB=PC=99.7m,

设QM=xni,则PF=(A+60)m,

在RtzXQAM中，ZAQM=459,

则MA=()M=xm,

：,AF=(x-20)m,

在RtZ\P"中，NAP尸=16°,

VtanZAPF=可,

：,AF=PF*U\nZAPF,HPx-20=(.v+60)X0.29,

解得：x%52.7,

则A5=99.7+20・52.7=67(m),

答：海岱楼钟书阁的高度约为67〃,.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

22.(8分)如图(1),已知抛物线y=今=2一1%一2交工轴于点力，8(点A在点B的左侧)，交y轴于点

C,连接AC,BC.

(1)请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)判断△A4C的形状，并说明理由