2024人教版七年级数学上册 等式的性质（教学设计）

5.1.2等式的性质教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册第五章一元一次方程5.1方程，

内容包括：等式的性质.

2.内容解析

本节课的学习是在学生学习了等式和方程基础上进行的，之前的学习为本节课的学习奠定了

知识和方法基础.本课内容是今后学习解多步方程的基础，它是系统学习方程的开始，其核

心思想是构建等量关系的数学模型.通过本节课的学习，引导学生探索，思考比较，发现规

律，在实验的基础上，掌握等式的两个基本性质，并能利用等式的性质解简单的方程，为今

后运用等式的基本性质解较复杂的方程打下基础，它在本章中占主要地位.本节课将引导学

生从实际例子出发，让学生从具体情境中探索.通过观察、比较、归纳等方法，引导学生学

会从具体到抽象的数学思维，发展学生的逻辑思维和抽象思维能力，从中获得成功的体验，

激发学习激情.通过学习，孩子们将学会如何运用逻辑推理进行正确的运算，同时培养直观

想象能力和解题的运算效率.

基于以上分析，本节课的教学重点是：理解等式的性质，并能利用等式的性质解决问题.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解等式的性质，并能利用等式的性质解决问题；

（2）通过探究等式的性质，培养学生由特殊到•般的探索能力，归纳总结能力；

（3）学生经历猜想，探究和归纳的过程掌握数学一般的探究方法，体会成功的喜悦，增强

学习数学的兴趣.

2.目标解析

（1）教材由具体例子问题引入，并引导学生通过观察、比较、归纳等方法，发展学生的逻

辑思维和抽象思维能力.从具体到抽象，通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题

的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣.

（2）培养学生对等式性质的理解和运用能力，对等式形成正确的认识.

（3）鼓励学生在实践中挨索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习

的兴趣，培养学生认真、四i革的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础.

三、教学问题诊断分析

本节课学习之前学生已掌握的数学知识学生已学习了简单的方程(如一步方程)，能通

过直观的逆运算求解未知数，但尚未接触复杂的方程求解步骤.对“等式”的概念有一定理

解•，但仅停留在“="表示两边数值相等的层面，尚未深入理解等式的数学性质.可能存在的

知识漏洞对”等式两边同时操作”的必要性缺乏认识.在代数表达式中，可能混淆”等式变形”

与“算术运算”的区别(如误用交换律、结合律改变等式结构〉.学生的认知特点抽象思维能

力不足等式的性质是抽象的数学规则，学生需要从具体实例中归纳总结，但可能难以自主提

炼规律.

基于以上分析，本节课的教学难点为：通过探究等式的性质，培养学生由特殊到一般的

探索能力，归纳总结能力.

四、教学过程设计

(一)情景引入

猜谜语：

古怪老汉，肩上挑担,

为人正直,偏心不-干.

(打一物品)

你知道数学中的天平是什么吗？等式

【设计意图】通过情景引入，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣.

(二)新知探究

小学的知识中，你已经学到了等式的哪些知识呢？

等式的两个基本事实：

①如果Q=b,那么匕=a

②如果a=b,b=c那么a=c

等式的两个性质：

①等式的两边同时加上(或减去)同一个正数，结果相等

②等式的两边同时乘以(或除以)同•个正数，结果相等

当引入负数后等式的性质还成立吗？

(1)在等式-4=-4中，两边同时加-2,等式还成立吗?即-4+(-2)=-4+(-2)

(2)在等式-4=-4中，两边同时减-3,等式还成立吗？即-4-(-3)三_-4-(-3)

(3)在等式a=b中，两边同时加-7,等式还成立吗？

即a+(-7)-b+(—7)

(4)在等式a=b中，两边同时减c,等式还成立吗？即b-c

等式的性质1:

如果等式的两边同时力口上(减去)同•个数(式子)，结果仍相等.

如果Q=/),那么Q±C=b±C.

(5)在等式一4=-4中，两边同时乘以一2,等式还成立吗？即一4x(-2)_=—-4x(-2)

(6)在等式一4=-4中，两边同时除以一2,等式还成立吗？即一4+(-2)_=—-4+(-2)

(7)在等式一4二一4中，两边同时乘以0,等式还成立吗？即一4x0_=_-4x0

(8)在等式Q=力中，两边同时乘以0,等式还成立吗？即QX0_=_J)X0

等式的性质2：

如果等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数,结果相等.

如果Q=b,那么ac=8c；

如果a=b(cw0),那么/=g

注意：

1.等式两边同时都要参加司一种运算：

2.等式两边加，减或乘的一定是同一个数或同一个式子；3.等式两边不能都除以0,因为0

不能作除数或分母.

【设计意图】学生从实际问题出发，让学生从现实清境中探索筝式性质.通过观察、比

较、归纳等方法，引导学生学会从具体到抽象的数学思维，发展学生的逻辑思维和抽象思维

能力，从中获得成功的体验，激发学习激情.

(三)新知应用

1.判断对错，对的说明根据等式的哪一条性质；错的说出为什么.

(1)如果％=y,那么无一|=y+|

(2)如果x=y，那么x+5=y+5

(3)如果工=y，那么-5x=5y

(4)如果-3%=-3y,那么工=y

(5)如果x=y,那么白二y

S+a

(6)如果x=y,那么小y

5+a2

(7)如果x=y,那么5x-3=5y-3

(8)如果》=y，那么手=等

(9)如果7%+3=7y+3,那么％=y

答案:

(1)错，等式两边必须做的是同一种运算

(2)对，等式性质1,等式两边同时加5

(3)错，等式两边必须乘以同一个数

(4)对，等式性质2,等式两边同时除以-3

(5)错，当。二一5时，5+。=0,等式两边不能除以0

(6)对，等式性质2,等式两边同时除以5+a2,(因为不论Q取何值都有Q>0,所以

5+a2>5)

(7)对，等式性质1,2,等式两边同时乘以5,再减3

(8)对.等式性质1,2,等式两边同时乘以-7,等式两边再同时加9,最后等式两边同时除

以2

(9)对，等式性质1,2,等式两边同时减3,然后等式两边再同时除以7

易错提醒：

此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质2时，等式两边同除以一个

数或式子时需注意不能为()，如果题目中没有规定除数或除式范围，则不能直接两边同时除

去.

2.根据等式的性质填空，并说明依据：

(1)如果2%=5—％那么2x+x=5

根据等式的性质1,等式两边加工,结果仍相等

(2)如果m+2n=54-2几,那么m_5

根据等式的性质1，等式两边减2九，结果仍相等

(3)如果％=-4.那么-7-x=28

根据等式的性质2,等式两边乘-7,结果仍相等

(4)如果3m=4n,那么_2—,n

根据等式的性质2,等式两边除以2,结果仍相等

解答此类题的一般规律是：首先观察等式的一边是如何由上一步变形得到的，以便确定变形

的依据，再对等式的另一边以同样的方式进行变形.

3.(1)将等式％—3=5的两边都同时加上3得到x=8,这是根据等式性质1；

(2)将等式g无=一1的两边都乘以或除以—得到％=-2,这是根据等式性

质2:

【设计意图】熟练地掌握等式的性质，并会利用等式的性质解决问题.

(四)典例讲解

例1.利用等式的性质解下列方程：

(1)x+2=3(2)5%=30

(3)4x=-2x+7(4)4(%+1)=16

解：(1)等式两边同时减去2x+2-2=3-2

x=1

解：(2)等式两边同时除以55x+5=30+5

x=6

解：(3)等式两边同时加2不4x+2x=-2无+7+2%

6x=7

等式两边同时除以£6%+6=7+6

7

^=6

解：(4)等式两边同时除以44(%+1)+4=16+4

x+1=4

等式两边同时减1%4-1-1=4-1

x=3

利用等式的性质解一元一次方程的一般步骤：

①首先运用等式的性质1.将方程逐步转化为左边只有含未知数的项.右边只有常数项,。丫=

b(aH0)的形式：

②运用等式性质2,将未知数的系数华为1,即x=?(aH0)

例2.已知m=2%+l,n=8—x.

(1)若m=〃，求x的值.

(2)若m=-n,求工的值.

(3)直接写出入为何值时，m=|n|?

解：(1)若771=71,则2%+1=8-

方程两边同时加上(3-1)，

得2%+1+%-1=8-%-1,即3%=7,

方程两边同时除以3,得3%+3=7+3,即％

(2)若^=一/，则2%+1=%-8,

方程两边同时加上(-x-1),

得2%+1—x—1=x-8—x—1,

即％=-9,

(3)因为x=g时，m=n,

%=-9时，血=一?1(此时mVO,不符合题意，舍去),

所以x=g时，m=\n\.

【设计意图】通过例题的讲解让教学熟练地掌握利用等式的性质解方程.培养学生勇于

探索、敢于创新的精神，体脸数学活动中的探索性.

（五）针对练习

1.利用等式的性质解下列方程：

（l）x+7=26(2)-5x20

（3）2%-1=-3(4)-2x-10=3x+15

解：（1）等式两边同时减7x+7-7=26-7

%=19

解：（2）等式两边同时除以-5—5x♦(—5)=20-r-(—5)

x=—4

解：（3）等式两边同时加12x-1+1=-3+1

2x=-2

等式两边同时除以22x+2=-2+2

x=—1

解：（4）等式两边同时加（10-3x）

-2x-10+10—3x=3x4-15+10—3x

-5x=25

等式两边同时除以一5-5%+（-5）=25+（-5）

x=-5

2.“小马虎”同学解方程7%-3=6%-3的过程如下：

解：两边加3,得7%-3+3=6%-3+3

7x=6x

两边除以露得7=6

此过程是否正确？若错误，错在哪里？

错误，刀为（），等式两边同时除以同一个数（不为（））

3.已知关于％的方程3a-x=^+3的解为％=2,求式子（一一2a+1的值.

解：将x=2代入方程，得3a-2=1+3,

两边同时加2,得3a=6,

两边同时除以3,得Q=2,

则原式=（-2）2—2x2+1=1.

【设计意图】巩固学生理解等式的性质并利用等式的性质解决问题.

（六）拓展探究

1.已知关于％的方程;m%+：=6和方程3X-10=5的解互为相反数，求m的值.

4L

解：V3x-10=5

Ax=5

•・•方程:mx+|=6和方程3x-10=5的解互为相反数

将X=—5+Z=6中得：一三巾+2=6

4242

.1

..771=——

2

2.如果方程2%+1=3的解与方程3+3a=7的解相同，求关于y的方程一;ay+4=3的

解

解：V2x+1=3

/.X=1,

「方程2x+1=3的解与方程x+3a=7的解相同

/.a=2

1x2y+4=3

Ay=1

【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和解决问题的能力，进一步培

养学生数学建模的思想.

(七)当堂巩固

1根据等式的性质判断，下列变形正确的是(D)

A、如果2%—3=7,那么2%=7-3

B、如果3x—2=1.那么3%=1-2

C、如果一2%=5,那么x=5+2

D、如果一gx=1,那么％=-3

2若6无=my,下列等式变形正确的有①③④⑤

①、mx-1=my-1；②、x—y\

③、一-my;④、？=?;

JJ

⑤、2—mx=2—my

3由等式(a+2)x=a+2能得到％=1,则a必须满足的条件是aH-2.

4当代数式1一(3m-5)2取得最大值时，关于x的方5m-4=3x+2的解为x

5若3/-4%-5=7,

则d-四的值为4,8x-6*的值为一24

6利用等式的性质解下列方程.

(1)x-5=18(2)-3x=15

（3）-5x=2x+28(4)-1x-5=4x-7

解：（1）等式两边同时加5%—5+5=18+5

%=23

（2）等式两边同时除以-3-3%+(-3)=15+(-3)

x=-5

⑶等式两边同时减2%—5%—2%=2%4-28-2x

-7x=28

等式两边同时除以-7-7%+(-7)=2