2024北师大版八年级数学上册《平行线的证明》每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

7.3平行线的证明（第1课时）教学设计

一、内容与内容解析

（一）教学内容

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章“证明”的第3节。内容包括：平行线的判定

方法，包括”同位角相等，两直线平行“、”内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行，

（二）教学内容解析

本节课是平面几何逻辑推理的入门课。它从“直观感知“过渡到“逻辑论证”，要求学生不仅能识别

三线八角，还要能用已知公理或定理证明新的判定方法。这是培养学生推理能力和数学思维的关键

环节。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：

【教学重点】了解并掌握平行线的判定公理和定理。

二、目标与目标解析

（一）教学目标

1.掌握平行线的三种判定方法，并能运用它们进行简单的推理和计算。能将文字语言、图形

语言、符号语言进行互译。

2.通过观察、操作、思考、推理等活动，经历平行线判定方法的探索和证明过程。初步体会”

转化”的数学思想，如将内错角、同旁内角问题转化为同位角问题。

（二）教学目标解析

1.初步了解证明的基本步骤和书写格式.

2会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，

两直线平行“，并能简单应用这些结论.

3.在证明过程中，培养初步的演绎推理能力.

三、学生学情分析

已有基础：学生在七年级已经学习了平行线的定义、性质，并通过观察和动手操作知道了”同位

角相等，两直线平行”。他们具备了一定的图形识别能力和初步的归纳能力。

学习难点：从依赖直观到依赖逻辑推理的转变是最大难点。学生可能会混淆判定和性质，在证

明过程中不知如何下手，或者推理步骤不完整、理由不充分。

认知特点：八年级学生仍以具体形象思维为主，但抽象逻辑思维能力开始发展。他们渴望通过

自主探究和合作交流来获取知识。

解："1二乙2（已知条件）,

、二乙3（对顶角相等）,

q=乙3（等量代换）.

••.a||b（同位角相等，两直线平行）.

定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简述为：内错角相等，两直线平行.

应用格式:

vz.1=乙2（已知）,

••.a||b（内错角相等，两直线平行）.

试证明:

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

如图，和N2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且N1与22互补.求证：a||b.

证明:与42互补（已知）,

.•21+42=180。（互补的定义）.

••.4=180。-乙2（等式的性质）.

又•23+42=180°（平角的定义）,

•♦•比180。々2（等式的性质）.

%1=/3（等量代换）.

••.a||b（同位角相等，两直线平行）.

教师提醒：还有其他证法吗？

定理两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简述为：同旁内角互补，两直线平行.

应用格式:

•21IZ.2=180。（已知）,

••.a||b（同旁内角互补，两直线平行）.

（链接针对练习）

2.画平行线

（1）我们可以用如图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗?

一、放

二、靠

三、推

四、画

内错角相等，两直线平行

（2）在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明，与同伴交流各自的折纸方法与证

明过程.

【例1】如图，直线小分别与直线/交于点4,B,把一块含30。角的三角尺按如图所示的位

置摆室放，42=105。.当41：的度数是________时，/1II/2.

【解析】如图.•.24=30。,42=105。,

.•.Z3=18O0-Z2-Z.4=18O°-105°-30°=45°,

・•・当41=23=45。时,/|||/2.

【解】45°

【例2】已知：如图，在AA8C中，COL48于点D,E是4C上一点且41+△2=90。.求证：DEII8C.

【解析】依据同角的余角相等，即可得到乙上OC=42,即可得出。月|8c

【解】如图.,••COL4B（已知），

•Z1+43=90°（垂直的定义）.

•.21+42=90°（已知）,

.•.z3=z2（同角的余角相等）,

.••OEIIBC（内错角相等,两直线平行）.

【例3】如图所示，已知乙。S=130。，OF平分乙EOD,乙/0。=25。.求证：ABWCD.

【解析】根据角平分线的定义先求出土£。。的度数，再利用同旁内角互补，两直线平行即可证

明ABWCD.

【解】•••0/平分NEO。，LFOD=25°（已知），

：.^EOD=50°（角平分线的定义）.

•2OEB=130。（已知），

•ZEOO+^O仍=180°,

.'.ABWCD（同旁内角互补，两直线平行）.

7TTT>

【例4】如图所示，已知乙2是直角，再测量出N1或43的度数就可以知道两条铁轨是否平行.

（1）若量得乙3=90。，结合乙2情况，说明理由.

（2）若量得"=90。，结合42情况，说明理由.

【解析】在两条铁轨与左边的枕木构成的“三线八角”中，ZI和42是同位角，42和N3是同旁内

角，结合平行线的判定定理进行说明即可.

【解】（1）•.•量得乙3=90。，而N2=90。，

.-.Z24-Z3=I8O0.

根据同旁内角互补，得两条铁轨平行.

（2）•••量得乙1=90。，而乙2=90。，.Z1=，2.

根据同位角相等，得两条铁轨平行.

（3）（三）课堂总结

1、本节课研究了什么问题？

2、本节课经历/怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？

3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？

【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的

理解。

（四）布置作业、巩固提高

1.如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断ADIIBC的是（

A.Z.1=Z3B.Z.2=Z4

C.zC=zCBED.ZC+ZABC=180。

2.如图，下列条件中，能判断ABIICD的是(

A.Z.FEC=Z.EFB

B.ZBFC+ZC=I8O°

C.4BEFzEFC

D.zC=zBFD

CFI)

3.如图，能判定a||b的条件是（）

A.Z1=Z5B.42+乙4=180°

C.Z3=Z4D.z2+zl=180°

4.如图，直线a,b被直线c所截，下列条件能使allb的是（）

A.z.l=z6B.z2=z6

C.z.1=z.3D.z.5=z.7

5.如图所示，推理填空：

（1）VZI=（已知），

ACHED（同位角相等.两直线平行）.

（2）•••42=（已知），

ABIIFD（内错角相等，两直线平行）.

（3）vZ2+=180°（已知），

・••ACIIED（同旁内角互补，两直线平行）.

7.3平行线的证明（第2课时）教学设计

一、内容与内容解析

（一）教学内容

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章“证明”的第3节。内容包括：两直线平行,

同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

（二）教学内容解析

地位与作用：本节是在学生学习了"命题、定理与证明”以及“平行线的判定”的基础上，对平行线

性质的进一步研究。它是平面几何的基础知识，也是后续学习三角形、四边形等知识的重要工具。

核心素养：通过对平行线性质的探索和证明，培养学生的逻辑推理能力、几何直观能力和数学

语言表达能力。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：

【教学重点】平行线的三个性质定理及其应用。

二、目标与目标解析

（一）教学目标

1.能说出平行线的三条性质，并会用符号语言表示。

2.能运用平行线的性质法行简单的推理和计算。

3.经历观察、操作、猜想、推理、交流等活动，探索平行线的性质。

4.通过对比，理解平行线的性质与判定的区别和联系。

5.在探索和合作交流的过程中，体验学习数学的乐趣，培养主动探究的精神。

（二）教学目标解析

达成目标1的标志是：学生能独立复述性质内容，并在具体图形中正确写出对应的角的关系。

达成目标2的标志是：学生能利用平行线的性质，结合对顶角、邻补角等知识，解决求角的度

数或证明角相等的问题。

达成目标3的标志是：学生能通过测量、剪拼等方式提出猜想，并尝试用“反证法“或利用”判定

定理”进行证明。

达成目标4的标志是：学生能在具体问题中，明确何时用性质（由平行推角相等/互补），何时

用判定（由角相等/互补推平行）.

三、学生学情分析

已有基础

学生已经学习了平行线的定义、画法以及三种判定方法。

学生初步具备了一定的观察、操作和询单推理能力。

学生对“三线八角”的识别有了一定的基础。

可能困难

容易混淆平行线的性质和判定，特别是在复杂图形中。

从“判定”的正向思维转向"性质”的逆向思维存在障碍。

用严谨的数学语言进行推理和证明，对学生来说仍是难点。

辅助线的添加是后续学习的难*,本节课虽不直接要求，但需为其铺垫。

基于以上分析，确定教学难点如下：

【教学难点】平行线的性质与判定的区别，以及综合运用它们进行逻辑推理。

四、教学策略分析

I.教学方法

启发探究式：通过设置问题链，引导学生自主探索、合作交流。

对比教学法：将性质和判定进行对比，帮助学生辨析，加深理解。

讲练结合法：教师精讲点拨，学生多练巩固，及时反馈。

2.教学手段

利用多媒体课件展示图形、动画，增强直观性。

引导学生使用量角器、直尺等工具进行动手操作。

3.学法指导

鼓励学生动手实践、自主探索、合作交流。

指导学生进行对比学习，梳理知识结构。

培养学生规范的解题步骤和书写格式。

五、教学过程分析

（一）复习引入

问题I:如何判断两条直线平行？（引导学生回顾判定定理）

问题2：反过来，如果知道两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系呢？

分析：通过复习判定，创设“逆向思考”的情境，自然引入本节课主题，激发学生的探究欲望。

设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。

（二）主动参与、感悟新知

我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们。

定理两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。

简述为：两直线平行，同位角相等。

已知：如图，直线AB//CD/1和42是宣线AB,CD被直线EF截出的同位角。

求证:z.l=z2o

*证明：假设乙1¥匕2,那么我们可以过点M作直线GH,使乙EMH=42,如图7-10所

7J\o

根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH//CD.

又因为AB〃CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行。

这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相

矛盾。

这说明4的假设不成立，所以4二乙2。如果N1wN2,

AB与CD的位置

利用上面的定理，我们可以证明：

关系会怎样呢？

定理两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。

简述为：两直线平行，内错角相等。

已知：如图7-11,直线h川2/I和乙2是直线h,12被直线1截出的内错角。

求证：z.l=z2o

分析：由条件h//12可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与

有什么联系?2

3

证明：勺1/2（已知）,

.Z1=A（两直线平行，同位角相等）。

又：乙2二乙3（对顶角相等），

••"=42（等量代换）。

类似地，还可以证明：

定理两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简述为：两直线平行，同旁内角互补。

例已知：如图7-12,b//a,c//a,z.1,Z.2,Z3是直线a,b,c被直线d截出的同位

角。

分析：由条件b//a,c//a可以得到哪些等量关系?为了证明b//c需要怎样的

等量关系？

.•・42=21（两直线平行，同位角相等）。

:c//a（已知）,

./3=/1（两直线平行，同位角相等）。

.••/2=/3（等量代换）。

:b〃c（同位角相等，两直线平行）。

一般地，我们有如下定理：

定理平行于同一条直线的两条直线平行。

回顾•反思

（1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节?

（2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？

【例I】如图①所示的是大众汽车的图标，图②反映其中直线间的关系，并且

与乙B相等吗？请证明.

图①

【解析】首先判断两个角是否相等，再根据平行线的性质说明理由即可.

【解】乙4与乙3相等.

证明：•••ACII8。，AEIIB-（巳知），

二么=乙。0"，乙DOE=cB（两直线平行，同位角相等），

乙4=28（等量代换），

即乙4与乙B相等.

【例2】如图，ABHCD,乙B=〃>.求证:ADWBC.

【解析】根据平行线的性质得出48+40=180。，求出/。+，。=180。，根据平行线的判定推出

即可.

【解】如图，连接BD（狗造一组内错角）.

-ABWCD（已次。），

.•21=24（两直线平行，内错角相等）.

•••48=乙。（已次口），

二4B一4I=4D一44（等式的性质），

即乙2=乙3,

••.AQII8C（内错角相等，两直线平行）.

〃

【例3】如图，直线ABIICDAE平分4cA8交CZ）于点E.若乙。=50。,贝U乙4EQ的度数