高一数学（人教A版）试题必修二课时跟踪检测（五十二）古典概型的综合问题

课时跟踪检测(五十二)古典概型的综合问题(满分80分，选填小题每题5分)1．小林打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)2．从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3,4，6}中随机地取一个数b，则向量m＝(b，a)与向量n＝(－1,2)垂直的概率为()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)3．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)4．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,8)5．若a∈A且a－1∉A，a＋1∉A，则称a为集合A的孤立元素．若集合M＝{1,2,3,4,5,6}，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为()A.eq\f(3,20) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,7)6．(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是()A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是eq\f(1,2)B．每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16C．每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是eq\f(1,2)D．每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为167．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两个数，则两个数都是偶数的概率是________.8．从1,2,3,4,5,6中随机选取2个不同的数字组成logab(a>0，且a≠1)，则恰好能使得logab<1的概率是________.9．(10分)为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：时间t/min[0，12)[12，24)[24，36)[36，48)[48，60)[60，72]人数1036341064(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数；(同一组数据用该组区间的中点值作代表)(2)用分层随机抽样的方法从使用手机时间在[48,60)和[60,72]的两组学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人来自不同组的概率.10.(15分)已知函数f(x)＝ax2－bx－1，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{2,4,6,8}，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对(a，b)．(1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)”，求事件A的概率；(2)记事件B为“方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(fx))＝2有4个根”，求事件B的概率.11．(15分)某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次．(1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率；(2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？课时跟踪检测(五十二)1．选C记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为A，B，C，D，则从这四个项目中任意选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种，所以所求概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).2．选D依题意，向量m＝(b，a)的不同结果有(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(6,0)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共12个，由m·n＝－b＋2a＝0，得b＝2a，则m⊥n的事件有(4,2)，(6,3)，共2个，所以向量m＝(b，a)与向量n＝(－1,2)垂直的概率为P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).3．选A∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴共含有12个样本点．函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增，①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②当a≠0时，需要满足eq\f(b,a)≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增的概率是P＝eq\f(5,12).4．选B日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从题中条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天．设日销售量为20个的3天分别记为a，b，c，日销售量为21个的2天分别记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种，其中选出的2天的日销售量都为21个的情况只有(A，B)1种，所以所求概率为P＝eq\f(1,10).5．选C集合M＝{1,2,3,4,5,6}的三元子集有{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,5}，{1,4,6}，{1,5,6}，{2,3，4}，{2,3,5}，{2,3,6}，{2,4,5}，{2,4,6}，{2,5，6}，{3,4,5}，{3,4,6}，{3,5,6}，{4,5,6}，共20个．满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,6}，{2,4,6}，一共4种．由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).6．选ACD记4件产品分别为1,2,3，a，其中a表示次品．样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,3)，(2，a)，(3，a)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故A正确；每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)}，因此n(Ω)＝12，故B错误；“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为eq\f(1,2)，故C正确；每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，故D正确．7．解析：从5个数字中不放回地任取两个数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都是奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，故所求概率P＝eq\f(3,10).从5个数字中有放回地任取两个数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)，共4个，故概率P＝eq\f(4,25).答案：eq\f(3,10)eq\f(4,25)8．解析：用(a，b)表示随机选取的2个不同的数字，则试验的样本空间是Ω＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}，共包含25个样本点，记能使得logab<1(a>0，且a≠1)为事件A，则A＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}，共包含15个样本点，故所求概率P＝eq\f(15,25)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)9．解：(1)由题意得，随机选取的该校这100名学生每日使用手机的时间的平均数为eq\x\to(x)＝6×eq\f(10,100)＋18×eq\f(36,100)＋30×eq\f(34,100)＋42×eq\f(10,100)＋54×eq\f(6,100)＋66×eq\f(4,100)＝eq\f(2736,100)＝27.36(min)．所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27.36min.(2)由分层随机抽样的方法知，抽取的5人在[48,60)组的有3人，记为a，b，c，在[60,72]组的有2人，记为A，B，从5人中抽取2人的所有样本点为ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB，共10个，来自不同组的样本点为aA，aB，bA，bB，cA，cB，共6个，故所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).10．解：(1)由题知a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,6,8}，所以数对(a，b)的可能取值为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)共16对．若函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，则函数f(x)的对称轴为x＝eq\f(b,2a)＝1，即b＝2a，所以满足条件的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，共4对，所以事件A的概率为P(A)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).(2)因为a>0，二次函数开口向上，所以方程|f(x)|＝2有4个根，即为f(x)＝2和f(x)＝－2，各有2个根，所以二次函数f(x)＝ax2－bx－1的最小值小于－2.所以eq\f(－4a－b2,4a)<－2，即b2>4a，满足条件的样本点有(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,6)，(4,8)，共11对，所以事件B的概率P(B)＝eq\f(11,16).11．解：(1)3个红球分别记为1,2,3,1个黑球记为a,1个黄球记为b.从袋中依次不放回地取出2个球，所包含的样本点为(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1，a)，(2，a)，(3，a)，(1，b)，(2，b)，(3，b)，(a，b)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b，a)，共20个，有黄球的样本点为(1，b)，(2，b)，(3，b)，(a，b)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b，a)，共8个，所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).(2)从袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，所包