2024北师大版八年级数学上册《平方根与立方根》每课时教学设计汇编（含三个教学设计）

第二章实数

2平方根与立方根（第1课时）

一、学生任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第二节的第1课时。学习平

方根和算术平方根的概念和性质。在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由

原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算休系。木节内容既

是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开

平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。因此，本节课处于非常重要的地位，起着承前

启后的作用。本节课为第1课时，主要研究算术平方根。算术平方根的探究从直角边长为1

的等腰直角一:角形出发，以该三角形的斜边为新三角形的直角边，1为新三角形另一条直角

边的长作直角三角形，以此类推，得到一系列直角三角形，引发学生思考这些直角三角形斜

边长的值能否表示出来，进而引出算术平方根的概念。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础；学生已经学习了勾股定理、无理数，并掌握了乘方运算。本节课

将在这些基础上进一步研究算术平方根。

学生的活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经积累了自主探究、合作学习的经

验，具有一定的观察、分折、归纳、概括能力，具备了一定的合作与交流能力。这节课的教

学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情境引入学习主题，在关注现实生活的同时，

更加关注数学知识内部的挑战性。

三、教学目标

1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术

平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平

方根的性质。

2.经历动手操作、观察、猜想，培养学习的主动性，发展表达和运算能力。

3.通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般及类比的观点，在小组活动中发展独

立思考能力和竞争意识。

4.在概念形成过程中，体会知识的来源与发展，提高思维能力；在合作交流等活动中，

培养合作精神和创新意识。

教学重点：了解算术平方根的概念，知道求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算。

教学难点：会用根号表示一个数的算术平方根。

四、教学过程设计

【第一环节】创设情境，引发思考

1.活动内容

（2）x,户z,w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？

2.活动目的

带着问题进入这节课的学习，让学生感受学习用算术平方根表示的必要性。

3.注意事项

在活动中，学生能表示f=2,产=3,Z2=4,M=5,能求得z=2,但不能求得x,y,

卬的值，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算一一开方。

【第二环节】理解概念

1.活动内容

引出新概念。

『=2,产=3,z?=4,M=5,己知哥和指数，你能求出底数吗？

在上面思考的基础上，明晰概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于即/=〃，那么这个正数x就叫作。的算术平

方根，记作“痴”，读作“根号。

特别地，我们规定：0的算术平方根是0,即加=0。

例1求下列各数的算术平方根：

(1)900；(2)49；(3)121；(4)225：

(5)0.09；(6)0.64：(7)0.81；(8)2.25；

4981

仪

(9)♦*(10)*(11)14；(12)15。

2.活动目的

让学生体验概念的形成过程，感受到概念引入的必要性，对算术平方根概念形成认识，

并通过例题巩固学生对算术平方根概念的认识。体验求一个正数的算术平方根的过程，利用

平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，

有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是

3.注意事项

在探索的过程中，可以提出问题“已知幕和指数，你能求出底数x吗？”通过例题，让

学生感受一个正数的算术平方根是正数，。的算术平方根是0,负数没有算术平方根。

【第三环节】思考交流

1.活动内容

思考-交流

（1）在上面例1中，一些数的算术平方根的结果没有“一”了，这些数有什么特点？

（2）在上面例1中，7900=30,也就是历=30。一般地，当。力0时，后。

成立吗？

（3）（后丫成立吗？这里的。是什么数？你是怎么理解的？与同伴进行交流。

例2由静止自由下落的物体下落的距离s（单位：口）与下落时间/（单位：s）之间的

关系为5=4.9汽有一个铁球从19.6m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长

时间？

2.活动目的

（1）通过“思考•交流”，帮助学生进一步理解平方与开方之间的关系，深入认识算

式平方根的概念，进而得到以下结论：

当时，、小=7,当。＜0时，y信二—4。

（2）设置例2,用算术平方根的知识解决实际问题。

3.注意事项

对于当。＜0时，"=一。的讨论，可以通过举例、归纳等方式进行，从而明确算

术平方根的双重非负性。

【第四环节】尝试运用，巩固概念

1.活动内容

随堂练习：

1.求下列各数的算术平方根：

25

（1）36；（2）1川；（3）15；（4）0.64；（5）10%（6）以5。

2.下列说法正确的是（）。

A.5是25的算术平方根B±4是16的算术平方根

C.-6是（-6》的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根

144

3.正数—的平方为万：（-5）2的算术平方根为。

4.若一个数的算术平方根是V5,则这个数是。

5.在△力AC中，ZC=90°,8c=3,AC=5,求48的长。

6.如图，从帐篷支撑杆力8的顶部4向地面拉一根绳子4C固定帐篷。若绳子的K度为

8m,地面固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离为6.4m,则帐篷支撑杆的高是多少？

2.活动目的

旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进

程，练习的梯度性由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识。同时对学生

的回答，教师要给予评价和点评。

【第五环节】课堂小结，布置作业

1.活动内容

围绕以下内容进行课堂小结：

（1）算术平方根的概念。

（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0：负

数没有算术平方根。

（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，可以利用这个互逆运

算关系求非负数的算术平方根。

布置作业

①习题2.2第1题、第3题（1）~（8）、第16~18题。

②查找算术平方根的相关资料，与同伴分享交流。

2.活动目的

依照本节课的教学目标引导学生自己总结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和

性质。通过作业让学生进一步加强对本课知识的理解和掌握。

五、教学设计反思

1.细讲概念、强化训练

要想让学生掌握算术平方根的概念，需要让学生经历由浅入深、不断深化的过程。概念

是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的。

概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，有利于提高学生的思维水平。概

念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化。

“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的石质特征。算术平方根的本质特征就

是定义中指出的“如果一个正数x的平方等于。，即那么这个正数x就叫作。的算

术平方根”的“正数『'，即被开方数是正的，由平方的意义可知。也是正数，因此算术平

方根也必须足正的。当然零的算术平方根是零。

“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也

包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平

方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示。

“逐步深化”是指将运用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，

在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用，帮助学生逐步深化概念的理解和运用。

2.发展思维、适度拓展

在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对。的双重非负性的知识

进行适当的拓展。

第二章实数

2平方根与立方根（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第二节的第2课时。平方根

是对算术平方根的深化与拓展。学生已经掌握算术平方根的概念，并且具有强烈的好奇心和

学习热情。但抽象意识不足，缺乏对现有知识的迁移应用意识，还缺乏对知识体系进行整合

和建构的意识。因此，本节课的教学设计在对教学内容的深入理解和对学情的精准把握的基

础上，从学生思维最近发展区类比学习新知，根据教学目标精心设计合理且有效的教学活动，

使学生经历层次清晰的、完整的抽象过程，在学习活动中发现知识、形成技能、发展核心素

养。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础:了解数的算术平方根的概念，会用根号表示•个数的算术平方根。

能在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力。学生还具备了乘方运算的基础，

并能熟练计算任何一个非负数的平方根。

学生的活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经积累了自主探究、合作学习的经

验，具有一定的观察、分析、归纳、概括能力，具备了一定的合作与交流能力。这节课的教

学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情境引入学习主题，在关注现实生活的同时，

更加关注数学知识内部的挑战性.

三、教学目标

1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；会求一个正数的平方根；了

解平方根的性质。

2.经历动手操作、观察、猜想，培养学习的主动性，发展表达和运算能力。

3.通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般及类比的观点，在小组活动中发展独

立思考的能力。

4.通过主动参与，勇于面对困难并能够解决困难，发展合作交流意识。

教学重点：了解数的平方根的概念，会求一个正数的平方根，了解平方根的性质。

教学难点：会求一个正数的平方根。

四、教学过程设计

【第一环节】复习旧知，引入新知

1.活动内容

（1）3的平方是9,还有其他数的平方也是9吗？

4

（2）平方等于石的数有几个？平方等于0.64的数呢？

一般地，如果一个数x的平方等于a,即那么这个数x就叫作a的平方根（也

叫作二次方根）。

2.活动目的

让学生形成“平方根”的概念。在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反

推出平方根的概念和定义，并让学生熟练地进行平方运算和平方根运算之间的互化，并明白

它们之间的互逆关系。

3.注意事项

这里也可以借助上一课时中的例子、抛开实际情境，问/=4,除了2以外，还有其他数

的平方也是4吗？

【第二环节】形成概念，辨析概念

1.活动内容

尝试-思考

（1）平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？

（2）一个正数有几个平方根？。有几个平方根？负数呢？

一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

相同点：

1.只有非负数才有平方根和算术平方根。

2.0的平方根是0,算术平方根也是0。

不同点：个数不同。一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根。

明晰概念

正数。有两个平方根，一个是。的算术平方根右,另一个是-右,他们互为相反数。

这两个平方根合起来可以记作土右，读作“正、负根号。

求一个数。的平方根为运算，叫作开平方，。叫作被开方数。

2.活动目的

“尝试・思考”辨析“平方根”与“算术平方根”概念的区别与联系，使之与上一课时

紧密联系，同时也为明晰概念奠定了基础。

3.注意事项

这里从具体问题入手，遵循了从具体到抽象的过程，并和原有的概念进行了比较与辨析,

帮助学生厘清算术平方根和平方根之间的关系。

【第三环节】尝试运用，巩固概念

1.活动内容

例题示范

例1求下列各数的平方根：

49/、2

(1)64；(2)—：(3)0.0004；(4)(-25)'；(5)11。

解：(I)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即土扃=±8；

<7Y49497497

（2）因为土'=—,所以一■的平方根是土一，即±』——=±—；

（11；12112111V12111

（3）因为（±0.02）2=0.0004,所以00004的平方根是±0.02,UP±5/0.0004=±0.02；

2

(4)因为(±25>=(—25>,所以(一25)2的平方根是±25,gp±^(_25)=±25；

(5)11的平方根是土JTT。

例2求下列各式的值：

（1）A/225；（2）一；（3）J（-8y。

解:（I）V225=7157=15：

⑵-降-匿智

(3)7(-s)2=8o

随堂练习

1.求下列各数的平方.根：

1.44,0,8,—,441,196,ICT4。

49

2.25的平方根是,1的平方根是,病的平方根是

3.7^57=___，网、，(-@=。

巩固练习

1.下列说法正确的是。

①一3是庖的平方根

②25的平方根是5

③一36的平方根是一6

④平方根等于0的数是0

⑤6的算术平方根是8

2.下列说法不正确的是。

A.0的平方根是0

B.-22的平方根是2

C.非负数的平方根互为相反数

D.一个正整数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3.已知一个自然数的算术平方根是J则该自然数的下一个自然数的算术平方根是

（）O

A.a1B.Va+1

C.洛1D.yJa2+\

2.活动目的课本上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达。

能熟练地求出一个非负数的平方根，然后由题中的数探索出正数、0、负数的平方根的个数。

围绕本节课的重点知识（平方根）做适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的

理解。

3.注意事项

通过对例题的详解.，希望学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的

符号化语言。

【第四环节】课堂小结，布置作业

1.活动内容

课堂小结

引导学生总结本课时的知识、方法。

布置作业

习题2.2知识技能：第2,4,5题。问题解决：第19,20,21,22题。

2.活动目的

让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰。既巩固了有关知识，又培养了学生良好

的数学学习习惯。

五、教学设计反思

1.情境教学，经历知识形成的过程

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教学活动应引导学生在真实情境中发

现问题和提出问题，利用观察、猜测等方法分析问题和解决问题。本课时设计了一个课前热

身环节，是在学生已有的乘方运算的基础上，让学生感受到新运算和平方运算是互逆运算。

同时尊重教材，在求直角三角形斜边长的问题基础上，增加了两个实际问题.在解决实际问

题中，创设信息化的学习环境，提升学生的探究热情，激发学生的想象力。本节课，我们要

教的不仅仅是开平方运算，更要让学生经历从实际问题中抽象出来的过程，感悟数学思想方

法，学会用数学的思维思考现实世界，这有助于培养学生数学学科核心素养。

2.树立整体观念，明魂知识的来龙去脉

章建跃博士认为，数学是一个整体，思维是一个系统。课堂教学应注重整体性设计，提

升学生的系统思维水平。"看似简单”的课，绝不是独立的，它一定是后续深入学习的起点。

在本节课的概念建构时，引导学生为平方根的命名进行解读，引发学生思考，为后续学习立

方根的命名作铺垫。小结环节采用类比学习，为后续概念课的学习提供范式，整体性的学习，

有助于为学生建立前后一致、逻辑连贯的数学认知建构.

3.立意深远，关注学生的发展

本课的核心目标是育人。从情境中抽象出数学问题，让学生经历情境数学化的过程；从

情境中建立方程模型，让学生感受数学模型的魅力；从探究概念的过程中，挖掘出背后隐藏

的“生长点”和“延伸点”，提升了学生的思维力。本节课基于情境，始终围绕着发现问题、

提出问题、分析问题和解决问题的过程展开，不仅培养了学生的创新意识，还提高了学生的

综合应用能力。

从平方根的概念、性质到应用可以看出，教材编写遵循“三会”的过程。学生建构新知

的过程也遵循“三会”的过程，学生解决问题的过程也遵循“三会”的过程。因此，教师在

教学设计时，应依据“观察一思考一表达”的基本流程和主要环节，为学生设计活动，注重

培养学生的思维品质。将尚单的课上出满满的数学味道，有效实现过程与结果的有机统一。

第二章实数

2平方根与立方根（第3课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第二节的第3课时。立方根

是数与式中重要的知识点之一，立方根的计算有着广泛的应用，几何体的计算经常涉及开立

方。学习立方根，学生可以更加深入地了解无理数，为后面学习实数奠定基础。

以求小立方块的棱长问题为情境，引导学生观察其空间结构，引出立方根的概念。通过

对立方根与平方根的类比，探索两者之间的联系和区别。因此，除了具体的知识技能（如知

道一个数的立方根的意义，会用根号表示一个数的立方根，掌握立方根的运算等）学习以外,

还要引导学生尝试运用类比等数学方法，并在过程中不断发展学生的空间观念。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生已经学习了平方根，并较为熟练地掌握了平方根的概念和性

质，了解了平方运算与开平方互为逆运算，学会了求一个非负数的平方根和算术平方根的计

算方法。学生在七年级上册己经学过数的立方的计算，并通过类比平方根的学习，能够更好

地进行立方根的探究。

学生的活动经验基础：学生已经经历了平方根知识的学习探索，体验了用根号表示非负

数的算术平方根和平方根，运用类比的思想，可以为立方根的探究提供一定的学习路径。

三、教学目标

1.了解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根；能用立方运算求某些数的立方根,

体会一个数的立方根的唯一性；理解立方根与平方根的区别和联系。

2.经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根问题的•些基本方法和策略，培

养逆向思维能力和分类讨论的意识。

3.利用类比思想，学习立方根。在开立方与立方互为逆运算的探究过程中，渗透从特殊

到一般的思想，并培养运用逆向思维解决问题的能力。

教学重点：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。

教学难点：能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为逆运算。

四、教学过程设计

【第一环节】情境引入，提出问题

1.活动内容

图1是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体

积为216cm3,那么每个小立方块的棱长是多少？

提问：这个几何体是由几个小立方块搭成的？每个小立方块的体积

是多少？怎样求出小立方块的棱长呢？

让我们通过解决这些问题来学习新知识。

2.活动目的

通过问题情境引入，让学生感受学习新知的必要性，激发学生的求知欲望。

3.注意事项

设置上述几个问题，引导学生思考：这个几何体的边长可能是多少？引导学生通过猜想

得到几何体棱长为6cm,进而得到小立方块棱长为2cm。另外也可以发现几何体由27个小

立方块组成，每个小立方块的体积是8cm31从而得到小立方块棱长是2cm。

【第二环节】理解概念，汲取新知

1.活动内容

提问：什么数的立方等于8?

追问：你能类比平方根的定义给由立方根的定义吗？

概念归纳：

一般地，如果一个数X的立方等于。，即那么这个数X就叫作。的立方根(也叫

O

作三次方根)。如2是8的立方根，_2是-徜的立方根，0是0的立方根。

327

2.活动目的

通过情境问题的解决，引出立方根的概念，为后面研究立方根的性质做好铺垫。

【第三环节】初步探究

1.活动内容

尝试-思考

怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？

(1)()3=8；(2)()3=0；(3)()3=-27O

(2)一个数的平方根nJ能有两个，一个数的立方根口」能有儿个呢？

(3)正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？

2.活动目的

通过具体的计算练习，让学生进一步了解求一个数的立方与求一个数的立方根互为逆运

算，感受一个数的立方根的唯一性，算式中对a的取值分别选为正数、负数、0。这样的设

计可以帮助学生渗透分类讨论的思想方法。

设计问题申是为了方便平方根与立方根的对比，帮助学生弄清两者的区别和联系。

3.注意事项

在上面的基础上明晰卜列内容，对所学知识进行梳理。

(1)每个数a都有一个立方根，记作“痣”，读作“三次根号。例如：当r=7

时，x是7的立方根，记作产阴。与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“土”

符号，但根指数3不能省略。

(2)正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数。

(3)求一个数“的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数。开立方与立方互为逆

运算。

【第四环节】尝试反馈，巩固练习

1.活动内容

例1求下列各数的立方根：

Q

（1）-27；（2）—；（3）0.216；（4）-5。

解：（1）因为（-3>=-27,所以-27的立方根是-3,即正方=-3；

（2）因为'=工所以展的立方根是巳即偿W；

[5）125°5'1255

（3）因为（0.6尸=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即疯而=0.6;

（4）-5的立方根是行。

2.活动目的

本例让学生根据定义求立方根，巩固对立方根概念的理解。通过按照立方根的定义表述

解题过程，促进学生理解立方根的概念。

3.注意事项

教师可以先行示范，规范书写要求，学生在熟练以后可以简化写法。

【第五环节】思考交流，深入探究

1.活动内容

思考-交流

（1）在例1中，一些数的立方根的结果没有“旷”了，这些数有什么特点？

（2）在例1中，产万二一3,也就是#（-3>=—3。一般地，行=〃成立吗？

（3）（必）3=。成立吗？与同伴进行交流。

例2求下列各式的值：

（1）O；（2）V0.064;（3）（4）（向。

解：（1）V^_\（_2）3__2；（2）Vo.064-^0^=0.4；

巩固练习

（1）求下列各式的值：

▼0.008：^^64：-陀：廊（幅

（2）一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个正方体的

棱长是多少？

2.活动目的

“思考•交流”环节进一步讨论如何对各式进行化简，求立方根。例2则根据“思考•交

流”的所学内容求立方根，进一步巩固立方根的求法。

3.注意事项

学生通过练习掌握立方根的概念和计算方法，并通过对计算结果的分析得出立方根的性

质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，引导学生观察被开方数、根指数及运

算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示

学生发现的规律，若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论。

【第六环节】课堂小结，反思归纳

1.活动内容

通过本节课的学习你学到了哪些内容？

归纳、总结学生的【可答，得出下列内容：

（1）了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数

的立方根；

（2）在学习中应注意以下5点：

①符号布中根指数“3”不能省略；

②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、攸数都有一个立方根，即一个数的立

方根是唯一的；

③平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；

负数没有平方根，但却有一个立方根；

④灵活运用公式：（0）3二小•勿之々，：

⑤立方与开立方互为逆运算。可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不

是另一个数的立方根。

2.活动目的

引导学生自己总结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化。

3.注意事项

通过小结，对所学知识进行了梳理，学生进一步巩固了立方根的概念和求解方法，加深

了类比等学习方法，有助于学生理解、掌握数学的基本知识和基本技能，形成数学基本思想,

积累数学活动经验。

如有时间，学生学有余力，还可以安排学生探究下列问题：

求下列各式中的X。

(1)x3-64=o；(2)底+27=0。

【第七环节】布置作业

1.活动内容

基础作业：

1.求下列各数的立方根：

18

0.001,-1,一),8000,亍-5⑵

2.求下列各式的值：

(1)](-3)3；(2)(V125)3;(3)一匹。

3.