2025-2026学年高一数学上学期第三次月考数学卷（人教A版）原卷及解析

2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，港答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：人教A版2019（必修1第一章到第五章诱导公式）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知哥函数./■（》）=（〃—3）/在（0,+巧上单调递减，则（）

A.-2B.1C.2D.-2或2

2.设x,ywR,贝『’2”>4户是“1宜2%—1。82丁>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

、.sina-2cos（z2...

3.已知一：--------=-»则tana=（z）

sina+cosa3

A.-8B.-4C.4D.8

4.已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（W勿），其中则下列

结论正确的是（）

A.Sin^=—B.cos^=—C.tan<9=lD.sin<9=2cos6>

552

5.若函数f（x）=l+*是奇函数，则m的值为（）

e-\

A.0B.C.1D.2

6.已知定义在R上的奇函数满足/（2T）W（X）,当0<x<l时,〃力=2>则〃2+log22024）=（）

7.已知函数〃x)=2'+x-l,^(x)=log2x+x-l,〃(x)=P+x—l的零点分别为。，/7,c,则4,人，c的

大小顺序为()

A.a>b>cB,b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

8.已知正实数满足：ae(l-2=\,cb+\nb=\,则£的值是()

b

A.\[eB.2C.eD.3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知sina=-,，则()

2

A.sin(兀+a)=gB.sin(n-a)=C.7171

sin—+acosa——

2)4°I22

2—f

10.已知函数〃x)=In尸，则下列说法正确的是)

A./(x)的定义域为(一2,2)B.f(x)为奇函数

C./(x)在定义域上是减函数D./(X)的值域为(0,+8)

一一l,0<x<1

x什

II.设函数=,..若%<X2，且/&)=/&)，则()

I——，工>1

X

A.0<x.<—B.2x,x,=x+xC.x/2>lD.x+x>2

'2}2t2

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

、2

12.计算：8°+log49xlog,2=-------

13.定义在R上的奇函数/(x)在［0,y)上递增，且/⑴=2,则满足一2W/("W0的x的取值范围

是.

14.如图，平行于y轴的直线分别与函数〃x)=log2X及g(x)=bg2X+2的图象交于点B,C,点4(〃?,〃)为

函数g(x)图象上一点.若VA8C是以AC为斜边的等腰直角三角形，则〃?=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

sina+cosa

15.（13分）己知tana=2.⑴求的值;(2)求的值.

sina-cosa

16.(15分)某市轨道交通51线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万.经市

场调研测算，S1线列车载客量P⑺与发车间隔/(单位：分钟)有关.当4K/<16时，载客量为H16-1)2+5。/

(A为常数)，且发车间隔，=4时的载客量为344人；当16W/V20时歹U车为满载状态，载客量为80()人.

(1)为响应低碳出行，要求载客量达到满载的一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？

(2)已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时，S1线列

车在运营期间年分钟的收益最大，并求出最大值.

a-V

17.(15分)已知定义域为R的函数/"卜黄宗是奇函数.

(1)求〃，b的值；(2)判断了(X)的单调性，并作简要说明，无需证明；

⑶若存在，句0,4］,使/卜+/)+/(4-2/)<0成立，求实数&的取值范围.

18.(17分)已知函数+〃(/-2x)+a(其中a,b是常数).

(1)当〃=0时，在x«0,2)上恒成立，求实数〃的取值范围；

(2)证明：函数/(“)的图象是一个轴对称图形；

⑶若对任意的a«0，l)，在。2)上有零点，求实数力的取值范围.

19.(17分)三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数)，=­2+，(八>。4>0)的图象恰如其形.牛

顿最早研究了函数〃”=/+2的图象，所以也称“X)的图象为牛顿三叉戟曲线.

⑴判断了W在(i,y)上的单调性，并用定义证明；

(2)已知两个不相等的正数〃?，〃满足："⑼=/(〃)，求证：〃〃7<1；

(3)是否存在实数m〃，使得/⑴在,力］上的值域是［343可？若存在，求出所有的值；若不存在，说

明理由.

2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷

数学逢解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，港答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：人教A版2019(必修1第一章到第五章诱导公式)

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知哥函数./'("=(〃-3)/在(0,+巧上单调递减，则()

A.-2B.1C.2D.-2或2

【答案】A

【详解】=/(力=(〃?2-3)/是充函数，

Ain2-3=1».•.〃?=±2,

当加=2时-，f(x)=x2,此时/(x)在(0,田)上单调递增，舍去；

当〃?=-2时，/(x)=x-2,此时力外在(0,+8)上单调递减，满足题意；

二.相=-2.故选:A.

2.设则“2*>4>"是“log2X-log2y>1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】当x=i，y=-i时•，2,>4-1，但Eg2y无意义，故不满足充分性；

当bgzX-log2y>1时，则log2X>log2y+l=log2(2y),所以X>2y,

则2、>22>，即2、>4'，满足必要性,

所以“2*>4户是“1。821-1。82)>1"的必要不充分条件，故选：B

c,sina-2cosa2.

3.己知一--------=-,则ntana=(z)

sina+cosa3

A.-8B.-4C.4D.8

【答案】D

sina-2cosa

s、e、，sina-2cosatana-22....一

【佯解】因为二---------=艺晨=-----7=；，解得tana=8.故选：D.

sina+cosasina+cos«tana+13

cosa

4.已知角。的顶点与原点重合，始边与工轴的非负半轴重合，它的终边过点P（a勿），其中。工0,则下列

结论正确的是（）

D

A.Sin<9=—B.Cos<9=—C.tan"[-sin6>=2cos6>

552

【答案】D

【详解】己知角e的终边经过点PQ%）（。工0）,

sin。=-=2S_：=迈小夕=-f-------=—,um<9=—=2

当〃>0时,

J(2a/+/5J(2a『+a25a

sing=/2a==-^^-,cos3=,a==--,tan^=-=2

当〃<()时,故选：D.

M+a?5J(2/+/5a

5.若函数f（x）=1+±是奇函数，则m的值为（）

e-\

A.0B.C.1D.2

【答案】D

【详解】试题分析：/（-x）=l+—=吗+1，因为/（X）为奇函数，所以“T）=一〃X），即

e-11-e

^!£1+1,2/（，T）="即m=2,故选D.

\-exexex-\

6.已知定义在R上的奇函数f（x）满足/（2-x）^（力，当0<x<l时，/（x）=2"，则〃2+log22024）=（）

1253253

A.B.-2()24C.D.

2024256128

【答案】D

【详解】由“力是奇函数，・・・〃2-力=一〃工一2）,

又"2")”)，・•・〃")=f(x2),所以/(x)周期为4.

/(2+log22024)=/(2+log,2024-4x3)

/2024)_2024_253

=/(log22024-10)=°g21024J-1024"Tis"

7.已知函数/(工)=2'+工一1,^(x)=log2x+x-l,介(x)=V+x-l的零点分别为。，b,c,贝Ja,b,。的

大小顺序为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【详解】易知三个函数均为增函数，又"0)=0,g⑴=0,所以。=0,。=1；

/?(0)=-1<0,A(l)=1>0,所以Occvl,所以avc〈力.故选:B

8.已知正实数4,〃满足：a.e"-2=i,M+ln〃=l,则£的值是()

h

A.五B.2C.eD.3

【详解】由ae-2=l两边取对数可得：ln«+a-2-0,即加々+〃-2,

由助+ln/>=l,得e〃+ln〃+1=2,即助+如助=2,

构造函数/(X)=1ILV+x(x>0),由\na+a=2和M+Inc/?=2

等价于f(a)=Ina+a=2和/(e〃)=lneZ?+eb=2,即f(a)=f(eb),

由于y=lnx在(0,+x)上单调递增，丁="在(0,+8)上单调递增，

则f(x)=m+x在(0,+8)上单调递增，由f(a)=/(助)，得。=加所以f=e.故选：C

b

二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知sina=-1,则()

2

A.sin(7t+a)=gB.sin(“a)=；C.sin(]+a卜曰D.cos^a-^=-i

【答案】AD

【详解】由诱导公式知，sin(兀+a)=-sino=g,故A正确；

sin(7r-a)=sina=-^,故B错误；

sin[]+a)=cosa=±J1-sin，a=~~~，故C错误；

cos(a-5)=sina=-g,故D正确.故选：AD

10.已知函数/(x)=ln尸，则下列说法正确的是()

A./(力的定义域为(-2,2)B./("为奇函数

C.J'(x)在定义域上是减函数D.7")的值域为(0,+8)

【答案】ABC

【详解】因为〃力=111台,

4~1人

对干A,由尸〉0,解得一2vxv2,即〃力的定义域为(-2,2),故A正确;

4I人

对于B,/(-x)=ln|^=-ln|^=-/(A),即为奇函数，故B正确;

2—x2—x

,，/、,2-x.(x+2-4].(,4'

对于C,〃x)=ln^—=ln------=ln-1+——,

2+x\A+2)(x+2J

而尸-"一三在(々2)上单调递减，丁=1。%在其定义域上单调递增，

根据复合函数的单调性可知了(同在定义域上是减函数，故C正确；

对于D,因为/(1)=始|~^=皿1=_1113<0,

所以/("的值域不可能为(0，+")，故D错误.故选：ABC.

II.设函数=.若且/。)=/(占)，则()

\--X>\

Xy

XX

A.0<X1<；B.2X]X2=1+2C.XIX2>1D.xt+x2>2

【答案】BCD

【详解】作出函数/(x)的图象，如图,

由图可知，。<再<1<马,

1I11c

由f(X1)=/(/)知,一-1=1"■一，即一+—=2,

X4Mx2

A-,_11

即2Kx2=内+工2，得*一2七-1-2__!_>5，故A错误，B正确；

X?

由2玉工2=%+工2，得中2=与玉>石无，所以XR>1故C正确，

所以内+七=2式内>2故D正确，.故选：BCD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.计算：g3.1.|og49xlog32=--------

【答案】5

【详解】依题意可得.+Iog49xlog32=(2)*+Mx譬=22+1=5.故答案为：5

lg4Ig3

13.定义在R上的奇函数在［。，y)上递增，且/⑴=2,则满足-2工/(同工0的x的取值范围

是.

【答案】［7,0］

【详解】因为定义在R上的奇函数/("在［0,+8)上递增，

所以八刈任R上单调递增，

因为/.⑴=2,所以f(-l)=-/(l)=-2,X/(0)=0,

则-2</(x)<0=/(-l)«/(x)"(0)o-l<x«0,

即x的取值范围是

故答案为：

14.如图，平行于y轴的直线分别与函数/(力=隆2工及g(x)=log/+2的图象交于点B,C,点A(n平为

函数g(x)图象上一点.若V4”t是以AC为斜边的等腰直角三角形，则〃?=.

【详解】由轴，易得BC=2,又VA8C是以4c为斜边的等腰直角三角形,

所以|AB|=2,A(g〃),得8(〃?+2川,

显然人在函数g(x)=log2%+2图象上，而B在函数/(司二唾2工图象上,

n—log/?+2m=2n-222

则n=log(m+2)>得解得加=争故答案为：!

2m+2=2?

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(it)(n\

sintz+costzcos—ct+cos—I-ctI

15.(13分)已知tana=2.(l)求吧”上空的值;(2)求(4)(4J的值.

sina-cosar-77

sin(兀+a)

【答案】(1)3；(2)-巫

2

【详解】⑴M-jgl=3;

sina-cosatana-1

（兀、fn

（2）cos（—4ctJ+cos14—+ctJjc?ocossq—ccoosscat：叵rz：叵rz

sin（兀+a）-sin<7tana2

16.（15分）某市轨道交通SI线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万.经

市场调研测算，S1线列车载客量〃（，）与发车间隔，（单位：分钟）有关.当4q<16时，载客量为

4（16—）2+50,（々为常数），且发车间隔，=4时的载客量为344人；当16</<20时列车为满载状态，载

客量为800人.

（1）为响应低碳出行，要求载客量达到满载的一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？

（2）已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时，S1线列

车在运营期间年分田的收益最大，并求出最大值.

【答案】⑴列车发车间隔至少为6分钟.（2）65元

【详解】（1）由题设有4（16-2）X0x4=344,故化=1,故〃⑴二产一）+50f,44f<16,

''（800,16<z<20

若载客最为满载最的一半即400,贝且（167）2+50栏400,

故此6,所以列车发车间隔至少为6分钟.

2(16-炉+2、5()/-560

,4<r<16

（2）设S1线列车在运营期间每分钟的收益为s,贝心=

2x800-560

,16</<20

42

2t——+36,4</<16

整理得到:

幽』6M2。

当4<r<16时，sv32—3+36=65,

1040

当16</<20时，5<—=65,当f=16时等号成立，

16

故当发车间隔为16分钟时，S1线列车在运营期间每分钟的收益最大且最大值65元.

17.（15分）已知定义域为R的函数/（力=皆/是奇函数.

⑴求。，力的值；（2）判断了（x）的单调性，并作简要说明，无需证明;

⑶若存在，40,4],使/（八/）+/（4-2/）<0成立，求实数攵的取值范围.

【答案】（l）a=l,b=l;（2）/（»在R上是减函数,答案见解析；⑶（Y,+8）

【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，

所以/⑼=0,即W=0,所以a=L

又因为〃T）=-“X），所以二=一怎，将〃小代入，整理得言W=W

b+—

2

当H/0时，有"2'+1=力+2,因仅一1）（2'—1）=0,

又因为当文工0时，有2、一100,所以。—1=0,所以匕=1,

1_7r]-7~x?r—1

故f（x）='j"——,满足=——=-"一—=~f（x）»符合题意，所以a=l,b=\.

（2）由（1）知：函数〃6=工£=：—（1+2,）+2：=_]+/_,

八，1+2、1+211+2"

2

因为y=1+2'为R上的单调增函数，且1+2、＞0,故yuT4v为R上的单调减函数

则函数/（力在R上是减函数.

（3）因为存在，40,4],使/伏+/）+/（4/-2『）＜0成立，

又因为函数“X）是定义在R上的奇函数，

所以不等式可转化为/（A+/）＜-f（4-2/2）=/（2/2_4/）,又因为函数/（“在R上是减函数,

所以A+-＞2/一分，所以“＞/一4/,令g（f）=/_4，=（f-2＞-4,tG[0,4]

由题意可得QgQL，又因为应心尸9⑵二-4,所以攵＞-4,即左的取值范围为（-4,+8）.

18.（17分）已知函数f（x）」+白+3（/-2x）+a（其中a,b是常数）.

⑴当〃=0时，/（x"0在x«（）,2）上恒成立，求实数〃的取值范围；

（2）证明：函数/（X）的图象是一个轴对称图形；

（3）若对任意的/（力在（0,2）上有零点，求实数b的取值范围.

【答案】（1）〃之一2；（2）证明见解析；（3）〃N3

1122

【详解】（I）解：当〃=（）时，/（^）=-+--+〃=2c~~r^—r+a，

x2-x-x+2x-（x-I）+1

所以当x=l时，篙（x）=2+aN0,.•.。之-2;

（2）定义域为{x|xw。，且“工2},因为/（2r）=y^+i_（；_（）+.（27）（27-2）+〃,

=^—+-+bx（x-2）+a=f（x）,「./（x）关于直线x=l对称；

2—xx

（3）/（x）=—;----+〃（工2-2x）+4,

"I"

oo+

令，=-2+2不，则O<YI,由/（x）=（）得:—历+。=（）,...〃二第

因为一二<1J,所以当！=1时，％,=2+%即/*2+〃

4tt

若对任意的/（%）在（0,2）上有零点,则623.

19.（17分）三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数），二4/+巨（4>0,8>0）的图象恰如其形.牛

.X

顿最早研究了函数〃x）=f+2的图象，所以也称/‘（X）的图象为牛顿三义戟曲线.