2024北师大版八年级数学上册《二次根式》每课时教学设计汇编（含三个教学设计）

第二章实数

3二次根式（第1课时）

一、学习任务分析

本节是北师大版初中数学第二章“实数”的第三节，主要是通过对二次根式概念、性质

和运算的学习，培养学生的抽象思维能力和提升学生的运算能力。本节共设计3个课汨，旨

在引导学生通过归纳不同类型二次根式问题的解题方法，掌握二次根式运算中的解题技巧。

本节课是第1课时，主要是让学生初步认识二次根式的概念，探索二次根式的乘法法则和除

法法则，利用运算法则进行二次根式的简单运算。

二、学生起点分析

学生知识技能基础:学生在七年级上学期已学习了有理数的运算，本学期又认识了实数,

并学习了如何求某个有理数的平方根和立方根。这些都为本课时学习二次根式的运算提供

了知识基础。

学生活动经验基础:不论是几何学习，还是代数学习，学生都已经积累了从特殊到一般、

从具体到抽象的活动经验，这为本课时学习二次根式的乘法法则和除法法则奠定了经验基

础。

三、教学目标

1.认识二次根式的概念。

2.探索二次根式的乘法法则和除法法则。

3.利用运算法则进行二次根式的简单运算。

4.经历探索、猜想、发现、总结、验证等活动过程，体会从特殊到•般的数学思想方法，

发展推理意识。

5.在运算过程中体会运算法则与算式的联系，增强运算能力。明晰运算的对象和意义,

理解算法与算理之间的关系。

教学重点：探索二次根式的乘法法则和除法法则，并根据运算法则进行简单的运算。

教学难点：探索二次根式的乘法法则和除法法则，并根据运算法则进行简单的运算。

四、教学过程设计

【第一环节】认知概念

1.活动内容

问题1观察下列代数式：

V5,VTT,412,舄J（c+/?）（._1）（其中8=24,c=25）。

上述式子有什么共同特征？

问题2你能用统一的数学符号表示上述的代数式吗？请同学们尝试写一写。

问题3二次根式的运算有怎样的规律呢？

2.活动目的

借助前两个问题的探讨，自然引出二次根式的概念；通过最后一个问题，揭示本节课的

核心任务---探究二次根式的乘法法则和除法法则。

3.注意事项

对于J（c+勿9一。）（其中"24,c=25）,虽然算式中含有字母，需要引导学生明

确二者本质仍为数，是可计算由得数的。

【第二环节】探究法则

1.活动内容

尝试-思考

（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？

V4xV9=，J4x9=；V16xV25=，716x25=；

（2）根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，借助计算器进行验证。

遥xJ7与J6x7,与需o

（3）用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么止确吗？

2.活动目的

问题（1）从特殊数入手，通过计算若干算式，引发学生猜想，进而帮助学生获得一定

的感性经验。问题（2）进一步强化问题（1）获得的经验和猜想，并借助计算器验证自己的

猜想，经历归纳推理的过程。问题（3）引导学生利用实数的运算法则和运算律说明自己猜

想的正确性，并总结归纳得到二次根式的乘法法则和除法法则。

3.注意事项

通过猜想得到y[ci'\[b=-Jab*=g后,学生可以再选一些数来验证猜想是否正

确。验证的过程中，教师可以依次提问“能否选负数？”“字母。，〃有限制条件吗？”，

进而得到二次根式的乘法法则和除法法则。

=电(aR，b>0)。

\fa-\fb=\jah(aR,Z?R),

【第三环节】例题巩固

1.活动内容

例1计算:

⑴V6x^|.

例2计算:

(1)3A/2x273；(3)(V5+1)2；

(4)(713+3)(713-3)；

(例1、例2解答略1

2.活动目的

通过两组例题强化学生对二次根式的乘法法则和除法法则的运用，并且在计算的过程

中，引导学生观察最后计算得到的结果是否能进行开方运算，为下一节学习最简二次根式做

铺垫。其中例2承接例I的运算法则的使用，在强化二次根式的乘法法则和除法法则运用的

基础上，乂增加了加减运算，让学生总结归纳二次根式和有理数在运算法则、运算律的相同

点。

3.注意事项

对丁例2中的各题,

(I)3>/2x2\/3=3x2xyp2x5/3=3x2x(2x3=6>/6；

题(1)强调：二次根式相乘注意分清有理数和无理数部分，运算时可以有理数和有理

数相乘，无理数和无理数相乘，最后写成积的形式。

(2)Vl2xV3-5=V12x3-5=V36-5=6-5=l；

题(2)强调：二次根式的运算也要遵循运算法则和运算律。

(3)(右+1尸二(右)2+2后+1=5+26+1=6+2后;

(4)(V13+3)(V13-3)=(V13)2-32=13-9=4；

题（3）、题（4）强调：二次根式的运算可以使用乘法公式，例如完全平方公式和平方

差公式。

(5)y[v).—Xy/3-y/l~2XVs-Xy/3—\36—>f\=6—1=5：

4-J8V18rr仄r飞：

V2V2V2

题（5）、题（6）强调：对二次根式进行运算时，可以运用实数的运算律，例如乘法分

配律。

【第四环节】练习提高

1.活动内容

计算：

（1）yf5x?（2）（1+A/3）（2—V3）；（3）（2A/3—I）2；

⑷（历+梆6⑸叵泻⑹R吃K

2.活动目的

通过随堂练习，加深学生对二次根式运算的理解和掌握。

3.注意事项

练习时，需再次引导学生应用实数的运算法则和运算律进行计算，不涉及将结果化为最

简二次根式的情形。

【第五环节】课堂小结

1.活动内容

复习概括本节课主要内容：

（1）掌握并会运用公式计算：

4a[a

4a-4b=\[ab(a^O,b'O),(“NO,Z?>0)o

（2）理解本节课中运用的数学方法：类比法、合情猜想、归纳总结等。

2.活动目的

让学生通过总结进一步积累活动经验，完善对二次根式运算的认知结构。

3.注意事项

引导学生梳理本节课的知识框架和研究路径，以培养学生核心素养。

【第六环节】作业布置

1.活动内容

（1）必做题：教科书习题2.3第1题。

（2）选做题：计算、bo?—24?。

2.活动目的

通过作业练习检测并巩固本节课所学；设置不同层次的作业练习，为不同层次的学生提

供不同的发展空间。

五、教学反思

1.设计理念

本节课在归纳二次根式概念与二次根式的乘法法则和除法法则的过程中，都遵循了启

发式的教学理念，通过设置问题，让学生经历合情猜想、计算及计算器验证等探究过程，从

而总结得到相关概念及法则，充分体现了学生是课堂的主体。

2.教学建议

本节课把学生能否依据算理正确进行计算，能否判断结果的合理性等作为课程重点，不

追求技巧型运算，而是重点关注学牛.对运算法则的理解，以及能否根据问题的特征选择合理、

简便的算法。因此，在二次根式运算的起始课，务必把技能要求定位于“理解算理、算对即

可”，切忌拔高技巧要求，

第二章实数

3二次根式（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第三节的笫2课时，本节内

容共分为3个课时。基于第1课时学习了二次根式的乘法法则和除法法则，进而通过逆用二

次根式的乘法法则和除法法则得出二次根式的性质，学习二次根式的化简。经历本节课的学

习，学生对实数的运算将更全面地了解，同时进一步熟练掌握实数的运算，为今后的学习打

下坚实基础。

二、学生起点分析

学生知识技能基础：在前面的学习中，学生已经掌握了实数的概念、实数的运算法则;

学会了利用公式G•、/二，万（4，0,1（。?0,/?>0）进行简单

的实数运算。本课时主要是通过逆用二次根式的乘法法则和除法法则得出二次根式的性质，

并运用二次根式的性质将给定的二次根式化为最简二次根式。

学生活动经验基础：在小学阶段已经学习了乘法分配律，学生有了从左往右和从右往左

使用乘法分配律的经验。在前面的学习中，学生已经积累了类比经验，可迁移至本课时的学

习内容----化简二次根式。

三、教学目标

1.探索二次根式的性质，明确最简二次根式的概念。

2.掌握二次根式的性质，能将给定的二次根式化为最简二次根式。

3.会进行二次根式的筒单四则运算。

4.经历通过合理推理探索数学结论的过程，加深对最简二次根式的理解，掌握并能灵活

运用二次根式性质解决问题。

5.在运算的过程中，通过学生之间的合作与交流，进一步发展合作交流的能力和数学表

达能力。

教学重点：探索二次根式的性质；能够利用二次根式的性质将给定的二次根式化为最简

二次根式。

教学难点：将给定的二次根式化为最简二次根式。

四、教学过程设计

【第一环节】回顾旧知

1.活动内容

石

（1）计算:xVB

（2）计算的过程中，运用了哪些运算法则？

耳

二次根式的乘法法则和除法法则：6•6=而（）,为二右（心°,

/?>0）O

2.活动目的

通过回顾旧知，在巩固旧知的同时，为引出二次根式的性质做好铺垫。

3.注意事项

学生可能会有多种解答方法，教学时要给予充分交流时间，起到“一题多用”的效果。

【第二环节】探究性质

1.活动内容

上节课我们验证了Jidx后=20,716x25=20,那你会怎样计算J16x25?

2.活动目的

通过使用不同的方法计算而，为介绍二次根式化简做准备和铺垫。

3.注意事项

教学中对于该问题，学生可能会有两种不同的方法。

解法1：716x25=7400=20；

解法2：716x25=74^x7?=4x5=20<.

引出提问：你认为哪种方法更简便？你能用数学符号来表示它吗？它和上一节学习的

二次根式的乘法法则有什么联系？（进而得到J益=6•扬，可以继续追问）〃和6的限

制条件会改变吗？除法呢？有什么性质？

进一步得到：我们把二右（々20,AN））,=（。20，Z?>0）

称为二次根式的性质。

【第三环节】例题巩固

1.活动内容

例1化简：（1）781x64；（2）725x6；（3）岛

2.活动目的

通过逆用二次根式的乘法法则和除法法则，巩固并掌握二次根式的性质。

3.注意事项

由于在讲解例I时，还没有建立最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方

向，此时主要是借助二次根式的性质先分别开方，然后再进行乘除运算。

对于题（1），可引导学生发现81和64是完全平方数，于是运用二次根式的性质将其

分别开方，然后再进行乘除运算。

对于题（2）（3）,可引导学生发现25和9是完全平方数，但6和5不是，于是将25

和9分别开方，而6和5仍旧保留根号形式。

【第四环节】揭示概念

1.活动内容

揭示最简二次根式概念：

例1的化简结果5〃，手中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数。一

般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二

次根式。

化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。

例2化简：（1）同；3）（3）

思考-交流

（I）你是怎么发现病含有开得尽方的因数的？你是怎么判断半是最简二次根式

的？

（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴进行交流。

2.活动目的

揭示最简二次根式概念，为后续化简做好准备；例2进行实操练习；“思考•交流”基

于'实操的基础，反思解决问题的过程和方法。

3.注意事项

可以将例2全部完成，再进行“思考•交流”，也可以做完相应题目后进行反思。例如

完成例2题（1）后，教师可以提问：你是怎么发现我含有开得尽方的因数的？通过分析

可能会得到结论：利用小学学过的“短除法分解质因数”的方法来把50进行分解。完成例

2题（2）后，教师可以提问：你是怎么判断拳是最简二次根式的？通过分析可能会得到

结论:首先根据最简二次根式的概念,被开方数不含有分母，这种运算也称为“分母有理化”，

其次可利用小学学过的“短除法分解质因数”的方法把14进行分解，发现不含能开得尽方

的因数，所以可以断定丫V1厂4是最简二次根式。当然为引出二次根式也可以进行加减运算，

在最后可以进一步提问：你觉得二次根式能否进行加减运算？

【第五环节】练习提高

1.活动内容

例3计算：(1)V48+V3；(2)V5—：(3)+V3x5/60

随堂练习

(1)化简：①夜；②夜；③杵；④G；⑤丧。

(2)下列计算是否正确？

①叵+6=6②2+叵=2叵;③亭=&

2.活动目的

通过例题和练习题，加深对化简二次根式、最简二次根式以及二次根式加减运算的理解

和认识“

3.注意事项

对于“随堂练习”第2题，要组织学生给出判断理由，在辨析中进一步巩固有关运算法

则。

【第六环节】课堂小结

1.活动内容

复习概括本节课主要内容:

[a4a

(1)掌握并会运用性质：ylTTb=&,巫("R),

(2)会将二次根式化简成最简二次根式。

2.活动目的

进•步积累活动经验，完善学生对二次根式的认知结构。

3.注意事项

引导学生梳理本节课的知识和技能框架，以便培养学生素养。

【第七环节】作业布置

1.活动内容

（1）必做题：教科书习题2.3第2,4〜6,8题；

（2）选做题：教科书习题2.3第II题。

2.活动目的

通过作业练习巩固并检测本节课所学内容；设置分层作业，为不同层次的学生提供不同

的发展空间。

五、教学反思

1.设计理念

本节课基于上节课二次根式的乘法法则和除法法则的学习，让学生通过计算.、归纳和总

结得出二次根式的性质。例题的设计，先从能完全开方的二次根式的计算来巩固二次根式性

质的运用，再到不能完全开方的二次根式的计算，进而得出最简二次根式的概念，接着从乘

除运算扩展到加减运算，更好地巩固了如何灵活运用法则和性质来进行二次根式的化简。

2.教学建议

本节课提出了最简二次根式，给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法。学生需

通过练习认真体会各类方法，做到能灵活运用，为今后H勺学习打下基础。

第二章实数

3二次根式（第3课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第三节第3课时木节课的

主要内容是继续巩固二次根式的概念，熟练掌握二次根式的化简，进而完善实数的运算。通

过本节课的学习，发展学生的运算能力，并在学习过程中引导学生关注解决问题方式的多样

化，提高学生灵活运用法则解决问题的能力。

二、学生起点分析

学生知识技能基础：学生在前面已经学习了实数、实数的运算法则、最简二次根式及二

次根式的化简，能进行与实数有关的乘除运算，但熟练程度不高，同时对根号内含有字母的

二次根式的化简比较生疏。前期知识技能的积累，为今后的数学学习扫清了计算方面的隙碍。

学生活动经验基础：学生积累了一定的运算经验，通过前面在与有理数的对比中学习实

数，运算能力得到了一定的提升。

三、教学目标

1.进一步熟练掌握二次根式的化简：

2.会根据实际情况及活运用法则及其他运算律进行四则运算；

3.利用二次根式的化符解决简单的数学问题；

4.通过观察算式的特点，能选择简洁合理的运算策略解决问题；

5.通过相互间的合作与交流，比较运算方法的多样性，发展运算能力，提高灵活运用运

算法则解决问题的能力。

教学重点：灵活运用法则及其他运算律进行四则运算。

教学难点：灵活运用法则及其他运算律进行四则运算。

四、教学过程设计

【第一环节】回顾旧知

L活动内容

V387

请你计算:，V28-77

2.活动目的

化简的方法不唯一。这里要求学生计算，可能学生会有不同的化简方法，教师一方面可

以展示学生的这些方法，另一方面也可以从代数推理的用度说明这些算法是否合理。

3.注意事项

向一676百显V3xV2V6V6V6/T

(1)展不〒+—1的计算V过程l：-；=+—=-j=~尸+—=—+—=76o

V22412V2xV2222

提问：分子、分母同乘行的目的是什么？

通过本问题让学生明确被开方数不能含有字母，所以要将二次根式的分母有理化。

（2）在学生计算后-7

77后，教师可以让学生思考：除了你写的这种方法外，还有

别的解法吗？学生小组之间也可以分享下自己的解法。

教学预设与处理:

V

解法1：728-^=74^7-^L=A/4XV7~—=277-77=V7o

V7V7xV77

解题思路：先进行分母有理化，再进行化简。

解法2：

rrr7腐x674^7x41-7血xgV7-72x7-7

-TT^丁=^T

77x777/7/-

=7T京TTT=J7。

解题思路：先通分，再进行化简。

总结归纳：在进行二次根式化简的运算中，碰到含有分母的二次根式，一般情况下先进

行分母有理化。

【第二环节】例题巩固

1.活动内容

(2)V18-V8+

(4)十回-屈。

例1同样侧重于加减运算，但数字比上节课中的例题复杂，化简的要求也更高，而且有

的算式还需要判断哪些项需化简，哪些项不必化简，因而更为灵活。“尝试•思考”的编排，

力图让学生在反馈交流中进步感受方法的多样化，同时对方法的优化有所感悟。

3.注意事项

例I第（I）（2）题强调化简后的结果一定要为最简二次根式，教师要提醒学生检查最

后得出的结果是否符合化简要求，从而培养学生的自杳能力。

例1第（3）题有多种解决方法，对于学生的不同解法，可以让学生说说自己的想法。

对于第（4）题，可以提问学生：你认为屈是否要化简成3JTT?与同伴进行交流。

“尝试•思考”中的化简方法不唯一，教学时要让学生多交流，感受方法的多样性，并

在具体问题中优化选择。

【第三环节】问题解决

L活动内容

思考-交流