第一章 集合与常用逻辑用语（讲义基础篇）-高一数学人教A版必修第一册（解析版）

第一章集合与常用逻辑用语（举一反三讲义•基础篇）

【人教A版（2019）］

对集合概念的理解。|

1.（25-26高一上•全国•课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（）

（1）高一（1）班的高个子同学；（2）所有的数学难题；

（3）北京市中考分数580以上的同学；（4）中国古代四大发明；

（5）我国的大河流；（6）大于3的偶数.

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解题思路】由集合元素三要素逐个判断即可.

【脩答过程】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合.

（3）（4）（6）符合集合概念，

故选：B.

2.（24-25高一上•湖南长沙•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合

B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合

C.数L0,5,31卜g组成的集合中有7个元素

D.由不大『4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4

【答案】B

【解题思路】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果.

【解答过程】对于A,因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个

集合，故A错误；

对于B,因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正

确；

对于C,因为存在［=所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；

3o

对干D,由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0,123,4,故D错误；

故选：B.

1/22

3.（24-25高一上•上海•随堂练习）下列各组对象能组成一个有限集的有.（填序号）

（1）小于100的自然数：

（2）等腰直角三角形的全体；

（3）平面内到坐标原点距离为1的所有点；

（4）方程工2-1=0的实数根；

（5）高一（1）班喜欢数学的全体同学.

【答案】（1）（4）

【解题思路】根据有限集的定义逐一可以判断

【解答过程】对于（1）,小于100的自然数，可以一一列举，0,1,2,3,…，99,故（1）为有限集；

对于（2）,等腰直角三角形有无限多个，故（2）不是有限集；

对于（3）,在平面直角坐标系内，单位圆上的所有点到原点的距离都为1,所以到坐标原点距离为1的点

有无穷多个，故（3）不是有限集；

对于（4）,%2-1=0的实数根为％=1或%=一1,共两个，故（4）为有限集；

对干（5）,到底有多喜欢算喜欢，无法定论，故元素不确定，故（5）不是集合；

故答案为：（1）（4）.

4.（24-25高一上•上海•课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合.若能组成集合，判断组成的集合是

有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由.

（1）所有大于0且小于25的偶数：

（2）不等式的解集：

（3）两条平行直线的交点；

（4）古今中外的所有伟大的人.

【答案】（1）能组成集合，为有限集；

（2）能组成集合，为无限集；

（3）能组成集合，为0；

（4）不能组成集合，理由见解析.

【解题思路】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型.

【解答过程】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集.

（2）所给对象确定，能组成集合，为无限集.

（3）所给对象确定，能组成集合，为空集.

2/22

（4）所给对象不确定，不能组成集合.

5.（24-25高一上•上海•课堂例题）判断卜.列各组对象是否能组成集合.若能组成集合，判断组成的集合是

有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由.

（1）我国现在的直辖市；

⑵比较小的自然数的全体；

（3）数轴上到坐标原点距离是2的点的全体；

（4）比2小的质数.

【答案】（1）能组成集合，为有限集

（2）不能组成集合，因为标准不明确

（3）能组成集合，为有限集，其中有2个元素

（4）能组成集合，为空集

【解题思路】（1）根据集合的定义判断：

（2）根据集合的定义判断；

（3）根据集合的定义判断；

（4）根据集合的定义判断.

【解答过程】（I）我国现在的直辖市只有4个，能组成集合，是有限集；

（2）“比较小的自然数”这个标准不明确，不能组成集合；

（3）数轴上到坐标原点距离是2的点只有2和-2两个，能组成集合，是有限集：

（4）没有比2小的质数，因此能组成集合，是空集.

题型2，蜩5k置得

1.（24-25高一上•福建泉州•期末）给出下列6个关系：©ye/?,②g€Z,③0W④〃WN,⑤口CQ,

⑥|-2|2Z.其中正确命题的个数为（）

A.4B.2C.3D.5

【答案】A

【解题思路】根据R，Z,V,N,Q,这几个常用数集的含义判断即可.

【解答过程】对于①，因为日为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以苧ER,所以①正确；

对于②，因为目是无理数，所以、GWZ,所以②错误；

对于③，因为0不是正整数，所以OWN〉所以③正确；

3/22

对于④，因为a=2EN,所以④正确：

对于⑤，因为n是无理数，所以ir£Q,所以⑤正确：

对于⑥，因为|-2|=2WZ,所以⑥错误.

故选：A.

2.（24-25高一上•四川自贡•开学考试）设集合4=以|%>2},则（）

A.364B.V5G/1C.2EAD.0£4

【答案】B

【解题思路】利用元素与集合的关系判断得解.

【解答过程】集合4={x|x>2},则3671,遥6A2C40W4ACD错误，B正确.

故选：B.

3.（24-25高一上•河北沧州•阶段练习）给出下列6个关系：®yeR,②gEQ,③0CN,@V4eN,

（ShreQ,@|-2|0Z.其中正确命题的个数为.

【答案】2

【解题思路】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可.

【解答过程】依题意，yGR.VICQ,OWN,V4=2GN,nCQ,|-2|=2EZ,

因此①©正确，②③⑤⑥错误，

所以正确命题的个数是2.

故答案为：2.

4.（24-25高一上•全国•课后作业）设集合力={a,黑}中的所有元素均为整数.

（1）若Q=0,求集合力；

（2）试判断4是不是集合力中的元素，并证明结论.

【答案】（1）4={0,1};

（2）不是，证明见解析.

【解题思路】（1）根据题意代入a=0即可得结果；

（2）假设成立，分Q=4或裂=%代入检验即可得出矛盾，进而分析说明.

【解答过程】（1）若a=0,则工=1WZ,所以集合A={0,l}.

（2）4不是集合力中的元素，理由如下:

4/22

若4€/1,则有Q=4或2f=4；

3+a

当a=4时，不满足题意；

3+47

当廿=4时，解得a=-：CZ,不满足题意；

3+a5

综上所述，4不是集合4中的元素.

5.(24-25高一上•上海嘉定•阶段练习)已知M是满足下列条件的集合：①OWM,1WM；②若，yWM,

则x-y€M；③若％EM且％HO,M-6M.

X

(I)判断36M是否正确，并说明理由；

(2)证明：若％,yWM,则x+yeM：

(3)证明：若则/WM.

【答案】(l^WME确，理由见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【解题思路】(I)根据集合M的条件，先根据①©得-1€M,2GM,进而有③可得；

(2)先由①②得一yEM,进而可得x-(-y)=%+yEM：

(3)先证X-16M,可得GM,进而得》(%-1)£时，再结合％€M可证.

【解答过程】正确，理由如下：

由①知OEM,1EM,由②可得0-1=-1£M,1-(-1)=2eM,

由③可得;WM.

(2)证明：由①知OEM,由题意yEM,

所以由②可知0—y=-y6M,又x£M,所以无一(-y)=x+y6M即证.

(3)证明：XEM,由②可知X-16M,由③可知-^-GM,

Xx-1

所以」一」-£M,即丁二€M,所以X(X-1)€M,

xx-1x(x-l)

由(2)结论可知%(%-1)+%£M,即dwM,即证.

题型3、集合相等问题P]

1.(24-25高一上•山东泰安•阶段练习)下列每组集合是相等集合的是()

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A.71={xGN||x|<2],B={xEZ||x|<2}B.A={(x,y)I7==My=%}

C.={x\y=x),8={%|y=亍}D.A={x\x>0),B={y\y>0)

【答案】D

【解题思路】根据集合相等的概念判断四个选项即可.

【解答过程】对于A,A={xE^\\x\<2}={0,1,2},B=[xeZ||x|<2]={-2,-1,0,1,2),故A寸B,所

以A错误；

对于B,A={(x,y)|y="}为点集，B={X|y=行为数集，故AHB,所以B错误；

对于C,A=(x\y=x}=R,B=[,=?}={x|xH0},故所以C错误：

对于D,数集A={x[%>0}和数集8={y|y>0}元素一样，故A=8,所以D正确，

故选：D.

220252024

2.(24-25高一上•贵州贵阳期中)已知集合4=口,a,b},B=[afa,ab),若■=B,Ma+b=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解题思路】由集合相等可得元素完全相等，得到[：或:，又由元素的互异性即可求得结果.

【解答过程】由题意4=B可知，两集合元素全部相等，得到，：或卜：=?,

又根据集合互异性，可知解得a=1舍去，

所以解得{[二。]，所以小025+62024=(_1)2。25+Q2024=,

故选:A.

3.(24-25高一上•上海宝山•阶段练习)已知集合4={a,B={2a,2a2),且人=B,则集合?!=.

【答案】6,1}

【解题思路】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可.

【解答过程】因为4=8,

当{£二弟时’解得a=b=。，此时不满足集合元素的互异性；

11

当,二¥时，解得卜=5或Q=b=o(舍去)，即Q=5满足结合元素的互异性，

ib=2alb=1w=1

所以A=6,l}，

故答案为：弓,1}.

6/22

2

4.（24-25高一•全国•课后作业）已知集合4={x|%=1+Q2,QwR},=[y|y=a-4a+5,aER],判

断这两个集合之间的关系.

【答案】A=B

【解题思路】由X=1+Q2,awR,得到然后由y=a?-4。+5=（Q-2>+1,aER,得到y3l,

从而可判断这两个集合之间的关系.

【解答过程】因为X=1+Q2,aER,所以xZl.

因为y=。2-4a+5=（a-2/+1,aWR,所以yNL

故力={x\x>1},B={y\y>1}.

所以人=B.

5.（24-25高一上,上海嘉定•阶段练习）已知力={%+1,%2—11,8={4,8}.

（1）求实数》的取值范围；

（2）当A=3时，求实数x的值.

【答案】（1）{%61<|%=2且％0—1}

（2）t=3

【解题思路】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果；

（2）由集合相等构造方程组即可求得％=3.

【解答过程】（1）由4=1+1,/-1卜并根据集合中元素的互异性可知％+1装/-1,

即K一工一200,解得％H2且工工一1；

所以实数”的取值范围为卜ER|x工2且工工一1}；

（2）当力=8时，可得已+1=:或已+1=2；

当代+：=*时，解得"3,当代时,无解；

I产-1=85"-1=4

所以无=3.

题型4^^互驰金>小照屑

1.（25・26高一上•全国•课后作业）已知集合0={1,2,3,4}"=3|丫=%+1,%£。},那么集合用={3,4,5}

与。的关系是（）

A.MCQB.M窿QC.Q呈MD.Q=M

【答案】B

【解题思路】先得出集合Q,再根据集合的基本关系得出.

7/22

【解答过程】由题意可得Q={2,3,4,5},故集合M是集合Q的真子集.

故选：B.

2.（24-25高一上•吉林•阶段练习）已知集合时={无,=2m+g,7九£z},N={x卜="一g,九Ez},P=

卜卜=p,pWz},则A/,N,2的关系（）

A.M=N^PB.M麋N=P

C.M建N曙PD.N^P^M

【答案】B

【解题思路】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系.

【解答过程】由可二卜,二九一wz}=卜卜=（九一1）+，九wz},

又M=1xx=2m+1,mGzj,P=jxx=p+[,p€z},

而2m为偶数，n—1和p为整数，所以M^V=P.

故选：B.

3.（24-25高一上•上海•课后作业）设集合M={xk=T±：,AEZ},N=[x\x=^-,kez],则M、N之

间的关系为MN.

【答案】i

【解题思路】工二勺±；=，（2〃±1）,欠亡2表示；的奇数倍-，而x=WZ表示％勺整数倍，故得解.

244444

【解答过程】因为％=f±m=Tx（2k±l）,k£Z,

244

所以集合M=[x\x=-土;,kWZ}中的元素是:的奇数倍，

又因为集合N=[x\x=^,kEZ枕的元素是:的整数倍，

所以M/V.

故答案为：S.

4.（24-25高一下•全国•课后作业）指出下列各对集合之间的关系：

⑴A={（-1,1）}»B={（-1,-（1,-1）,（1,1）}；

（2M=（-1,4）,B=（-8,5）：

（3）4={x|x是等腰三角形},B={x|x是等边三角形}.

【答案】（1乂18

8/22

⑵AcB

(3)BcA

【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论.

【解答过程】(1)4中唯一元素(-1,1)68,

又,；(―1,-1)€B,(―1,-1)C4,

所以4cB.

(2)-A=(-1,4),B=(-oo,5)

力的元素都是8的元素•，而8的元素-5不是A的元素•，

所以AcB；

(3)•.•力={用”是等腰三角形},B={x|x是等边三角形},

又1•为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三:角形不一定是等边三角形；

所以3工A.

5.(24-25高一上•上海•课堂例题)指出下列各对集合之间的关系：

(1)M={1},N={1,2,3)；

(2)M={x\x=3k,kEZ},N={x\x=6k,kEZ}；

(3)M={无|无=2九一1,九为正整数},N={x\x=2n4-1,n为正整数}.

【答案】⑴M茎N

(2)N复M

⑶昨M

【解题思路】(1)根据已知条件，结合子集的定义，举例26N,2cM即可求解.；

(2)根据已知条件，结合子集的定义，理解6的倍数一定是3的倍数，3的倍数不一定是6的倍数，即可

求解；

(3)根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解.

【解答过程】(1)解：M={1}的唯一元素1WN,

又•••2€N,2cM,

M些N：

(2)解：•••M={x|x=3k,k£Z},/V={x|x=6/c,6Z},

M={…，-12,-9,-6,-3,0,3,6,9,12,•••},N={…，-12,-6,0,6,12,…},

••.6的倍数一定是3的倍数，

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3的倍数不一定是6的倍数，

例加：•••3EM,3任N,

N建M；

（3）解：.••时={0x=2^1—1,71为正整数}={正奇数},

N={x\x=2n+1,n为正整数}={不小于3的正奇数},

:.隋M.

题型5

1.（24-25高一上•云南•阶段练习）若集合M={x|-1V%<2},N={x\2x>l],则MnN=（）

A.{x|-1<x}B.{x|-1<x<2}

C.{x\\<x<2}D.{x|-1<x<

【答案】c

【解题思路】先求集合N,由集合的交集运算即可求解.

【解答过程】由2%工1=工之点所以可=卜卜之"，

所以“门可=卜母工》<2},

故选：C.

2.（24-25高一上•北京•阶段练习）已知集合M=&|x-1NO},N={刈㈤>2},则集合MUN=（）

A.（x\x>1}B.卜优>2或％V-2}C.{x[%>1或％<—2}D.[x\x>1

或x<-2}

【答案】D

【解题思路】先求出集合M,N,再根据并集的定义求解即可.

【解答过程】由M={x\x-1>0]={x\x>1},N={x||x|>2}={x\x<-2或x>2],

则MUN=[x\x>1或不<—2}.

故选：D.

3.（24-25高一上•天津北辰•阶段练习）已知集合4={1,2。},B={a,b},若AnB=出，则AUB=.

【答案】{*,-3}

【解题思路】根据交集的定义求得Q,b，然后利用并集的定义求出答案.

【解答过程】集合4={1,2。},B=[a,b]f

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若力n8=D则2。=解得Q=-3,所以b=J,

VoJoo

.・"={*},B={-3,1},

・,"U8={吗,-3}.

故答案为：{1道,-3%

4.(24-25高一上•浙江杭州•期中)已知集合U=[U,+8),A=[x|-2<x<3},^={x\a-\<x<2a}.

(1)若。=3,求AU8,CM

(2)若BG4求a的取值范围.

【答案】(1)AUB=(x\-2<x<6},5B={x|0WxW2或％N6}

⑵a<7

【解题思路】(1)根据集合并集以及补集的定义求解即可；

(2)分8=0和BH0求解即可.

【解答过程】(1)若Q=3,则8={x\2<x<6},

所以4UF={x|-2<x<6],CuB={x|0<x<2或%>6]；

(2)若8GA,①当8=0时，a-l>2a,解得Q4一1：

a-1<2a

②当BH。时，a-1之一2,解得一1VQWI，

,2a<3

综上，QWg,

所以a的取值范围为a4

5.(24-25高一上•湖南邵阳•阶段练习)设全集4={1,234,5,6,7,8},4={1,2,3},8={3,4,5,6}.

(1)求41^民力rB,Cu(4UB),QG4nB)；

⑵求GM，C〃B.

【答案】(1)答案见解析

(2)CM={4,5,6,7,8}；JB={1,2,7,8}

【解题思路】(1)根据集合的交并补运算定义计算即得；

(1)根据集合的补集定义计算即得.

【解答过程】(1)由题意,AUB={1,2,3}U{345,6}={123,4,5,6}；

ADR=(1,2,3)n(3,4,5,6]=(3)；

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Q。UB）={7,8}；Cu（An8）={1,2,4,567,8}；

（2）CyA={4,5,6,7,8）；CyB={1,2,7,8）.

题型6Venn图表达集合的关系和运算

1.（24-25高一上•云南昆明•期末）如图,已知全集（/={-2,-1,3,4,5},集合4={-1,3,5},B={-2,5},

则图中阴影部分表示的集合是()

A.{-2,-1,3,5}B.{-2,5}C.{5}D.{-2}

【答案】D

【解题思路】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是BnQ4利用集合的交并补运算即得.

【解答过程】由图知阴影部分表示的集合是3cCu4

因U={-2,-1,3,4,5},A={-1,3,5},B={-2,5},

则CM={-2,4),故BnQ4={-2}.

故选：D.

2.(24-25高二上•湖南•阶段练习)图中的U是全集，4,8是U的两个子集，则表示(Q4)n(Q8))的阴

【解题思路】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解.

【解答过程】对•于A,图中阴影部分表示AnB,故A错误；

对于B,图中阴影部分表示QUBQCB),故B错误；

对于C,图中阴影部分表示(GM)n(QB),故C正确：

对于D,图中阴影部分表示力UB,故D错误.

故选；C.

12/22

3.(24-25高一上•上海•阶段练习)如图，己知U是全集，48,C是U的三个子集用交、并、补关系将图中的

阴影部分可表示为.

【答案】/InCn(C(/B)

【解题思路】由韦恩图可知阴影部分表示集合力与集合C的公共部分但不在集合B的部分，用集合的交、并、

补关系表示出来即可.

【解答过程】由韦恩图可知阴影部分表示集合力与集合C的公共部分但不在集合B的部分，

所以可以表示为AnCn(QB).

故答案为：4ncn(Q8).

4.(24-25高一上•贵州•阶段练习)已知全集U为实数集，集合4={x\-2<x<3},8={x\2m-1<x<m+

2).

(1)若m=-l,求图中阴影部分表示的集合C；

(2)若4nB=B,求实数机的取值范围.

【答案】⑴{灯-32)

⑵{7九|一gW771w1或m>3}

【解题思路】(I)根据维恩图可知阴影部分为集合(C/)n8,根据补集、交集运算求解;

(2)转化为分类讨论，列出不等式，求解即可.

【蟀答过程】(1)图中阴影部分表示集合为(QM)nB,

当m=-1时，/?={%|-3<x<1},又QA={x\x<-2或x>3},

所以(QA)nB={x|-3<x<-2}；

(2)因为An8=B,所以BE4

当8=0时，2m—1>zn+2,解得mN3.

13/22

2m-1<m4-2

当BH0时，若BG4则有2m-12-2,

771+2<3

解得一g4m<1,

综上所述，实数m的取值范围是一；三7九&1或m23}.

5.（24-25高一上•云南昆明阶段练习）已知全集U为实数集，集合力={x|-l<x<6],B=（x\a4-1<x<

（1）若。=4,求图中阴影部分的集合M；

（2）若8G4求实数a的取值范围.

【答案】（l）M={x|6WxWll}

⑵（-北9

【解题思路】（I）由图可知阴影部分表示的是Bn（Q*，从而可求得结果,

（2）分B=。和BH。两种情况求解即可

【脩答过程】（1）当Q=4时，B=[5<x<11},

因为全集U为实数集，集合/=vx<6},

所以G/A=[x|x<-1或%>6],

由图可知阴影部分表示的是BA（QA）,

所以M=Bn（Q>4）={x\6<x<ll},

（2）当B=0时，成立，此时Q+1>3Q-1,解得Q<1,

当8不0时，因为8U4

a+1S3a—1

所以a+1>-1,解得IWav?

3Q—1<6

综上，a<p即实数Q的取值范围为（一口彳）.

题型7—刖

1.（24-25高一上•上海•随堂练习）下列命题中正确的个数有（）

14/22

①如果Q=bH0,那么L=I；②如果a=b,n>1且nGN那么a"=bn；

③a2=川，则。=b；④若a(c2+1)=》(c2+1),则。=b.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】C

【解题思路】根据等式的性质分别判断各个小题即可.

【解答过程】对于①：a=b=0可得①正确；

对于②：。=6可得曲=叶回正确；

对于③：层=/则。=匕或Q=一乩③错误；

对于④：a(c2+1)=b(c2+1)可得a=b,④正确.

故选：C.

2.(24-25高一上•江苏连云港•阶段练习)对于命题p：全等三角形的周长相等，命题q：周长相等的三角形

全等，下列说法中正确的是()

A.p和q都是真命题B.p和q都是假命题

C.p是真命题，q是假命题D.p是假命题，q是真命题

【答案】C

【解题思路】根据全等三角形的定义即可.判断命题p,q.对A,B,C,D进行判断即可.

【解答过程】解：对命题p,全等三角形的形状和大小均相同，

故周长相等，故命题p为真命题，

对命题q,只要三角形三边和相等，则周长相等，

对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等，

故命题q为假命题；

对A,命题p为真命题，命题q为假命题，故A错：

对B,命题p为真命题，命题q为假命题，故B错；

对C,命题p为真命题，命题q为假命题，故C对，

对D,命题p为真命题，命题q为假命题，故D错.

故选：C.

3.(24-25高一上•上海・期中)命题“若a>匕，则上V/是______命题.(填“真”或“假”)

ab---------

15/22

【答案】假

【解题思路】通过取反例即可判断.

【解答过程】取Q=2,b=-1,满足a>b,

工V，显然不成立，所以命题为假命题.

ab

故答案为：假.

4.(24-25高一上•全国•课堂例题)判断下列语句是否为命胭？若是，请判断其真假，并说明理由.

(1)求证k是无理数；

(2)若％WR,则/+4%+4之0；

(3)你是高一的学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；

(5)若孙是有理数，则x,y都是有理数：

(6)60x+9>4.

【答案】(1)不是命题；

(2)是命题，真命题；

(3)不是命题；

(4)是命题；真命题;

(5)是命题，假命题：

(6)不是命题.

【解题思路】(1)(2)(3)(4)(5)(6)利用命题的定义判断各个语句，再判断命题的真假.

【解答过程】(1)是祈使句，不是命题.

(2)因为X6R,X2+4X+4=(X+2)2>0,所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题.

(3)是疑问句，不是命题.

(4)是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果.

(5)是命题，而且是假命题，如次x(一夕)=-7是有理数，但近和一夕都是无理数.

(6)不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立.

5.(24-25高一上•上海•课堂例题)把下列命题改写成“若a,则0的形式，并判断命题的真假.

(1)奇数不能被2整除：

(2)当(a-+3—1尸=0时，a=b=l；

(3)已知x,y为正整数，当y=*I1时，y=3且％=2.

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【答案】(1)答案见解析，真命题.

(2)答案见解析，真命题.

(3)答案见解析，假命题.

【解题思路】(1)(2)(3)按给定条件改写命题，再判断真假.

【解答过程】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题.

22

(2)若(a-I)+(_b-I)=0,则Q=b=1,是真命题.

(3)已知％、y为正整数，若y=x+l,则y=3且第=2,是假命题.

题型8、■温焉]：!!曝殖鹿溷寥雷耻

1.(24-25高一上,河北唐山•期中)已知p:0Vx<2,g:—1<x<3,贝Up是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得.

【解答过程】因(0,2)是(-1,3)的真子集，故p是q的充分不必要条件.

故选：A.

2.(24-25高一上•安徽•期中)使一1<x<4成立的一个充分不必要条件是()

A.-1<x<4B.-1<^<0C.-1<x<5D.-2<%<1

【答案】B

【解题思路】根据充分不必要条件的判定即可得到答案.

【解答过程】设力=(-1,4),则使一1VxV4成立的一个充分不必要条件是集合4的真子集.

对照选项知只有B符合题意.

故选:B.

3.(24-25高一上•全国•课后作业)已知集合4={1,a},8={1,2,3},则“a=3”是力G8的条件.

【答案】充分

【解题思路】根据集合间的关系以及元素与集合的关系，可得结论.

【解答过程】由A={1,a],B={1,2,3),又力cB可得aG8且a¥1,

/.a=2或a=3,

即可得“a=3"是“cB”的充分条件.

故答案为；充分.

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4.(24-25高一上•上海•随堂练习)判断下列命题中〃是q的什么条件.

⑴0：x>1,q：x2>1；

(2)p：△ABC有两个角相等，q：么ABC是正三角形；

(3)若a,bER,p：a2+b2=0,q：a=b=0.

【答案】(1)/是q的充分非必要条件；

(2加是q的必要非充分条件；

(3加是g的充要条件.

【解题思路】(1)根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可.

(2)根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可.

(3)根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可.

【解答过程】(1)因为上>1”能推出“%2>1”,即p=q,但当时,如％=一2,推不出勺>1”,

即q#p，所以p是q的充分非必要条件；

(2)因为“△4BC有两个角相等“推不出“△4BC是正三角形"，即p#q,但“△力BC是正三角形”能推出“△4BC

有两个角相等“，即qnp,所以p是q的必要非充分条件；

(3)若“a2+次=0"，则"。=6=0”,即pnq；若“a=匕=0"，则“a2+62=。”,即q=p,故paq,

所以〃是q的充要条件.

5.(24-25高一上•上海•课堂例题)下列“若p,则q”形式的命题中，判断条件p是结论q的什么条件？

(1)若%>3,则%>2；

(2)若x=l,则，-4%+3=0；

(3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形.

【答案】(1)充分非必要条件；

(2)充分非必要条件；

(3)必要非充分条件.

【解题思路】(I)(2)(3)利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【解答过程】(1)x>3^x>2,而2不能保证》>3,如x=|,

因此%>3是％>2的充分非必要条件.

(2)x=l=>x2-4x+3=0,而当%2-4%+3=0时，x=1或x=3,即好—+3=0不能推Uh=1,

所以x=1是X2-4%+3=0的充分非必要条件.

(3)一个四边形为平行四边形，则这个平行四边形的邻边可以不等，它不是菱形；

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若一个四边形是菱形，则它一定是平行四边形，

所以一个四边形为平行四边形是这个四边形为菱形必要非充分条件.

题型9、全称量词命题与存在量词命题的画届

1.（24-25高一上•广东东莞•期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（）

A.梯形是四边形B.VxGR,X3+1*0

C.3xGR,|%|+1>1D.存在一个实数x,使公+2%—3=。

【答案】A

【解题思路】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题.

【解答过程】对于A,是全称量词命题且为真命题，A选项正确；

对于B,是全称量词命题，当％=-1时，x3+l=0,命题为假命题，B选项错误：

CD选项都为存在量词命题，不合题意.

故选：A.

2.（24-25高一上•重庆•期中）已知命题p7x、y€Z,使得4x+2y=15；命题q:VmEN,Vm2+1N,

则下列关于p,q真假叙述正确的是（）

A.p,q均为真B.p,q均为假

C.p真，q假D.p假，q真

【答案】B

【解题思路】由％yeZ,则4%+2y为偶数可判断p；m=0时可判断q.

【解答过程】若％y£Z,则4x+2y为偶数，则4x+2yH15,

所以不存在％yeZ,使4x+2y=15,故p为假命题，

若m=0,则3^2+1=1eN,所以m?neN,使Vm?+1EN,故q为假命题，

所以p，q均为假命题.

故选:B.

3.（24-25高一上•湖南衡阳•阶段练习）下列命题：®VxGR./+1>0；@VxGN,x2>1；③北WZ,

x3<1;®3xeQ,x2=3；其中所有真命题的序号是.

【答案】①④

【解题思路】对于①，由平方的车负性判断，对于②，举例判断，对于③，举例判断，对于④，通过计算

判断.

【解答过程】对于①，因为DxCR,x2>0,所以必|1>0,所以①正确；

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对于②，当％=OWN时，x2=0<1,所以②错误；

对于③，3x=0eZ,使x3<1成立，所以③正确；

对于④，由d=3,得工=±g《Q,所以④错误.

故答案为：①④.

4.(24-25高一上•全国一课后作业)指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断

其真假.

(1)任意两个等边三角形都相似；

(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；

(3)对任意实数%1，X2»若勺<%2，都有好〈就；

(4)存在一个实数x,使得%2+2X+3=0.

【答案】(1)全称量词命题，真命题；

(2)存在量词命题，真命题；

(3)全称量词命题，假命题；

(4)存在量词命题，假命题.

【解题思路】(I)(2)(3)(4)根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假.

【解答过程】(I)全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题.

(2)存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，咳命题是真命题.

(3)全称量词命题，存在修二-5V必=-3,但(-5)2>(-3)幺该命题是假命题.

(4)存在量词命题，由于XWR,则％2+2%+3=(x++2N2,因此使得好+2%+3=0的实数x不

存在，该命题是假命题.

5.(2025高三・全国•专题