北师大版七年级数学下册 第六章《变量之间的关系》教学设计

第六章变量之间的关系

6.1现实中的变量

•1教学目标

了解常品与变量的含义并能分清实例中的常景与变景，了解自变后和因变量的关系.

、■重点难点

重点

了解常量与变量的含义并能分清实例中的常量与变量.

难点

了解自变量和因变量的关系.

教学过程

一、导入新课

汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到

完全停止所驶过的距离称为制动距离.

(1)这个情境中有哪些量？

(2)随着车辆制动初速度的变化，其他量会发生变化吗？

(3)下表呈现了一辆汽车在某种路面情况下的部分刹车试验数据，你能描述制动距离随制

动初速度的变化而变化的情况吗？

制

动

初

速2030405060708090100110120130140

度

v/(k

m/h)

制

动

14.719.525.532.339.948.357.567.678.3

距1.403.606.429.967

99887756

离

5/m

二、探究新知

探究点：变量与常量

1.某海域海水的压强〃(单位：Pa)与水深”(单位：m)之间的关系满足：〃=9.8所(其中〃

为海水的密度,通常为1.03X/kg/n?)

(1)这个情境中有哪些量？

(2)随着水深h的变化，其他都会发生变化吗？

2.如图反映了一个蔬菜大棚某日18：00到次日18：00棚内温度和棚外温度的变化情况.

(1)这个情境中有哪些品？

（2）你能描述这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化而变化的情况吗？棚外温度呢？

（3）你还有哪些发现？与同伴进行交流.

归纳：上面情境中有许多变化的量，如制动距离、制动初速度、海水的压强、水深、棚

内温度、棚外温度、时间等，它们都是变量.其中，制动距解随制动初速度的变化而变化，

海水的压强随水深的变化而变化，棚内温度、棚外温度随时间的变化而变化，制动初速度、

水深、时间称为自变量，制动距离、海水的压强、棚内温度、棚外温度称为因变量.

一定海域内，压强随水深变化而变化的过程中，海水的密度保持不变.像这种在变化过

程中数值始终不变的量称为常量.

三、课堂练习

I.写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：

（1）分针旋转一周内，旋转的角度〃（度）与旋转所需要的时间4分）之间的关系式〃=夕：

（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s（千米）与行驶时

间r（时）之间的关系式s=40r.

解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为

常量，即可答题.

2.A,8两地相距50千米，明明以每小时5千米的速度由A地到8地，若他距6地的

距离为y,到达时间为x.请你写出在这个变化过程中的自变量和因变量.

解析•：因为这个变化过程中，他距8地的距离），随时间的变化而变化，所以自变量是时

间x，因变量是他距8地的距离），.

四、课堂小结

1.常量与变量：

在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量.

2.区分自变量和因变量：

在判断自变量和因变量时，要分清哪个量是主动变化的，哪个量是被动变化的，主动变

化的量是自变量，被动变化的量是因变量.

五、课后作业

完成本节课对应练习.

教学反思

自变量和因变量是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中出现的一些变化现象

的两个重:要的量，对于我们所熟悉的变化，在用了这两个量的描述之后更加鲜明.本节是学

好本章的基础，教学中立足于学生的认知基础，激发学生的认知冲突，提升学生的认知水平,

使学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来.

6.2用表格表示变量之间的关系

♦,教学目标

能从表格中获得变量间的关系信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的数

据尝试对变化趋势进行初步预测.

Q1重点难点

重点

能从表格中发现变量之间的变化关系，并能用自己的语言描述出来.

难点

理解两个变量之间的关系.

、.教学过程

一、导入新课

你知道自己的反应时间是多少吗？测试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者

的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约3cm,与直尺的零刻度保持在同一水平面

I-测试者突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住，手指所夹处的直尺刻度就是被测试者

的反应距离，不同的反应距离对应不同的反应时间，下表呈现了部分反应距离及对应的反应

时间：

反应

距

56789101112131415

离

/cm

反应

时0.1010.1110.1200.1280.1360.1430.1500.1560.1630.1690.175

间/s

(1)当反应距离为10cm时，反应时间是多少？

(2)反应距离越大的人,其反应时间有什么特点？

(3)反应距离每增加1cm,反应时间的变化情况相同吗？

(4)小明和同桌试验测得的反应距离分别为9.5cm,18cm,你能估计他们的反应时间吗？

你是怎样估计的？

(5)请你和同桌一起做一做上面的游戏，估计自己的反应时间.

二、合作探究

探究点：用表格表示数量间的关系

2016—2022年我国国内生.产总值(GDP)的变化情况如下(精确到1万亿元)：

时间/年2016201720182019202020212022

GDP/万亿元75839299101115121

(1)如果用x表示时间，y表示我国国内生产总值，那么随着工•的变化，y的变化趋势

是什么？

(2)2016—2022年我国国内生产总值是怎样变化的？

(3)根据表格，预测2030年我国国内生产总值.

借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.

归纳：通过两个例子，理解变量、自变量、因变量、常量这些概念，同时体会表格对于

数据的整理和呈现起到的作用.对•于解决日常生活中变化的事物很有帮助.

三、课堂练习

I.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度.y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面

的关系：

x(kg)012345

,y(cm)1010.51111.51212.5

下列说法不正确的是()

A.K与y都是变量，且x是自变量，1y是因变量

B.所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm

C.弹簧不挂重物时的长度为0cm

D.物体质量每增加1kg,弹簧长度)，增加0.5cm

2.某电动车厂2024年各月份生产电动车的数量情况如卜表:

时间

123456789101112

x/月

月产量

88.591()1112109.59101010.5

W万辆

(1)为什么称电动车的月产量1y为因变最？它是i隹的因变量？

(2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动年的产量最低？

(3)哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？

3.完成教材第151页第2题.

四、课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获，还有哪些困惑？

五、课后作业

完成本节课对应练习.

教学反思

本节内容主要是用表格表示两个变量之间的关系，学生在活动中，可以从数值对应的角

度初步感受到自变量、因变量之间的对应思想，他们在合作交流中探究，在探究中总结，获

到了较好的教学效果.6.3用关系式表示变量之间的关系

♦，教学目标

1.让学生理解变量间的关系，并学会在具体的情境中列出表示变量关系的关系式；

2.培养学会运用数学知识解决实际问题的能力.

重点难点

重点

能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式.

难点

理解关系式的推导过程.

教学过程

一、导入新课

指出下列实例中的自变量与因变量：

(1)气温随高度变化的过程.

自变量是：因变量是：

(2)蜡烛在燃烧的过程中，剩余蜡烛的长度随燃烧时间的变化而变化.

自变量是：因变量是：

(3)在圆的周长公式C=2nr中，随着，•的变大，C也变大.

自变量是：因变量是：

二、探究新知

如图，△A8C底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点。沿底边所在的直线向点8运动

时，三角形的面积发生了怎样的变化？

(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底边长减小时，二角形的面积是如

何变化的？

(2)如果三角形的底边长为M单位cm),那么三角形的面积单位：cnf)如何表示？

(3)在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积)，的值能确定吗？和同伴进行交流.

归纳：y=3x表示了图中三角形底边长x和面积)，之间的关系，它是变量)，随x变化的关

系式.关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法.如图，利用关系式(如y=3x),我们

可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.

出示问题，组织学生分组讨论

I.如图所示，圆锥的高是4cm,当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之

而发生了变化.

(1)在这个变化过程中，自变量是,因变量是.底面半径增大时，圆锥

的体积是如何变化的？

(2)如果圆锥底面半径为r(cm),那么圆锥的体积Men?)与「的关系式是.

(3)当底面半径由1cm变化到10cmM，圆锥的体积由cn?变化到cm3.

在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗？

三、课堂练习

1.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)

与时间《s）的数据如下表:

时间心）1234•••

距离s（m）281832•••

写出用，表示s的关系式：.

2.图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第〃层（〃为正整数）圆点的个数,

则下列函数关系中正确的是（）

A.y=4〃-4

B.y=4n

C.y=4〃+4

D.y=fr

3.你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量从而降低碳

（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式.

一些常见的二氧化碳排放量计算公式如下表所示

二氧化碳排放量/kg计算公式

家居用也用电量（单位:kW-h）X0.785

开私家车（燃油车）耗油量（直位：L）X2.7

家用天然气用气量（单位：m3）X0.19

家用自来水用水量（单位：m3）X0.91

（1）你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗？其中的字母表示什么？

（2）随着耗电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的？与同伴进行交流.

（3）当耗电量为100kW•h时，二氧化碳的排放量为多少？

（4）小明家本月大约用电110kW・h,耗油75L,天然气20m3,自来水5m请你计算

小明家这几项的二氧化碳排放量.

四、课堂小结

1.用关系式表示变量间关系.

2.表格和关系式的区别与联系：

表格能直接得到某些具体的对应值，但不能直接反映变量的整体变化情况；用关系式表

示变量之间的关系简单明了，便于计算分析，能方便求巴自变量为任意一个值时，相对应的

因变量的值，但变量间的对应关系不太直观。二者的联系是：利用表格可以写出关系式，利

用关系式可以列出表格.

五、课后作业

完成本节课对应练习.

教学反思

本节课的内容是建立在学生已理解了变量、自变量、因变量的意义，并体会到因变最是

随自变量变化而变化的基础上安排的，课堂通过对三角形的底边的变化引起三角形面积的变

化讲行探究，得出运用关系式可以描述自变后和因变最具体变化的情况,，为卜一环节的学习

作好铺垫.整个教学过程同学们积极参与，课堂气氛活跃，达到了预期的目的.

6.4用图象表示变量之间的关系

第1课时曲线型图象

♦，教学目标

1.能从图象中分析变量之间的关系，明确图象上点所表示的意义；

2.能够从曲线型图象中获取关于两个变量的信息.

、■重点难点

重点

理解图象上的点所表示的意义，并能从图象中获取变量之间的关系.

难点

能从图象中获取变量之间的关系，并能用语言进行描述.

•'教学过程

一、导入新课

观察下图，你能从中获取怎样的信息？

气温

温度(C)太阳短波辐射

33地面长波辐射

024681012141618202224时间（时）

二、探究新知

探究点：用曲线型图象表示变量间关系

气温的变化是人们经常谈论的话题.请你根据下图，与同伴讨论某地某天气温变化的情

况.

(1)你能描述该地这一天气温的变化情况吗？在什么时间范围内气温下降，什么时间范围

内气温上升？

(2)该地这一天的最低气温是多少，是在何时达到的？最高气温呢？这一天的温差是多

少？

(3)图中的4点表示什么？8点呢？

(4)你预测该地这一天次口凌晨1：()0的气温是多少？说说你的理由.

归纳总结

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示日变量,

用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.

思考：下图呈现了某年某地日出、日落的情况.观察图象，回答下列问题

(1)你能描述这一年此地日出和日落的变化情况吗？

(2)这一年日出时间最早大约是什么时候？最晚呢？日落时间呢？

三、课堂练习

1.水滴进玻璃容器如图所示(设单位时间内进水最相同)，那么水的高度是如何随时间变

化的，请选择分别与A,B,C,D匹配的图象()

A.(3)⑵(4)⑴B.⑵⑶⑴⑷

C.⑵⑶(4)⑴D.⑶⑵⑴⑷

2.如图所示是某市夏天的温度随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是

温度/C

03690362124时间/时

A.这天15时温度最高

B.这天3时温度最低

C.这天最高温度与最低温度的差是13℃

D.这天0〜3时，15〜24时温度在下降

四、课堂小结

1.用曲线型图象表示变量间关系.

2.从曲线型图象中获取变量信息.

五、课后作业

完成本节课对应练习.

教学反思

图象法能直观形象地表示因变量随自变量变化的变化趋势，可通过图象来研究变量的某

些性质，这也是数形结合的优点，但是它也存在观察不够准确，画面局限性大的缺点.教学

中让学生自己归纳总结，回顾反思，将知识点串连起来，完成对该部分内容的完整认识和意

义建构.这对学生在实际情境中根据不同需要选择恰当的方法表示变量间的关系，发展与深

化思维能力是大有裨益的.

第2课时折线型图象

•，教学目标

1.能从图象中获取变量之间的信息，并能用语言进行描述;

2.能借助图象表示实际情境中所蕴含的变量之间的关系.

重点难点

重点

在所给出的图象中发现变量之间存在的关系，并能获取图象中的信息.

难点

理解图象中的变量关系，以及如何利用图象进行推理和预测.

'.教学过程

一、导入新课

小强和爷爷经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山.有一天，小强让爷爷先上，然后追

赶爷爷.图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y（米）与爬山所用时间M分钟）的

关系（从小强开始爬山时计时）.

300

240

180

120

60

01234567891011、（分钟:

问：图中的横轴（X轴）和纵轴轴）各表示什么？

答：横轴。轴）表示两人爬山所用时间，纵轴（），轴）表示两人离开山脚的距离.

问：如图，线段上有一点P,则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？

答：P的坐标是(3,90).表示小强爬山3分钟时，离开山脚的距离是9()米.

我们能否从图象中看出其他信息呢？

二、探究新知

探究点：用折线型图象表示变量间关系

每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当前的速度，你会看这个表吗？

汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的.下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化

而变化的情况.

(2)汽车在___________________时问段保持匀速行驶，时速分别足和

(3)出发后8分到10分之间可能发生什么样的情况？

(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.

小结：

借助图象可判断因变量的变化趋势：

图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是下降

的，则说明因变量随着自变量的增大而减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量

在自变量的增大的过程中保持不变.

图象的识图技巧

(1)注意两数轴上的名称与单位.

(2)分布规律：横轴上的点表示自变量，纵轴上的点表示因变量.

(3)识图关键：弄清图象上点的意义，找准关键点：注意图象的起点、终点、最高点、最

低点、拐点等特殊位置，并弄清这些点所表示的意义.