四川省泸州市纳溪中学教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（含答案）

泸州市纳溪中学教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷一、选择题：每小题3分，共36分。1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+3y＝2x2﹣2 C．3（x+1）2＝2（x+1） D．2x2+3x＝2x2﹣22．下列标志中，是中心对称图形的图形有（）A．4 B．3 C．2 D．13．下列一元二次方程有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2+2x+2＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．x2+2＝04．要得到抛物线y＝（x﹣1）2+3，可以将y＝x2（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度5．一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝26．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝257．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2019﹣2a+2b的值等于（）A．2015 B．2017 C．2019 D．20228．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70° B．80° C．60° D．50°9．抛物线的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）10．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜111．如图所示，函数y＝ax2（a≠0）和y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（）A． B． C． D．12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴交点为（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．a﹣b+c＝0 B．关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根 C．abc＞0 D．当y＞0时，﹣1＜x＜3二、填空题：（每小题3分，共12分）13．已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是．14．若是一元二次方程，则m的值是．15．若点A（a，4）与点B（﹣3，b）关于原点成中心对称，则a+b＝．16．如图，抛物线的对称轴为直线x＝2，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为（6，0），在对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小的P的坐标为．三、解答题：（共13分）17．（6分）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x+1）2＝2（x+1）；（2）3x2+7x+2＝0．18．（7分）某工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的增长率都相同，三年后产量达到288件，求增长率．四、解答题：（共24分）19．（8分）已知x1，x2是方程2x2+2kx+k﹣1＝0的两个根，且（x1+1）（x2+1）＝4．（1）求k的值；（2）求的值．20．（8分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的大小．21．（8分）某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价应定为多少元？五、解答题：（共35分）22．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）当m为何值时，该函数的图象经过原点．（3）若函数图象的顶点在第二象限，求m的取值范围．23．（8分）如图，已知点A（﹣2，﹣1）、B（﹣5，﹣5）、C（﹣2，﹣3），点P（﹣6，0）．（1）将△ABC绕点P逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为．24．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？25．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．泸州市纳溪中学教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案CCACDCABBCD题号12答案C二、填空题：（每小题3分，共12分）13．已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3．14．若是一元二次方程，则m的值是1．15．若点A（a，4）与点B（﹣3，b）关于原点成中心对称，则a+b＝﹣1．16．如图，抛物线的对称轴为直线x＝2，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为（6，0），在对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小的P的坐标为（2，﹣2）．三、解答题：（共13分）17．（6分）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x+1）2＝2（x+1）；（2）3x2+7x+2＝0．【解答】解：（1）原方程变形（x+1）2﹣2（x+1）＝0，即（x+1）（x﹣1）＝0．∴x+1＝0或x﹣1＝0．∴．（2）∵3x2+7x+2＝0，∴（3x+1）（x+2）＝0，∴．18．（7分）某工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的增长率都相同，三年后产量达到288件，求增长率．【解答】解：设该产品每年的平均增长率为x，依题意得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：该产品每年的增长率为20%．四、解答题：（共24分）19．（8分）已知x1，x2是方程2x2+2kx+k﹣1＝0的两个根，且（x1+1）（x2+1）＝4．（1）求k的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵x1，x2是方程2x2+2kx+k﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣k，x1x2＝，∵（x1+1）（x2+1）＝4，∴x1x2+（x1+x2）+1＝4，即+（﹣k）+1＝4，解得：k＝﹣7，∴k的值为﹣7；（2）原式＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣k）2﹣4×＝k2﹣2k+2，当k＝﹣7时，原式＝（﹣7）2﹣2×（﹣7）+2＝65，∴（x1﹣x2）2＝65．20．（8分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的大小．【解答】解：（1）由旋转的性质知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△P′AP是等边三角形，∴PP′＝6；（2）∵P′B＝PC＝10，PB＝8，∴P′B2＝P′P2+PB2，∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+60°＝150°．21．（8分）某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价应定为多少元？【解答】解：（1）由题意，得每个篮球所获得的利润是（x﹣40）元，篮球每月的销售量是[500﹣10（x﹣50）]个，设销售这批篮球的利润为y元，由题意，得：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）由题意可得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，x2﹣140x+4800＝0，（x﹣60）（x﹣80）＝0，解得x1＝60，x2＝80，答：销售定价为60或80元．五、解答题：（共35分）22．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）当m为何值时，该函数的图象经过原点．（3）若函数图象的顶点在第二象限，求m的取值范围．【解答】（1）证明：∵二次函数的表达式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+1，∴Δ＝b2﹣4ac＝4m2+4（﹣m2+1）＝4＞0，∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）解：把（0，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+1中，得0＝﹣m2+1，解得m＝±1；（3）解：抛物线的对称轴为直线x＝，把x＝m代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+1中，得y＝1，∵函数图象的顶点在第二象限，∴m＜0．23．（8分）如图，已知点A（﹣2，﹣1）、B（﹣5，﹣5）、C（﹣2，﹣3），点P（﹣6，0）．（1）将△ABC绕点P逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为（﹣3，4）；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为（2，1）．【解答】解：如图，（1）△A1B1C1即为所求；点C1的坐标为（﹣3，4）；（2）△A2B2C2即为所求；点A2的坐标为（2，1）．故答案为：（﹣3，4），（2，1）．24．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）x＝∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝或2，当k＝时，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，三角形的三边分别为2、2、3，符合题意；当k＝2时，方程化为x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3，三角形的三边分别为2、3、3，符合题意；∴k的值为或2．25．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a