第03讲 等比数列及其前n项和 高频考点-精讲（解析版）

第03讲等比数列及其前项和(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：等比数列基本量的运算题型二：等比数列的判断与证明题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质角度2：等比数列与等差数列的综合问题第一部分：知第一部分：知识点精准记忆1.等比数列的概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.(2)等比中项如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.2.等比数列的有关公式(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.3.等比数列的性质设数列是等比数列，是其前项和．(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：等比数列基本量的运算典型例题例题1．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【详解】因为，所以设公比为q，可得：，两式相除得：故选：A例题2．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）设单调递增的等比数列满足，，则公比（

）A． B． C．2 D．【答案】A【详解】因为为等比数列，所以，所以，则，又单调递增，所以，解得：，，则，因为，所以．故选：A例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若，，成等比数列，则________．【答案】【详解】因为，，成等比数列，即解得或（舍）故答案为：例题4．（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求和；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)；(2)，，或，；(3)9；(4)±4.(1)等比数列中，，，；(2)等比数列中，，，，；当时，，当时，，，或，；(3)等比数列中，，，，；(4)等比数列中，设公比为q，∵，，∴，两式相除并化简得，，解得或，当时，，，当时，，，综上，或．题型归类练1．（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）设是等比数列的前n项和，，，则首项（

）A． B．12 C．1或 D．3或12【答案】D【详解】是等比数列的前n项和，，，∴当公比q＝1时，，此时满足题意，当公比q≠1时，，解得，∴首项的值为3或12．故选：D．2．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）已知等比数列中，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，.故选：C3．（2022·江苏·高二课时练习）已知数列是等比数列．(1)如果，，求公比和；(2)如果，，求公比和．【答案】(1)，(2)，(1)由已知.即，；(2)由已知，即，.4．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，.(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，若，求.【答案】(1)或(2)或（1）设等比数列的公比为，由得：，即，解得：或，或.（2）当时，，解得：；当时，，解得：；综上所述：或.题型二：等比数列的判断与证明典型例题例题1．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由，得（，），两式相减得，（，），则（，）．又时，，所以此数列从第2项起是公比为4的等比数列，所以（，），则．故选：A．例题2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））数列中，若，，（，），则_________．【答案】【详解】由题意知：，又由得，故数列是首项为，公比为3的等比数列，故.故答案为：.例题3．（2022·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式，判断它是否为等比数列．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)是(2)是(3)是(4)不是(1)由已知，，又故数列是以3为公比，3为首项的等比数列；(2)由已知，，又故数列是以8为公比，16为首项的等比数列；(3)由已知，，又故数列是以为公比，为首项的等比数列；(4)，等比数列中各项均不能为0，故数列不是等比数列.例题4．（2022·内蒙古通辽·二模（文））已知数列的前项和为，且.(1)证明：为等比数列.【答案】(1)证明见解析(1)证明：因为，所以当时，，可得；当时，由可得，所以，所以.即是首项为，公比为的等比数列，所以，.题型归类练1．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））数列的前项和为，且满足，，则________.【答案】.【详解】因为，所以，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以.故答案为2．（2022·天津河东·高二期末）若数列的通项公式，其前5项和___________【答案】【详解】数列的通项公式，则，故数列首项为2公比为2的等比数列，所以故答案为：3．（2022·山东淄博·高二期末）已知数列的前n项和为，，．(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：【答案】(1)证明见解析，(1)解：因为①，当时，解得，当时②，①②得，即，即，所以，，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以.4．（2022·山西临汾·一模（理））已知数列的前n项和为，满足(1)证明：数列为等比数列；【答案】(1)证明见解析(1)证明：由题可知，①②得∶，即当时，由①知所以是以为首项，以为公比的等比数列.题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（

）A．成等比数列 B．成等比数列C．成等比数列 D．成等比数列【答案】D【详解】由等比数列的性质得，因此一定成等比数列．故选：D.例题2．（2022·四川成都·高一期末（文））已知在递减等比数列中，，，若，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【详解】由，且可解得，因此可得等比数列的公比为，所以故选：A例题3．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高二期中）等比数列的各项均为正数，且，则（

）A． B． C．10 D．【答案】C【详解】∵，∴，∴.故选：C.例题4．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知等比数列的前项和为，若，，则（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【详解】因为是等比数列，所以成等比数列，即成等比数列，显然，故选：B例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（

）A．15 B．30C．45 D．60【答案】D【详解】设，则，又因为，所以，所以.故选:D例题6．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列的前项和为，若，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【详解】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A例题7．（多选）（2022·浙江·高二期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为【答案】AD【详解】因为，，，所以，，所以，故A正确.，故B错误；因为，，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；又，，所以的最大值为，故D正确.故选：AD题型归类练1．（2022·全国·高二）已知等比数列中，，，则公比（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【详解】等比数列满足，.故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，下列结论正确的为（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【详解】对于A项，，得，，故A正确；对于B项，当时，，但，故B错误；对于C项，，，，即，故C正确；对于D项，当时，，但，故D错误；故选：AC3．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）在等比数列中，若，是方程的两根，则_________.【答案】【详解】若，是方程的两根，则∵数列为等比数列，则故答案为：．4．（2022·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．10 B．70 C．30 D．90【答案】B【详解】由等比数列的性质可得，，，成等比数列∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20）∴400＝10·（S30－30）∴S30＝70故选：B.5.（2022·全国·高二课时练习）等比数列的前项和为，若，，则的值为（

）A．16 B．48 C．32 D．63【答案】D【详解】因为为等比数列的前n项和，结合条件，所以，，成等比数列，所以，即，解得Sn=63.故选D.6．（2022·全国·高二）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【详解】根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：7．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，对任意，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故选：C.8．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.【答案】【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，则，由，得，因为，所以，所以，.故答案为：.角度2：等比数列与等差数列的综合问题典型例题例题1．（2021·宁夏育才中学高二期中（理））已知等差数列满足，，等比数列满足，，则A．32 B．64 C．128 D．256【答案】B【详解】由，可知数列,所以,故.故选B.例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比等于________．【答案】【详解】∵，，成等差数列，∴，即，∴，∴，∴或(舍)．∴.故答案为：.例题3．（2021·黑龙江·大庆中学高二开学考试）已知等差数列，若，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【详解】解：（Ⅰ）∵，∴①∵，，成等比数列，∴，∴化简得，若，若，②，由①②可得，，所以数列的通项公式是或题型归类练1．（2021·陕西宝鸡·模拟预测（理））在等差数列中，，且，，成等比数列，则公差__________．【答案】3【详解】，，成等比数列，，解得d=3或d=-1,当d=-1时，不符合等比数列，故d=3故答案为32．（2021·河南·南阳中学高二阶段练习）已知1、、、9成等差数列