江西省宜春市宜丰中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（图片版含答案）

二、多选题(每小题6分，共18分)

2025-2026(上)高二第三次月考数学试卷

组题人：9.已知点P(-1,2)到直线l:4x-3y+C=0的距离为1,则C的值可以是()

一、单选题(每小题5分，共40分)A.5B.10C.-5D.15

1.双曲线的渐近线方程为()10.设0为坐标原点，直线y=-√3(x-1)过抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点，且与C交于M,N两

点，1为C的准线，则().

A.y=±4xB.C.D.y=±16x

2.经过点P(0,1),且与直线y=2x-1垂直的直线方程是()A.p=2B.

A.y=2x+1B.C.以MN为直径的圆与1相切D.△OMN为等腰三角形

C.D.11.棱长为2的正方体ABCD-AB₁C₁D₁中，点E为侧面BB₁C₁C内一点(包括边界),则以下说法正确

3.设向量a=(1m,2),b=(0,-1,2),若a1b,则m=()的是()

A.-2B.-1C.1D.4

4.空间直角坐标系0-xyz中，已知两点P(1-2,1),P₂(-2,1,3),则这两点间的距离为()

A.√21B.√22C.3√2D.18

5.已知P为椭圆上的一点，F、F₂是椭圆的两个焦点，∠FPF₂=60°,则△F₁PF₂的面积值

为()

A.BC.D.√3

6.在直三棱柱ABC-AB₁G中，AB⊥BC,BB₁=2√2,AB=BC=2,M,N分别是B₁C,AB的

中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值为()A.若点F为下底面ABCD内一点(包括边界),则EF的最大值为2√2

B.若AE=√5,则C₁E的最小值为2√2-1

C.当点E在棱B₁G上，且,平面BDE截该正方体的外接球所得截面的面积为

D.若点E到直线BB₁的距离是它到直线C₁D₁距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分

三、填空题(每小题5分，共15分)

ABC.D.12.用0,1,2,3这4个数字，可组成个没有重复数字的三位数(用数字作答)

7.已知椭圆C的左、右焦点分别为F,F₂,下顶点为A,直线AF交C于另一点B,△ABF₂的内切13.P是抛物线y²=4x上任意一点，点Q(3,0)是x轴上的定点，则|PQ|的最小值为

圆与BF₂相切于点P、若|BP|=|FF|,则C的离心串为()14.椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个

B.C.D.

A.焦点上.已知椭圆C:,F,F₂为其左、右焦点.M是C上的动点，动直线/为此椭圆C的切

8.已知直线：mx-y-3m+1=0与直线：x+my-3m-1=0相交于点P,线段AB是圆

线，右焦点F₂关于直线I的对称点P(x,y);S=|3x+4y₁-22|,则S的取值范围为___.

C:(x+1²+(v+1²=4的一条动弦，且|AB|=2√3,点D是线段AB的中点，则PD|的取值范围是()

A.[2√2,4√2]B.[2√2-1,4√2+1]

C.D..(2√2-1,4√2+1)

1

四、解答题(77分)

18.(17分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ACFD是菱形.AB⊥平面ACFD,平面DEF⊥平

15.(13分)已知直线4:x+y-3=0与直线l₂:x-3y+1=0相交于点C,以C为圆心的圆过点A(0,1).面ACFD,且△ADF与ADEF都是正三角形.

(1)求圆C的方程：(1)求证：AC⊥BE.

(2)求过点B(4,5)的圆C的切线方程.

(2)若AB=2√3,AC=2,点G在棱EF上，且点C到平面AGB的距离为

(i)求AG:

(ii)求平面AGB与平面AGC夹角的余弦值.

16.(15分)如图，在长方体ABCD-AB₁C₁D₁中，AB=AD=2,AM=2√2,M为棱DD₁的中点.

(1)证明：AM1平面ACD;

(2)求直线BD₁与平面ACD所成角的正弦值.19.(17分)从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的.反射光线

的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人

们广泛应用.如图，已知双曲线的渐近线方程为y=±2√2x.0为坐标原点.

F.F₂分别为左、右焦点，4,A分别为左、右顶点.由其光学性质知.由F₂发出的光线经双曲找C

上一点P。(3,8)反射后，反射光线的反向延长线过点F,连接PF交双曲线于P,

P也是一个反射点，连接PF₂交双曲线于P,则P₂也是一个反射点，再连接PF₁.

交双曲线于P,则P也是一个反射点，..…由各反射点连线得到折线

PP-PP-PP-PP……,设第n个反射点为P,(x₂,y.)(n=0,1,2,3…).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)求直线PP₂的斜率；

17.(15分)已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F,点M(3,m)在抛物线上，且|MF|=5.(3)证明：当n为偶数时，直线OP与直线PP的斜率之积为定值.

(1)求抛物线的方程；

(2)过焦点F的直线1交抛物线于A、B两点，若|AB|=16,求直线I的方程.

2

高二第三次月考数学参考答案

3r³-10x+3=(x-3)(3x-1)=0.解得.日选项错误C

题号1234567891011

选项：设MN的中点为A,M,N,A到直线/的距离分别为d,d,d,因为

答案BCDBCABDADACBC

5.C【详解】由题意[PF|+|PE|=6,焦距为|FE|=2√5,平方可得|PE²+|PF:P+2|P,||P|=36,即A到直毁/的距离等于JV的一丰，所以以3V为直臣的圆

与直线I相切，C选项正确.D选项：直线y=-√5(r-1),即√x+y-√3=0,0到匪线·ray-F=0的

由余弦定理可得FF₃P=|PFP+IPF₃P-2|PFIIPFlcos60=20,两式相减可得

距离为,所以三角形OMV的面积为由上述分折可知

所以△FPF₂的面积故选：C

6.A【详解】由题意可知BA,BC,BB,两两垂直，故分别以直线BA,BC,BB,为y₁=—√3(3-1)=-2√3,.所

x轴，V轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),C(0,20),M(0,1,2√2)所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

N(L0,2√2),所以BM=(0,1,2√2),CN=(1-2,2√2),设直线BM与直线CN所成角

为θ,,所以直线BM与直线CN所成角的余弦值为

7.B【详解】设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则B|P|=|FF|=2c,

|AF₂|=a,设△ABF₂的内切圆与AF,AF₂相切于点M,N,如图所示，则

|AM|=|AN,|PF₂|=|NF₂|,|BP|=|BM|=2c,

所以AF₂|=|AM|+|NE₂|=|AM|+|PF₂|=a,所以△ABF₂的周长为

|AB|+|AF₂|+|BE₂|=(BM|+|4MD+(AN|+|NF₂D+(BP|+|PF₂D=4c+2a,由椭

圆定义可得，|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a,所以4c+2a=4a,则

:可知外接球半径为所以截面圆半径

8.D【详解】∵直线l:mx-y-3m+1=0,整理得m(x-3)-(y-1)=0,则直线l恒过定点M(3,1),

同理l:x+my-3m-1=0,整理得x-1+m(y-3)=0,则直线l恒过定点N(1,3),

所以所求截面的面积,可知C正确对于D:因为点E为侧面BB₁C₁C内

∵AA+B₁B₂=1×m+(-1)×m=0,⊥l,二点P的轨迹为以MN为直径的圆，

一点(包括边界),设E(x,2,z)(x,z∈[0,2]),则点E到直线BB的距高为2-x.

圆心O,(2,2),半径∵点(3,3)不在直线，上，

因为C₁D₁1平面BB₁C₁C,C₁Ec平面BB₁C₁C,所以C₁D₁⊥CE,所以点E到直线C₁D₁

二点P的轨迹方程为(x-2)²+(y-2)²=2,不含点(3,3).圆C:(x+1)²+(y+1)²=4

距离为√²+(z-2)²,所以2-x=2√x²+(z-2)²,所以

是以O₂(-1,-1)为圆心，半径r=2的圆，圆与圆的位置关系如下图所示，连接O₂D,

所以点E的轨迹是椭圆的一部分，故D错误.故选：BC

∵|AB|=2√3,线段AB是动弦，D为中点，∴点D的轨迹是以O₂(-1,-1)12.18

13..2√2【详解】设P(x,x),则²=4x₀,易知P|e|=√(x-3)²+(y。-0²=√-6x+9+y

为圆心，半径是r₂=1的圆，方程为(x+1)²+(y+1)²=1,:圆心距|Qo₂1=√[2-(-1)]²+[2-(-1]=3√2,

=√-2x₀+9=√(₀-1)²+8≥2√2,当且仅当石=1时取得最小值故答案为：2√2

二副除点(3,3),则oO₂|-r-rz₂≤|PD|<|oO₂|+₁+r₂,故选：D.

14.[5,45]【详解】右焦点F₂(1,0)关于直线I的对称点P(x,y).设切点为A,由椭圆的光学性质可得：

9.AD【详解】由点线距离公式C=5.故选：ADP,A,F₁三点共线，所以|FP=|FA+|AP|=|FA+|AF₂|=2a=4,即点P(x,y)的轨迹是以(-1,0)为圆心，

10.AC【详解】A选项：直线y=-3(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y²=2px(p>0)半径为4的圆，圆心(-1,0)到直线3x+4y-22=0的距离为,则圆上

的焦点F(1,0),所以A选项正确，且抛物线C的方程为y²=4x.B的点到直线3x+4y-22=0的距离最小值为5-4=1,最大值为5+4=9,所以点

P(x,y)到直线3x+4y-22=0的距离为,所以S=|3x₁+4y₁-22|表示

选项：设M(x,y₁),N(x₂,y₂),由消去并化简得

点P(x,y)到直线3x+4y-22=0的距离的5倍，则S=|3x+4y₁-22|e[1×5,9×5].即Se[5,45].

3

15.【详解】(1)由得,即C(21),、由题意圆C的半径为|AC|=2,设平面AGB的法向量为π=(x,y,z),则

故圆C的方程为(x-2)²+(y-1)²=4.

(2)当切线的斜率不存在时，方程为x=4,与圆相切，符合题意.当切线的斜率存在取y=√3,得π=(0,53,-2),所以点C到平面AGB的距离为,解得

时，设斜串为k,则切线方程为：y-5=k(x-4),即-y-4k+5=0,由题意

所以

,即|k-2|=√k²+1,两边分别平方得(k-2)²=k²+1,

由知平面的一个法向量.设平面AGC

得,故切线方程为,即3x-4y+8=0,综上过点B(4,5)的圆C的切线方程为x=4,(ii)AC=(0,2,0),(i)AGB

3x-4y+8=0.

的法向量为而=(a,b,c),则即取c=1,得而=(-2,0,1),设平面AGB与平

16.【详解】(1)如图，以点A为坐标原点，以AB,AD,AA所在直线分别为x轴、

V轴、z轴，建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),M(0,2√2),4(0,0,2√2),c(22,0),

面AGC的夹角为θ,则即平面AGB与平面AGC夹角的余弦值为

D(0,2,0),D(0,22√2),B(2,0,0),AM=(0,2√2),ZD=(0,2,-2√2),

CD=(-20,0).因为AM·AD=0+4-4=0,M·D=0+0+0=0,所以AM⊥ĄD

19.【详解X1)因为P(3,8)在双曲线上，联立,解则双曲线C的标准方程为：

AM⊥CD.因为AD,CDc平面ACD,ADNCD=D,所以AM1平面ACD.

(2)由(1)得AM是平面ACD的一个法向量，BD₁=(-2,2,2√2).设直线BD,与平面ACD所成的角

(2)因为P(3,8),P(x,y₁),F₁(-3,0),联立,解得或(舍去),则P

为θ,,故

已知F₂(3,0),则y..),P.(,y),

则直线BD₁与平面ACD所成角的正弦值为₂

(3)证明：当n为偶数时，取连续3个反射点P(x,y.),P.(x.

17.【详解】(1)根据抛物线的定义可知，,即,解得p=4,

则直线P.F的方程为与双曲线交于点P(xa,y.),1,消去x得

所以抛物线的方程为y²=8x.₁

(2)由(1)知，抛物线焦点为F(2,0),若直线1的斜串不存在，则A(2,4),B(2,-4),

则|AB|=8,不满足题意，所以直线I的斜率存在且不为零，并设为k,则l:y=k(x-2),

设A(x,y,),BCx₂,y₂),联立消去y可得，Rx²-(4k²