人教版八年级数学上册 第14章《全等三角形》知识清单及专项练习

第14章全等三角形

思维导图

1.命题

命题、定义、定理与证明

2.定义、定理与证明

I1.全等三角形的判定条件

，2.边角边—SAS

ASA

三角形全等的判定卜-3.角边角

)角角边——AAS

I4.边边边—SSS

全等三角形5.斜边直角边—HL

等边对等角

1.等腰三角形的性质

三线合一

等腰三角形

2.等腰三角形的判定一等角对等边

1.互逆命题和互逆定理

，性质一线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

2.线段垂直平分线-(

逆命题与逆定理I判定—到线段两端距离相等的点再线段的垂直平分线上

，性质一角平分线上的点到角两边的距离相等

3.角平分线-(

I判定一角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

知识清单

14.1命题、定义、定理与证明

命题：数学中的命题是能判断真假的陈述句。一般形式为“如果…那么…

定义：对某个概念进行明确说明，用以区分其他概念。

定理：经过逻辑推理证明为真的命题。

证明：通过一系列逻辑推理步骤确认某一命题的真实性。

14.2三角形全等的判定

全等三角形的判定条件：两个三角形全等表示它们可以完全重合。

边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全笔。

边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

斜边宜角边（HL）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。

143等腰三角形

等腰三角形的性质：两腰相等。底角相等。顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

等腰三角形的判定：如果一个三角形有两条边相等，则这个三角形是等腰三角形。如果一个三角形有

两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。

14.4逆命题和逆定理

互逆命题和互逆定理：原命颍与其逆命题的关系应明确。

线段垂直平分线：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等。

易错总结

一、命题部分易错点：

1学生可能难以区分命题与非命题，例如，他们可能会错误地认为描述性语言或疑问句是命题。

2在理解真命题与假命题时，学生可能会混淆条件与结论，导致判断错误。

二、定义、定理与证明部分易错点：

1学生可能对定理和定义的理解不够深入，导致在证明过程中无法准确应用。

2在证明过程中，学生可能会忽略某些已知条件或中间步骤，导致证明不完整或错误。

三、全等三角形的判定条件易错点：

I学生可能会混淆不同的判定条件，例如将边角边与角边角混淆。

2在应用判定条件时，学生可能会忽略某些细节，如对应边或对应角必须完全相等。

四、边角边、角边角、边边边、斜边直角边判定易错点：

1在使用边角边判定时，学生可能会错误地认为只要两边及夹角相等，两个三角形就一定全等，而忽

略了这两边必须是对应边。

2在使用角边角判定时，学生可能会忽略角必须是两边的夹角这一条件。

3边边边判定相对简单，但学生可能会在应用时忽略所有三边必须对应相等。

4斜边直角边判定专用于直角三角形，学生可能会在非直角三角形中错误地应用此判定。

五、等腰三角形的性质易错点：

1学生可能会混淆等腰三角形的底角和顶角，导致在应用性质时出错。

2学生可能会忽略等腰三角形的对称性，导致在解决问题时无法准确利用这一性质。

六、等腰三角形的判定易错点：

I在使用等腰三角形的判定定理时，学生可能会忽略条件中的“在同一个三角形中”这一前提。

2学生可能会混淆等腰三角形的判定与性质，导致在证明过程中无法准确应用。

七、互逆命题和互逆定理易错点：

1学生可能会难以理解互逆命题的概念，即原命题的条件与结论互换后形成的命题。

2在判断逆命题的真假时，学生可能会忽略对原命题的深入理解和分析。

八、线段垂直平分线、角平分线易错点：

I学生可能会混淆线段垂直平分线和角平分线的性质和应用场景。

2在应用这些性质时，学生可能会忽略某些细节，如垂直平分线必须平分线段且垂直于该线段等。

易错训练

题型01真、假、逆命题

1.下列命题是假命题的是（）

A.同位角相等，两直线平行

B.2+306

C.经过同•平面内三点中的任意两点一定能画三条直线

D.所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数

2.下列命题是真命题的是（）

A.相等的角是对顶角

B.如果。是线段48的中点，那么/也=28。

C.若x?=4,则x=2

D.如果4C=8C,那么点C是48的中点

3.把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式

4“.如果〃?，〃互为倒数，那么=的逆命题是命题(填“真”或“假”).

5.已知命题”等底等高的两个三角形的面积相等”.

(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明：若是假命题，请举出一个反例.

(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假.若是真命题，请给予证明：若是假命题，请举出一个反

例.

题型02全等三角形的性质

1如.图，AABCm/\CDA,N8/C=85。NB=65。,则/。。度数为()

AD

/X/

BC

A.65°B.85°C.30°D.35°

2如.图，在△力8C中，CDS干点、。,E是CD卜一点，若"DE知84,J«=14,AC=\0,则八月力片的

周长为（）

A

A.2dB.23C.22D.26

3如.图，△AB84DEC,若N4C8=40。,ZJCE=20°,则4CD等于_______.

厂

CD

4.如图其中点.4,E,B,。在一条直线上，若/lZ)=9cin,BE=5cm»则力石的长为___

cm.

FC

M

AE-----

5.如图，在△力中，ADJ.BC干点D,点、E在AB边上,连接CE交4D于点F,△ABDWACFD.

A

（1）若8。=4,4。=12,求△/13C的面积；

（2）试判断/也与W之间的位置关系，并说明理由.

题型03全等三角形的判定——边角边

1.如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（）

C.ZBOC=ZAOED.ZAOD=^COD

2.要测量4〃间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案:

方案n

方案1

①如图2,选定点。；

①如图1，选定点。；

②连接AO.BO,并分别延长到点F,E,

②连接力。，并延长到点C，使。。=。力，连接

使08,0^=04；

BO,并延长到点。，使。。二08：

③连接测量）的长度即可.

③连接OC,测量OC的长度即可.

图1

对于方案I,n,下列说法正确的是（）

A.I可行、II不可行B.I不可行、H可行C.I、II都不可行D.I、II都可行

3如图，在△尸力/?中，//=//?分别是P4.PR.//?上的点，且<4%=,RN=AK*/MKN=,

则/P的度数为

4.如图，AB、CQ表示两根长度相同的木条，若。是力8、CO的中点，经测量力C=9cm,则容器的内径力8

5.景德镇龙珠阁自唐以来，几度兴毁，成为反映景德镇千年历史的代表性建领，琳琳楣利用五一假期测量其

底部宽度，力，8两点分别为底部的两端.因为力，8两点间的实际距离天法直接测量，琳琳设计出了如下

方案：在平地上取一个可以直接到达点力，8的点。，连接力。，并延长到点C,连接力。，并延长到点

使。。=力。，DO=BO,连接。C,测得CQ=38m（假设力，B,0,C,。均在同一平面上），请根据琳琳

的方案，求48间的实际距高.

题型04全等三角形的判定——边角边

1.如图,在四边形彳8CO中，AB=AD,NB4D=NBCD=900,连接XC.若彳。=6,则四边形48CO

面积为()

D

C

A

B

A.18B.24C.36D.48

2.如图，在ZUBC中，BE平分N/1BC交4c于点E,ZBEC=90°,过点£作OE〃火交48于点。，延长

4c至点F,连接所，若N8b=ll5。，则Z/1QE的度数为()

3.如图，在△力8c中，48C=9O。，AB=BC,。是8C上一点，连接力。，过点力AE1AD,且力七二力。，

连接EC交48于点凡若8。=3.3,BF=2.3,则的长度为.

4.如图，在Rt448C中，/历1C=9O°,CQ是ZUBC的角平分线，/E_LCO于点E,连接3石，48=6,力。=8,

BC=10,则△/8E的面积是.

5.如图，在ZU8C中，BD,CE分别是4C边，48边上的高，8。与C£相交于点/，且仍=EC,连接OE.

(1)试说明：NABD=NACE；

(2)试求/EQC的度数：

(3)若点尸是CE的中点，则8。一。。=〃?。/，试求机的值.

题型05全等三角形的判定——角边角与角角边

1.如图，点。在408的边上，用尺规作图：

①以点。为圆心，以任意长为半径画弧，交04于点。，交0B于点号

②以点。为圆心，以0D的长为半径画弧，交C3于点a

③以点〃为圆心，以OE的长为当径画弧，交前弧于点P：

④作射线CP:

下列结论不一定正确的是（）

A.Z.A0E=APCFB.OD=CPC.DE=0ED.CP=CF

2.如图，五边形/fBCOE中，AB=BC=3,AE=ED=4,+=180。，M为边CZ）的中点，BM=5,

EM=6,则五边形//CQ£的面积为（）.

3.如图，点C,E分别为△43。的边60,4?上的点，AE=AD,CE=CD,/D=75°,Z£CD=140°,则

的度数为，

4.如图，在ZM8C中，4=40。，点。为线段4。上一点，连接4）,点8关于4。的对称点为点"，连接原

与线段4c交于点E,当△Q8Z中有两个角相等时，/BAD=

A

5.阅读下列材料，完成相应的任务

全等四边形

根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等.在“探索三角形

全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探

索三角形全等的条件”的方法探索，泗边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形488和四边形

HB'C'Z)'中，连接对角线NGAC,这样两个四边形全等的问题就转化为

““。。知4仁6”的问题.若先给定△相。々△力力'。’的条件，只要再增加两个条件使“A/CQgA/fCTy”即可

推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等“，从而说明两个四边形全等.

按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形4BCO和四边形'先给出如下条件：AB=AB，

NZJ=NB'，AC-AC，，小亮在此基础上又给出“4。=/£).,两个条件，他们认为满足这五个条

件能得到“四边形力8。丝四边形48‘C'Q'"

任务：

(1)请根据小明和小痉给出的条件，请根据全•等•图•形••的•定•义说明四边形力8。。且四边形HA'CTT的理由.

(2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“力。=/万，NBCD=NB5”.满足这五个条件.

(填“能”或“不能”)得到四边形ABCD^四边形A'B'CD1.

题型06全等三角形的判定——斜边直角边

1.如图，AB=DE,AB〃DE,添加下列条件，仍不能判断4乂8。刈4。石厂的是()

A.BC=EFB.AC=DFC.AF=DCD.BC//EF

2.下列选项中，可以判定△//<?0尸的是（）

A.4=/。，/B=/E,ZC=ZF

B.AB=DE,AC=DF,ZB=/E

C.N/=/E,AC=DFZC=NF

D.AB=DENB=NE,BC=EF

3.如图，PA上ON于点、A,PBtOM于点B,且PA=PB.若NMON=50°,则NPQ4的大小为

4.如图，在4/台。中，/B/1C=45°,CDLAB,垂足为点。，若4E=8。，4。=28。，则△48C和△/日7

的面积之比为

5.如图，在△力AC中，/48C=90。，点七在8c上，点尸在⑷？的延长线上，连接力E,CF且4E=CF,

BF=BE.求证：AB=CB.

题型07等腰与等边三角形的性质与判定

1.如图，在ZU8C中，AB=3,BC=5,N8=60。，将△力8C绕点A顺时针旋转得到ZUOE,当点8的对应

点D恰好落在8c边上时，则CO的长为（）

E

CDB

A.1B.2C.3D.4

2.如图，在等边△/AC中，“月和C。分别是NC和4?边上的高，旦相交于点。，则。的度数为（）

A.100°B.120°C.150°D.160°

3.如图，在四边形力8c。中，BC=CD,NADB=NACB=900,/CAB=/CBD=18。,P为KB上一动点,

在运动过程中，OP与4c相交于点M,当△CDW为等腰三角形时，NPOC的度数为.

4.如图，在△48C中，NB4C=45°,以8c为边向外作等腰直角△8CQ,NC8O=90。，连接/。，若/C=6,

5.已知：△/BC为等边三角形，点。、E分别为8c边上一点，AE.CO相交于点RBD=CE.

AAA

图1图2备用图

(1)如图I,求乙4广。的度数;

(2)如图2,连接86并延长，与4C相交于点G,点M为6尸延长线上一点，M尸=8尸，点N为CO延长线

上一点，4M=120',AACF=2ACBG,求证：CN=2AG：

⑶在(2)的条件下(可使用备用图)，若春8州的面积为2,AF+GC=DF+\f直接写出点4到4。的距

离与点N到/必的距离之和.

题型08角平分线与线段垂直平分线结合

1.如图，在WBC中，NBAC的角平分线AD与BC的垂直平分线GD交于点D,DEJ.AB于同E,DF1AC,

交NC的延长线于点?若4B=6,AC=4,贝lJZ?E的长为()

A.1B.2C.3D.4

2.如图，NA4c的角平分线力力与线段8C的垂直平分线。G交于点。，过点。作OE人43,DF1AC,

垂足交相的延长线于点交4c于点/，若?!E=10cm,8c=12cm,则△/8C的周长为()cm.

A.32B.34C.22D.16

3.在△/仍C中，N/14C的角平分线8。与边8。的垂直平分线E尸相交于点尸，连接C77,若N4=70。,

N4?O=25。，则/力。〃的度数是,

4.如图，在BBC中，ZBAC的角平分线AD与BC的垂直平分线GD交于点D,DEJ.AB于点、E,DFJ.AC,

交NC的延长线于点Z7.若48=6,4c=4,则8E的长为.

5.如图，△/!〃。的外角平分线力。与边4c的垂直平分线交于点D,DF±CA,DGL/B,垂足分别为尸、G.

（2）若48=18,AC=6,求力/的长度.

（3）直接写出N力。8、ZADC.N*OG之间的数量关系.

题型09全等模型（一线三等角，手拉手，倍长中线等）

1.如图，C为线段/E上一动点（不与点力，石重合），在酢同侧分别作等边△力灰?和等边/CZ）,AD与BE

交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点、Q,连接P。.以下结论不正确的是（）

A.AD=BEB.DE=DPC.AP=BQD.ZJO/y=60°

2.如图，ZU8C和△OEC均为等腰直角三角形，且//。？=/。。£=90。，点/、/）、£>在同一条直线上，CM

平分/QCE,连接8E.以下结论：®AD=BE,②CWJL4E：®AE=BE+2CM；®S&COE=SiBOiU.正

确的有（）

3.如图，边长为6的等边△力8。中，6尸是/C上的中线且8/=3有，点。在6尸上，连接力。，在力。右侧

作等边△力。E,连接£7、则尸的周长最小值为

4.如图，MBC和都是等边三角形，连接/。、BE交于点、P,AD.BC与BE、CO分别交于M、N,

则下列说法中：①AD=BE；②N4P8=60°；③当从C、E三点共线时，CM=CN；④点。在4所的角

平分线上.正确的有.

5.我们知道，如果一个三角形的两边长分别为。，b,其中a”,那么第三边长c的范闱为"b<c<a+b.小

明提出问题：第三边上的中线长度与。，〃有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长巾线构造全等

三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中.如图1,延长40至E,使得QE=4。，

连接C£,可得△彳。40△E。。.

hE

A

图1图2

（1）如图1,在△力〃。中，力。是4C边上的中线，若48=6,AC=4,求力。的范围.

（2）如图2,在△/AC中，力七是〃。边上的中线，BD平分NABC,交AE于点、D.若NDBE+NBAE=NCAE,

说明BD=AC；

（3）如图2,在（2）的条件下，若AB=2AE,NABC=a,/。=产，直接用等式表示。，尸之间满足的等量

关系.

题型10全等与等腰三角形动点求t

1.如图，48=4cm,AC=BD=3cm,/BAC=NABD,点夕在线段上以Icm/s的速度由点力向点9运

动，同时，点。在线段8。上由点月向点。运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运

动时间为f（s）,若存在某一时刻使△力。与尸。全等，则点。的运动速度为（）

1、33

C.—cm/s或一cm/sD.lcm/s或一cm/s

2222

2.如图,在ZU3C中,力〃=〃C=4C=16,点〃从点A出发，沿折线力一〃以每秒4个单位长度

的速度向终点A运动.点N从点2?出发，沿折线8->C->4以每秒2个单位长度的速度运动.A/,N两点同

时出发，点/停止时，点N也随之停止。设点A/运动的时间为/秒.当/BMN=90。时，/的值为（）

10C.3.2或6D.3.2或10

3.如图，C4148于点A,AB=8,AC=4,射线8Ml力夕于点8,一动点E从A点出发以2个单位/秒

沿射线44运动，点。为射线上一动点，随着£点运动而运动，且始终保持EQ=C4,若点£经过/秒

则/的值为..秒・

90°,AC=6cm,8c=8cm,直线/经过点。且与边力8相交，动点P从点

4出发沿/fCf8路径向终点8运动；动点。从点8出发沿8fCT力路径向终点A运动.点〃和点0

的运动速度分别为lcm/s和2cm/s,两点同时出发并开始计时，当点尸到达终点8时计时结束.在某时刻分

别过点P和点。作尸E_L/于点E,QFLl于点F,设运动时间为t秒，则当/=时，APEC与bQFC

全等.

5.如图，已知△力8c是边长为6cm的等边三角形，动点尸、0同时从4、8两点出发，分别沿力3、BC方向

匀速运动，其中点尸运动的速度是lcm/s,点。运动的速度是:cm/s,当点。到达点C时，P、。两点都

停止运动，设运动时间为/S,解答下列问题.

①②

(1)80=cm；BQ=cm；(用含/的代数式表示)

(2)