2025年八年级数学秋季开学摸底考（上海专用沪教版）解析版

2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷

数学•全解全析

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形、实数、二次根式、一元二

次方程

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求的）

1.下列各式中，是一元一•次不等式的是（）

A.2x-lB.2y=8C.-x-7>0D.--3x<0

2x

【答案】C

【详解】解：A.2*-1是代数式，不含不等号，不符合定义，故A不符合题意；

B.2y=8是等式，不是不等式，排除，故B不符合题意；

C.含有个未知数x,次数为1,且两边为整式，符合一元一次不等式定义，故C符合题意；

2

D.中,不是整式，不符合条件，故D不符合题意.

XX

故选：C.

2.在0.幻5，瓦,0,二，（4-1）°，乡，1.121121112这7个数中，无理数的个数是（）

47

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【详解】解：0,425,J语=4,0,苧，I.⑵121112是有理数，?是无理数，无理数的个

数是1个，

故选：A.

3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,11

C.2,2,3D.10,5,5

【答案】C

【详解】解：A中3+4=7<8,三条线段不能构成三角形，故不符合题意；

B中5+6=11,三条线段不能构成三角形，故不符合题意；

C中2+2=4>3,三条线段能构成三角形，故符合题意；

D中5+5=10,三条线段不能构成三角形，故不符合题意；

故选：C.

4.反证法是初中数学中的•种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学

之益也，说在诽者“，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证

法的例子.若我们用反证法证明命题”已知：在V48C中，AB=AC,求证：/8<90。”时，应假设（）

A.NB>90。B.ZB>90°C.<90°D./8工90。

【答案】B

【详解】解：用反证法证明命题”已知：在V48c中，AB=AC,求证：N8<90。”时，应假设N8290。.

故选:B.

5.如图，。是直线48上一点，OE平分4BOD,OFA.OE,20=100°,李军同学添加了一个条件后，仍

不能判定力8〃C。，他添加的条件可能是（）

CD

AOB

A.NAOE=50。B.ZBOE+ZAOF=90°

C.N4。/=40。D.180。-/80。=80。

【答案】B

【详解】解：A、•••OE平分NA。。，NBOE=50"

:./BOD=2NBOE=\GO。

•rZD=100°

ZBOD=ZD=}00°

/.AB//CD,故A不符合题意；

B、•；NBOE+N4OF=90。,

NFOE=90。

不能判断力8〃8,故B符合题意，

C、•/OFA.OE,

NFOE=90。

ZAOF=40°

:"BOE=180°-NFOE-4。尸=180°-90°-40°=50°

OE平分ZBOD

...NBOD=2/BOE=100。

•••ZD=100°

/BOD=ND=100。

AB//CD,故C不符合题意；

D、•.•I800-Z50D=80°,

NA。。=100。

NBOD=ND=120。

：.AB//CD,故D不符合题意；

故选：B.

6.如图，C为线段上一动点（不与点4E重合），在4E同侧分别作等边A/IBC和等边AECO,4。与

BE交于点、O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点、Q,连接尸。.以下结论不正确的是（）

【答案】B

【详解】解：由于“8C和△EC。是等边三角形，

可知力C=8C,CD=CE,^ACB=ZDCE=60°,

：.£BCD=60°,ZACD=ZBCE=120°,

:."CDqABCE(SAS),

/.AD=BE,"DC=NBEC,

可判断A正确；

VZDCP=Z£C0=6O°,CD=CE,

・•.KDP^CEQ(ASA),

:・DP=EQ,

•/DEEQ,

：.DEDP,可判断B错误:

,?AACD知BCE,

・•・/DAC=NEBC,

乂♦:/4CP=N8C2=60。，

ACQB^CPACASA),

：.BQ=AP,故结论C正确：

•••2A0B=ZOAE+ZAEO=NCBE+乙4EO=NACB=60°,可判断D正确.

故选：B.

二、填空题(本大题共12小题，每小题2分，满分24分)

7.已知关于x的不等式如>1的解集为x<,，则。的取值范围是.

a

【答案】a<0

【详解】解：由题意可知：当两边同时除以〃时，不等式方向发生了改变，所以。<0；

故答案为：a<0.

8.(22-23八年级上•上海•开学考试)已知在。中，ZJ：NB：NC=2：3：4,那么N/=_度.

【答案】40

【详解】解：VZ/l：N8：ZC=2：3：4,

・,・设N/=2r,则N8=3x,ZC=4x.

根据三角形内角和为180。，可得

2x+3x+4x=180°,

解得x=20,

贝ljN4=2x=40。，

故答案为：40.

9.计算J的结果是.

【答案】3

【详解】解：5x』，吟=3=3,

故答案为：3

10.若。>1,贝ijJ(1—a)~=.

【答案】a-\

【详解】解：

1-<0»

则yj(\-a)2=|l-«|=i/-l»

故答案为：a-\.

11.某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示.如果历1_1,花，CD//AE,480=143。，那

么工BCD=°.

AF

【答案】127

过点8作8尸||/£,如图，根据¥行线的性质和垂直的定义可得4M=90。，进而可得

ZC5F=143°-90°=53°，证明8|[4尸即可得解.

•：BA上AE,

:・BA1BF,即尸=90。，

•・•乙45c=143°,

:.ZCi?F=143°-90°=53°,

VCD//AE,

：.CD\\BF,

：./BCD+NCBF=180°,

・•・/BCD=180°-Z.CBF=127°：

故答案为：127.

12.如图，己知力？〃。。，Zl=45°,Z2=60°,那么/3=

【答案】75。/75度

【详解】解：延长4E交CO于点”,

VAB//CD,

Z.Z4=21=45°,

VZ2=60°,Z4+Z3+Z2=180°,

:.Z3=75°：

故答案为：75°

13.在实数范围内因式分解：3?+3xy-/=

【答案】3『一3'回

6

【详解】解：当3，+3个-/=0时，

2

令a=3,b=3yfc=-y,

：.A=9y2+12y2=2\y2>0,

.-b±\Jb2-4ac-3y±VFly

••x=------------=----------»

2a6

解得x=-3j，+®，或x=-3”后j

66

.—+32=3'「3晨同卜一3;圆、,

故答案为：31-自铲修卜-巴也'.

14.不等式Ox>x+1的解集是

【答案】x〈桓+1

【详解】解：移项，得X>1，

合并同类项，W（V2-1）X>1,

两边都除以加7,得x亚十1；

故答案为：x<V2+1.

15.如图，点P为V/1BC的外心，若/P/C=20",NPCB=30。,则/P4?的大小为

【答案】40°

利用线段垂直平分线的性质可得"=P8=PC,从而利用等腰三角形的性质可得NPC/=/PRC=20。,

NP8C=NPC8=30。，4PAB=/PBA，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答.

【详解】•・•点P为VMC的外心，ZPJC=20°,NPCB=30。,

・••点。为V/5C三边垂直平分线的交点，

工PA=PB=PC,

A^PCA=ZPAC=20°,，PBC=NPCB=30°,ZPAB=4PBA,

:NPCA+APAC+NPBC+NPCB+NPAB+2PBA=180°,

Z.PAB=NPBA=40°,

故答案为：40°.

16.如图，在V/1BC中，AB=AC,BC=a,ZJ=36°,力3的垂直平分线交力。边于点Q,交边于点

ECD=b,则V48C的周长为(用“、b表示).

【详解】解：・・・48的垂直平分线交AC边于点Z),交48边于点E

AD=BD，

:.〃8。=/4=36。，

:.NBDC=N4+4ABD=72°,

VAB=AC,//=36°,

:.AABC=NC=；(180°-N4)=72。，

・•・Z5Z)C=ZC=72°,

RD=BC=AD=a,

JAB=AC=AD+CD=a+b,

・・・V4BC的周长为3a+2Z?

故答案为：3a+2b

17.如图，已知在Rt△44C中，DB=90°,48=8,4c=6,点。是3C边上的一点，BD=2,点、E是/1B

边二一个动点，连接。石，以OE为一边在右侧作等边AEQ,连接CF,在点£运动过程中，线段C尸的最

小值为.

A

【答案】4

【详解】解：如图所示，以C。为边在8C上方作等边三角形CDW,连接过点"作"夕"LAC于点R

MN1AB尸点N,如图所示:

•・•DE厂和VCQM为等边三角形，

DE=DF,DC=DM,4EDF=NCDM=60°,

工土EDF+NFDM=NFDM+4MDC,

即/EDM=NFDC,

Z.A^ED^ACFD(SAS),

/.CF=ME,

・••当ME最小时，CE最小，

•••垂线段最短，

,当点E与点N重合时，A/E最小，即b最小，最小值为MV的长，

,/BC=6,BD=2,

ACZ)=4,

，：MP'CD'

：.CP=DP=-CD=2

2y

：.BP=BC-PC=6-2=4,

*：MPA.BC,DB=90°,BPAB1BC,

:・MPHAB,

乂•：MNJ.AB,

:・MN=BP=4(平行线间间距相等)，

・・・CF的最小值为4,

故答案为：4.

18.定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三

角形”.例如：三个内角分别为100。,60。20。的三角形是“优美三角形”.如图，点。在V48c的边48上,连

接DC,N8QC>90。，作//。。的平分线，交AC于点E,在。C上取一点产，使NE"C+N">C=180。，

/DEF=NB.若△8CQ是“优美三角形”，则N8等于.

A

【答案】36。/36度

根据邻补角的性质得到=,根据平行线的性质得到/。E尸=/力。£,推出。E〃8。得到

4CDE=ZBCD,根据角平分线的定义得到乙4。《二/。。£求得N4=/4CO,再根据“优美：角形”的定义

求解即可.

【详解】解：•；NEFC+/BDC=180°,ZADC+4BDC=18O3,

•••LEFC=Z.ADC,

/.AD//EF,

£DEF=ZADE,

,/土DEF=ZB,

:.Z5=/ADE,

・•・DE//BC,

・•・2CDE=4BCD,

*/OE平分/4OC,

・•・4DE=NCDE,

：.ZB=ZBCD,

•.•△4CQ是“优美三角形“，ZBDC>90°

£BDC=3匕B、

丁Z.BDC+ZBCD+=180。，即:3N8+N8+=180°,

AZ5=36°.

故答案为：36。.

三、解答题(本大题共8小题，53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本题4分)解方程：2(工一1『+3(1—耳=0

【详解】解：2(x-l/+3(l-x)=0,

因式分解得(X-1)[2(X-1)-3]=0,

，1-1=0或2x-5=0,

*,*=1>"2=§•

20.(本题4分)计算：2--&4-(-3『XJ(-4)2

【详解】解：原式=l-4-9x4

=1-4-36

=-39.

5（x+9）>6-6（x-l）

21.（本题6分）解不等式组:•1,2，并把解集在数轴上表示出来.

-x-1<2——x

155

-5-4-3-2-1012345

5（x+9）>6-6（x-l）®

【详解】解:12

—x-1<2x②

55

解不等式①，得4>-3,

解不等式②，得x<5,

・••不等式组的解集为-3<xW5,

该解集在数轴上表示为：

」［6」।11」1」4A

-5-4-3-2-1012345

22.（本题5分）补全下列推理过程：

如图，EFIBC,ADJ.BC,Zl=Z2,试说明OG〃84

解：TEF上BC,AD1BC,（已知），

；./BFE=90°,ZBDA=90°（）,

NBFE=NBDA

:.EF//AD（）

Z2=Z3（）

vZ1-Z2（己知），

二（等量代换）.

DG//AB（）.

【详解】解：'：EF1BC,ADJLBC（己知）,

：・£BFE=/BDA=90。（垂直的定义），

AEF//AD（同位角相等，两直线平行），

/.Z2=Z3（两宜线平行，同位角相等），

VZl=Z2（已知），

/.Z1=Z3（等量代换），

ADG//AB（内错角相等，两直线平行）.

23.（本题9分）如图，已知V/出。是等边三角形，BC=2cm,点尸从点力出发，沿射线48以1cm/s的速

度运动，过点尸作M〃8c交射线4C于点E,同时点。从点C出发沿8。的延长线以lcm/s的速度运动，

连接4E、EQ,设点P的运动时间为〃s）.

（1）当点尸在边力3上，且不与点A、B重合时，求证：ABPE咨&ECQ；

⑵直接写出"的长（用含/的代数式表示）；

（3）在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出/的值和对应的

等腰三角形的个数.（请写出所有的可能性）

【详解】（1）证明：・・・V48C是等边三角形，

Z./.A=ZABC=ZACB=60°,AB=AC=BC,

:.NEC。=180°-60。=120°,

•・•P£||BC,

：.^APE=ZABC=60°,ZAEP=AACB=60°,

・•・"PE是等边三角形，N8PE=180。—60。=120。，

：•AP=AE=PE,

:・PB=AB-AP=AC-AE=EC,

根据点的运动过程可知，”=CQ,

・•.PE=CQt

在上4尸石和AEC。中，

BP=EC

4BPE=/ECQ,

PE=CQ

：.ABPEaECQ

2

（2）解：根据题意可知，点夕从点A到点3所需时间为f=：=2（s）,

当0々<2时，CE=2-r,

当/>2时，CE=-2,

答：当0</<2时，CE的长为2T；当"2时，CE的长为，-2.

（3）解：当/=1时，如图3—1.有5个等腰三角形："PE、△{BC、ABPE、AEC。、ABE。.

当％=4时，如佟|3-2,有4个等腰三角形："PE、"BC、NCE、ABEQ,

答：当，=1时，等腰三角形有5个；当f=4时，等腰三角形有4个.

24.（本题9分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该

不等式组的“关联方程”，例如：方程、-1=3的解为x=4,而不等式组「二〉：的解集为2c<5,不难发

x-2<3

x-1>1

现x=4在2c<5的范围内，所以方程x-l=3是不等式组,'的“关联方程”.

x-z<3

/、v-iZx-Z>x-1

⑴在方程①3（x+l）—x=9:@4x-7=0：③号+l=x中，不等式组〃（一2）r<4的“关联方程”是「（填

序号）

3x+l

------>x

2,、的“关联方程”，求左的取值范围.

（2）若关于x的方程2x-%=6是不等式组।

x-12x+1

------2-----------2

23

2x-2>x-l®

【详解】（1）解:

3(x-2)-xW4②

由①得x>l;

由②得x£5；

・••不等式组的解集为lvx45；

解方程3（x+l）—x=9得》=3,

­/1<3<5,

f2x-2>x-\

・••方程①是不等式组:3（X_2）T04的“关联方程”；

7

解方程4%-7=0得%=:，

4

7

•/1<-<5,

4

2x-2>x-1

方程②是不等式组362)X4的“关联方程二

解方程U得AI,

2x-2>x-\

•••方程③不是不等式组3（一）X4的“关联方程、

故答案为：①②:

红把〉您

2

(2)解:

曰*_2②

23

由①得x>-1：

由②得xW7；

・•.不等式组的解集为-l<x<7：

解方程2x—4=6得x=3+2,

2

3x+l

---->x

••・关于X的方程2xd=6是不等式组2的“关联方程”,

X-12x4-1C

k

2

解得-88.

25.（本题9分）（22-23八年级上•上海•开学考试）（I）如图1,在△48C中，E。平分N44C,CO平分N/C8.过

D作EFV/BC交于E,交4C于F,请说明£/=BE+C尸的理由.

（2）如图2,BD平分/ABC,CO是△45C中乙iC8的外角平分线，若仍然过点。作£尸〃8c交彳8于£,

交力。于凡第（1）颍的结论还成立吗？加果成立，请说明理由：如果不成立，你能否找到即与BE、CF

之间类似的数量关系？

【详解】(1):在△49c中，BD平分/ABC,CD平分NACB,

/.NEBD=NDBC,NDCB=NFCD.

又•：EF〃BC交AB千E,交4c于巴

:・NEDB=/DBC,ZFDC=ZDCB

:.NEBD=NEDB,ZFDC=ZFCD,

:,BE=ED,CF=FD,

，EF=ED+DF=BE+CF.

BP：EF=BE+CF.

（2）不成立.EF=BE-CF.理由如下：

•:BD平分N/5C,CD是△49C中N/C8的外角平分线，

ZEBD=ZDBC,ZFCD=ZDCG,

，：EF〃BC交AB千E,交AC于F,

，NEDB=/DBC,ZFDC=ZDCG,

:.NEBD=/EDB,ZFDC=ZFCD,

:,BE=DE,DF=CF,

:,EF=ED-DF=BE-CF.

26.（本题12分）（22-23八年级上•上海・开学考试）（1）观察理解：如图1,△45c中，ZJC5=90°,AC

=BC,直线/过点C,点力，8在直线/同侧，BDll,AELL垂足分别为。，E,由此可得：/AEC=NCDB

=90。，所以NC4£+N4CE=90。，又因为N4C8=90。，所以N8CO+NXCE=90。，所以/C4£=NBCQ,

又因为/1C=4C,所以△川乳?且2\。。4（）：（请填写全等判定的方法）

（2）理解应用：如图2,AELAB,且4E=4B,BCLCD,且£C=C。，利用（1）中的结论，请按照图中

所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=—；

（3）类比探究：如图3,R£4BC中,N/C8=90。，AC=4,将斜边48绕点力逆时针旋转9。。至,连

接8'C,求V/18'C的面积.

（4）拓展提升：如图4,等边△E8C中，EC