27.2.1.4两角分别相等的两个三角形相似课件2025-2026学年人教版九年级数学下册

人教版数学9年级下册培优备课课件27.2.1.4两角分别相等的两个三角形相似第二十七章

相似授课教师：.

班

级：.

时

间：2026年01月.

学习目标掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理.

观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？导入新知问题一

度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？CABA'B'C'两角分别相等的两个三角形相似合作探究

与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：这两个三角形是相似的！证明：在△A′B′C′的边A′B′（或A′B′的延长线）上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E，则有

△A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE=∠B′．∵∠B=∠B′，∴∠A′DE=∠B．又∵

A′D=AB，∠A=∠A′，∴△A′DE≌△ABC（ASA）．∴△ABC∽△A′B′C′．CAA'BB'C'DE问题二

试证明

△ABC∽△A′B′C′.由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：归纳：CABA'B'C'在△ABC

和△A'B'C'

中，证明：在△ABC中，∵∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°．在△DEF中，∵∠E=80°，∠F=60°，∴∠B=∠E，∠C=∠F．∴△ABC∽△DEF．例

1

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°．求证：△ABC∽△DEF．ACBFED典例精析返回551.如图，在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝50°，∠B＝75°，∠A′＝50°，则当∠C′＝________°时，△ABC∽△A′B′C′.返回2.∠ADE＝∠C(答案不唯一)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________．(写出一种情况即可)例

2

如图，弦AB和CD相交于

⊙O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD．证明：连接

AC，DB．∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，∴∠A=_______．同理∠C=_______，∴△PAC∽△PDB.∴__________，

即

PA·PB=PC·PD.∠D∠BODCBAP返回3.3如图，AD，BC相交于点P，连接AC，BD，且∠1＝∠2，AC＝6，CP＝4，DP＝2，则BD的长为________.返回4.B[教材P36练习T1变式]下列各组三角形中，可能不相似的是(

)A．底角为40°的两个等腰三角形B．有一个角是45°的两个等腰三角形C．有一个角是60°的两个等腰三角形D．有一个角为120°的两个等腰三角形∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.判定两个直角三角形相似例3

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为

D．求

AD的长．DABCE∴又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC.由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似．归纳：

对于两个直角三角形，我们可以用“HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？思考：

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，．求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.要得到两个三角形相似，需要证明什么呢？目标：证CAA'BB'C'证明：设=k，则

AB=kA′B′，AC=kA′C′.由

，得

，

∴.∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.勾股定理∴

CAA'BB'C'__________________________由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.归纳：返回5.证明：∵∠DEC＝∠ADB，∠DEC＋∠AED＝∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠AED＝∠ADC.∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC.(4分)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DEC＝∠ADB.求证：△AED∽△ADC.返回6.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠DBC.又∵∠AEB＝∠C，∴△ABE∽△DBC.(4分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，点E在对角线BD上，连接AE，∠AEB＝∠C.求证：△ABE∽△DBC.例

4

如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD

=，当AB=

时，△ABC

与

△ACD

相似．【分析】观察得到

AB

和

AC

分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论．CABD2解析：∵∠ADC=90°，AD=2，CD=，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时，

AC

:AD

=AB

:AC，即:2

=AB:，解得AB

=

3；∴(2)当Rt△ABC∽Rt△CAD时，AC

:CD＝

AB

:AC，即:

=AB:，解得AB

=．∴当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似．CABD2返回7.D在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是(

)A．∠A＝65°，∠D＝25°B．AC＝3，BC＝4，DF＝6，EF＝8C．AC＝9，BC＝12，DF＝12，EF＝16D．AB＝12，BC＝8，DE＝35，EF＝21返回8.3返回9.(4分)[教材P36练习T2变式]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，且CD⊥AB.求证：AC2＝AB·AD.返回10.D[2025河北中考]如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(

)A．∠B＋∠4＝180° B．CD∥ABC．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3返回11.C如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，请用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD与△ABC相似．下面是四种不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是(

)返回12.B如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，则在下列给出的三角形中，与△BDF相似的是(

)A．△BFAB．△BAEC．△BECD．△AEF13.解：如图，直线l即为所求．(8分)[2025廊坊一模]如图，量角器放置在矩形纸面中，AB为其直径，点O为其圆心，点C，D对应的刻度分别为30°和60°，连接OC，OD，BD.(1)尺规作图：求作线段OA的垂直平分线l，直线l与OA交于点E，与OC交于点F.(保留作图痕迹，不写作法)(2)连接AF，求证：△AFO∽△BOD.返回14.70°(12分)在等边三角形ABC和等边三角形DMN中，点D为AB边的中点，DM，DN分别交AC，BC于点E，F，连接EF.(1)如图①，若∠ADM＝70°，则∠DFB的度数为________(直接写出结果)；证明：∵△ABC和△DMN为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠EDF＝60°，∵∠BDE＝∠A＋∠