三角形的边角关系（三角形中的经典模型）分层作业（原卷版）-2024沪科版八年级数学上册

13.1三角形的边角关系（三角形中的经典模型）

题型一A字模型

I基础达标题鬣三罂,

题型向老鹰抓小鸡模型

题型一三角形折直模型

—（能力提升题）——题型二三角形双角平分线模型：两内）

三角形中的经典模型题型三三角形双角平分线模型［—内T卜）

题型四三角形双角平分线模型，：两外）

题型五高+角平分线模型

y拓展培优题）

基础达标题

题型一A字模型

1.（2021九年级•全国•专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若N1=120°,那么Z3-Z2的度数为

2.（2021九年级•全国•专题练习）如图，VA8C中，ZA=65°,直线OE交A3于点D,交AC于点E,则

ZBDE+ZCED=（）.

A.180°B.215°C.235°D.245°

3.（2021九年级•全国•专题练习）如图所示，的两边上各有一点RC,连接3C,求证

ZDBC+NECB=180。+“

题型二8字模型

1.（24-25八年级上•安徽安庆・期（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称

之为"和谐8字形”，则ZA、NB、NC、之间的数量关系.

（2）在图2中NDAB和/SCO的平分线八P和C尸相交于尸点，交叉形成了多个“和谐8字形"，若ND=42。，

ZB=38°,那么一尸的度数是____.

2.（24-25八年级上•江西南昌•阶段练习）【模型理解】（1）如图1,48和CO交于点0,求证:

4+NC=N8+NO.

【模型应用】（2）如图2,AE,CE分别平分/3AO,/BCD,求证：ZB+ZD=2ZE.

图2

3.（22-23八年级上♦新疆乌鲁木齐,期中木1）模型:如图1,AD,8C交于。点.求证：ZD+ZC=ZA+ZB.

（2）模型应用：如图2,N3AO和N3C。的平分线交于点E.

①若N£>=20°,N3=60。，则一£的度数是？

②直接写出/E与ND,N8之间的数量关系是：

（3）类比应用：如图3,N8AO的平分线AE与N8C。的平分线CE交于点E.若NO=〃?。，ZB=n°,

（鹿<〃）.求-E的度数.（用含有加，〃的式子表示）

4.（23-24八年级上•辽宁丹东•期末）【数学模型】

"8字型〃是初中数学”图形与几何〃中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.如图1,AD,BC

交于。点，根据“三角形内角和是180。"，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①NOOC=NAO3（对

顶角相等）；@ZD+ZC=ZA+ZB.

【提出问题】分别作出-BAO和NBC。的平分线，两条角平分线交于点E,如图2,NE与ND,23之间

是否存在某种数量关系呢？

【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究.已知N84。的平分线与N8CO的平分线交于点七.

⑴如图2,ZD=30°,NB=50°,则/E的度数是多少呢？

易证NO+N1=NE+N3,Z£?+Z4=ZE+Z2

请你完成后续的推理过程：

.♦.ZD+N1+ZB+N4=

­/CE,AE分别是NBCQ,244）的平分线

/.Z1=Z2,/3=/4

,-.2ZE=

又•••/。=30°,ZB=50°

;.NE=度.

⑵在总结前面问题的基础上，借助图2,直接写出NE与/力，之间的数量关系是：.

【类比应用】

（3）如图3,2胡。的平分线AE与N8CO的平分线CE交于点£.

已知：ND=a,NB=/7,（。<夕）则N£=.（用a、4表示）

题型三飞镖模型

1.（2021九年级•全国♦专题练习）如图，已知在VABC中，NA=40。，现将一块直角三角板放在V49C上,

使三角板的两条直角边分别经过点8,C,直角顶点。落在VA8C的内部，则Z48O+NACO=（）.

A.90°B.60°C.50°D.40°

2.（23-24七年级下•陕西西安•阶段练习）如图1,凹四边形A8DC形似圆规，这样的四边形称为“规形〃.

模型探究

（1）如图1，在规形ABOC中，请探究NA、NB、ZQN。之间的数量关系，并说明理由.

实践应用

（2）应用（1）中探究的结论解决下列问题：

①如图2,在规形A4OC中，N43Z）与ZA8的角平分线如、CE交于点E,若NBDC=145。,4=85。,

则/BEC的度数是。；

②如图3,在规形A8DC中，若ZBACN8DC的角平分线AE、DE交于点E,且N8>NC,试探究

NENB、NC之间的数量关系，并说明理由.

E

图3

3.（24-25八年级上•山东青岛•期末）【建立模型】如图1,在ZA内部有一点尸，连接族、CP,求证:

ZP=Z1+ZA+Z2；

【尝试应用】如图2,利用上面的结论，直接写出五角星中，NA+N3+NC+NO+NE=度；

【拓展创新】如图3,将五角星截去一个角后多出一个角，求4+N8+NC+NO+NE+NG的度数.

【提升思维】如图4,将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和

4+NA+NC+ND+NE+NF+NG+N4+N/+ZJ的度数是度.

A

A

JGA.

BEB

B

PC'll

2JG

iEF

B70

DC

CC图3图4

图1图2

题型四老鹰抓小鸡模型

1.（23-24八年级上•重庆永川•期中）一张三角形纸片部分如图所示,将/A折叠，EO为折痕，A点落在A

的位置，若44=60。，则7Voe=

R

2.（24-25八年级上•天津•期中）如图，把V/WC纸片沿MN折叠，使点C落在VA4C内部点C处,若NC=36。,

则Z1+N2等于

3（24-25八年级上•广西南宁•阶段练习）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇

到这样一个问题：如图①，N1与N2分别为VABC的两个外角，求证：Zl+Z2=180°+ZA.

（1）以下是小明给出的部分推理过程，请你帮他完成证明

【推理证明】团N1与N2分别为VABC的两个外角,

0Z1=ZA+Z4,Z2=ZA+Z3,

0Z1+Z2=00

【应用】利用（1）中所证明的结论解决下列问题：

（2）如图②，在V4BC纸片中剪去得到四边形BCOE,若Nl=130。，Z2=100°,请直接写出NA

的度数，不需要说明理由；

⑶如图③，在VA4C中，BP、CP分别为外角—03C、NEC4的平分线，猜想NP与/Af勺数量关系，

并说明理由.

4.（24-25八年级上•全国•期中）如图，把VA3C纸片沿。七折叠，当点A落在四边形3c内部时，

⑴写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

⑵设的度数为x,2AOE1的度数为V,那么Nl,N2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式

表示）

⑶NA与N1+N2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律（写过程）.

B能力提升题

题型一三角形折叠模型

1.（24-25七年级下•江苏南京・期末）如图，将VA8C纸片沿QE折叠，点A的对应点为N.若/1+/2=146。,

则N3+N4=。.

2.（22-23七年级下•江苏宿迁・期田）如图，V48c中N4=40°,E是AC边上的点，先将△ABE沿着把翻

折，翻折后的边AB交4C于点。，又将ABC。沿着6。翻折，点。恰好落在上的点G处，此时

4DC=82。，则原三角形的的度数为.

3.（2024八年级上•黑龙江•专题练习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片八BC,沿。E折叠，使点A落

（1）如图①，若NA=40。，则/1+/2=°；

若ZA=55。，则Nl+N2=。；

若ZA=〃。，则Nl+N2=°；

【探索证明】

（2）利用图①，探索NLN2与/人的关系，并说明理由;

【拓展应用】

（3）如图②，把VABC折叠后，用T平分/工CA'平分N4C8,若Nl+N2=108。，利用（2）中的结

论求NBAC的度数.

4.（24-25八年级上•河南，累河•阶段练习）如图所示，把V/WC沿。K折叠,

图⑶

⑴当点C落在四边形3cOE内部时，NC与/I、N2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这

个规律，请你写出规律并证明你的规律.

（2）当点A落在四边形AC上方时，4与Nl、N2之间数量关系是

⑶当点八落在四边形BC下方时，/C与N1、N2之间数量关系是

题型二三角形双角平分线模型（两内）

1.（24-25八年级下•甘肃武威•开学考试）如图，在V48C中，/4BC与/AC8的平分线交于点尸，若N4=40。,

则/BPC=.

2.（24-25八年级上•四川自贡•期末）如图，在VA8C中，NABC,2AC8的平分线屏:，C。相交于点扛

ZABC=46°fZ4=62°,则NB/C

3.（24-25八年级上•江西上饶•阶段练习）如图，VA4C的NA8C和2AC8的平分线//、b相交于点G,

则/BGC与NA的数量关系是

题型三三角形双角平分线模型（一内一外）

1.124-25八年级上•安徽六安•期末）如图，在VA3C中，/A8C和外角乙48的平分线交于点儿，得/4；

NA8C和NA。。的平分线交于点&,得已知乙&、NA、NA的和为84。，则乙4=

2.124-25八年级下•河北石家庄•期中）如图，在△ABC中，乙4二夕度，ZABC与4C。的平分线交于点A,

则倒A=一；团4/。与EMC。的平分线交于点&,得团&；......团4侬43c与幺gC。的平分线交于点人以,

得鱼&o”.则团人025=一°

题型四三角形双角平分线模型（两外）

1.（24-25八年级上•广东汕头•阶段练习）如图①，在VA4c中，/A8C与—AC6的平分线相交于点尸.

AA

⑴如果/B4C=a,求-3PC的度数；（用含。的式子表示）

⑵如图②，作VA4c外角NA73C,NNC4的角平分线交于点。，直接写出/Q与N3P。之间满足的数量关

系;

⑶如图③，延长线段BP、QC交于点E,若NQ=^NE,求NA的度数.

2.（22-23七年级卜・・吉林长春•期末）【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了卜.面的这个问题：

如图①，在V4BC中，BP平分/ABC,C2平分/4CB,请你判断工人和NP间的数量关系并说明理由.

刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程.

解：结论：NP=.

理由：国3。平分NA3C,CP平分NAC4,

^ZPBC=-ZABC,NPCB=L/ACB.

22

0ZP=18（r-NPRC-Z.PCB

=1S0°-1（Z>4fiC+ZACT）

=18O°-^（I8O°-ZA）

【模型发展】如图②，点夕是VABC的外角平分线〃〃与C夕的交点，请你判断上A和上〃间的数量关系弁

说明理由.

【解决问题】如图③，在VA8C中，B尸平分NABC,C尸平分ZAC8,点Q是△P8C的外角平分线4Q与

CQ的交点.若NA=68。，则NQ=度.

图①图③

题型五高+角平分线模型

1.（24-25八年级上•安徽宿州•期末）如图，在VABC中，A。是VA8C的高，AE是NB4C的平分线，BF总

ZABC的平分线，A£BF相交于点。ZBAC=50。,NC=70°.

⑴求NA4五的度数：

⑵求N4O3的度数.

2.（24-25七年级上•山东淄博•阶段练习）（1）如图①所示，在V4BC中，AD,AE分别是VAEC的高和角

平分线，若NB=20。，ZC=60°,求NDAE的度数.

（2）如图②所示，已知A尸平分284C,交边8C于点E,过点尸作FD_LBC于点。，ZB=x°,ZC=（x+30）°.

①NCAE=_；（用含"勺式子表示）

②求N厂的度数.

3.124-25八年级上砌南长沙•开学考试）如图，在VABC中，CO是AB边上的高，CE是24CB的平分线.

c

（1）若乙4=42。,/8=66。，求N7X石的度数：

⑵若〃求NOCE的度数（用含尸的式子表示）.

4.（24-25八年级上•广东汕头•期中）已知，如图，在VA3C中，AD.AE分别是VA3。的高和角平分线,

（1）若N3=40。，ZC=60°,求—DA石的度数；

⑵若—8为x,NC为y,求与x、y的关系.

拓展培优题.

1.（24-25八年级上•河北保定•期末）已知在VA8C中，44=60。.

在图（1）中，ZABC./AC8的平分线交于点。1，则计算可得/3。。=120。；

在图（2）中，设/ABC、NAC8的三等分线相交于点。一。?，则计算可得/8QC=100。：

在图（3）中请你猜想，当/ABC、/ACB同时〃等分时，等分线分别对应交于。|、。：…QT,则N80“C=

（用含〃的代数式表示）.

2.（20-21七年级下•山西临汾•期末）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形〃，试说明：

Z4+ZB=ZC+ZD.

(2)如图(2),AP,“分别平分NR4D,NBCD,若NABC=36。，ZADC=16°.求NP的度数.

(3)如图(3),直线AP平分4ADCP平分N8CO的外角N8CE,猜想/尸与ZB、ND的数量关系是

(4)如图(4),直线”平分/朋。的外角NE4DCP平分NBCD的外角猜想与4、ND的

数量关系是

3.(22-23七年级下•河南南阳•期末)⑴如图1,在中，点尸是NA8C和NAC8的角平分线的交点，请

你判断NP与NA之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,在四边形ABCD中，点P是N48C和NOC8的角平分线的交点，请你用/人和一。表示

并说明理由：

⑶如图3,在四边形AAC力中，/4+/。＜180。，一夕是-ABC的平分线所在直线与外角/QCE的平分线

4.如图1所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图〃，请发挥你的

聪明才智，解决以下问题：

⑴观察“规形图〃，试探究N8。。与NA、NB、NC之间的关系，并说明理由;

⑵请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2,把一块三角尺XYZ放置在VABC上，使三角尺的两条直角边XKXZ恰好经过点8、C,若

4=50。，直接写+的结果；

②如图3,DC平分NADB,反:平分NA£B,ZDAE=50°,ZDBE=130°,求NOCE的度数：

③如图4,的10等分线相交于点G1、G?、…、G9,若NBOC=140。,NBG/=77。，求/A的

度数.

5.（24-25八年级上•贵州黔南•期中）问题情境：

如图1,在VA3C中，NA8C和NAC3的平分线交于点P.

⑴探索发现：若4=60。，则一尸的度数为；若/4=130。，则NP的度数为.

⑵猜想证明：猜想NA与一尸之闰的数量关系，并证明你的猜想.

⑶拓展应用：如图2,在V/WC中，N/WC和—AC3的平分线交于点尸，NP4C和NPC3的平分线交于点

片，直接写出NA与之间的数量关系.

6.（24-25八年级上•全国•期末）如图1,线段A0与8c相交于点O,连接AG80,我们把这样的图形称

为"8字形〃，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形〃中相关角度的数最关系.

图1图2

⑴请通过观察、测量，猜想图1中Z4+NC与4+NO之间的数量关系，并说明理由；

⑵如图2,奋斗小组在图1的基础上，分别作与NC8D的平