人教版高中数学必修第二册题型考点讲义：解三角形与平面向量结合问题（解析版）

第12讲解三角形与平面向■结合问

【例I］在"6。中，已知3=30°/=1,则而.正的最小值为（）

【答案】D

LilliUUU

【分析】先求得三角形A8C外接圆的半径，结合数量积的定义以及二次函数的性质求得4氏/1。的最小值.

【详解】设三角形A8C外接圆半，圣为「，则一勺=—\=2=2/=r=l,

sinBsin300

所以“BC的外接圆半径为1,A为钝角时，AaAC取到负值；

如图，E为的中点，衣在A月上的投影向量为AD；

由麴•/二|丽，阿・cosA可知当Ad在Ag上的投影长最长时，

即。。与圆。相切时，那.避可取到最小值；

ABAC=-网网=-21福.（1-网）=2研-2网，

当网=；时，2囤2-2河=-；，所以道.髅•的最小值为-；.

乙乙乙

故选：D

【例2】在中，^BC=—,AC边的中点为。，且,则646c的最大值为（）

A.2B.3C.25/3D.4

【答案】D

【分析】由已知可求|丽+配耳2丽卜2,两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求

胡4C的最大值.

【详解】解：如图，在“3。中，AC边的中点为D

由BO=1,可得：|丽+阮|=|2叫=2

BA+BC2+2BAI3C=4，

:.\BA\2+[fiC|2+2fi/\||BC|cosZAfiC=4,可得：|胡『+|沅|2=4+忸川・|比|,

•・・|丽『+国『词丽卜|明,

.•.4+1明・|沅|之2|明・|国,可得：\BA[\BC\<4,（当日仅当网=|园=2时等号成立）

则843C的最大值为4.

故选：D.

【例3】在A/WC中，乙ACB为钝角，AC=BC=1,W=xCA+yCB，且x+y=1.若函数|CA-//ZCB|

（〃正R）的最小值为亭，则pg的最小值为（）

A.1B.1C.JD.也

422

【答案】C

【分析】由题意可得前I的最小值为A8边上的高，由函数々〃）二|这一I的最小值为等

即点4到

8c边的距离为且，可求出乙4C8=120°,即可求出|加I的最小值.

2

【详解】法一：由前=xCA+yCB,且x+y=l,可知4,。，3三点共线，

所以1诙1的最小值为AB边上的高，又4C=BC=I,即。为/W的中点，

且函数加）=|笈前I的最小值为直，即点4到BC边的距离为立.

22

0

又AC=1,所以乙4C3=120。，在“1BC中,|co|mn=|Xc|sin30=^,

从而可得0加的最小值为!.

故选：C.

法二：由函=XCA,且r+y=1,可知A,。，8三点共线，

所以I诙I的最小值为A8边上的高.

设乙4cg的夹角为0,所以

|C4一机C,=CA+in'CB-2mCA-CB=1+in2-2〃?cos。=(m-cos^)'+sin，。

依题，可得/2。=2冈皿=虫,因为。是钝角，所以"与.

423

o

在AABC中,|cS|mjn=|Ac|sin30=1,

从而可得I否I的最小值为

故诜：C.

【例4】在平面四边形A8CZ)中，N8W=3()o,NABC=75。，N4)C=105。，AB=2,AO=#.若点E为

线段。。上的动点，则荏.废的最小值为()

【答案】B

【分析】取48中点为产,结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果.

【详解】根据题意，连接EAE3,取A8中点为尸，作图如下：

而而=丽・丽=［巨誓］-［巨咨］=/—而2=帚_］,

在三角形AOF中，由余弦定理可得：。产=4-2Gcos30o=l,即1,

则=力=30。，故4FDE=75。,

显然当且仅当产E_LOC时，|司取得最小值，

故|研=sin75°xDF=,乔?_］的最小值为-1=」+日.

min41,24

即斯•鹿的最小值为」+且.

24

故选：B.

【例5】在△回(?中，角A、R、C的对边分别是“、b、c,且满足(2a-c)丽屈=c•丽.

(1)求角8的大小；

(2)若。=6,求△ABC的面积S的取值范围.

【答案】⑴84

⑵用］

【分析】(1)利用平面向量数量积的定义以及正弦定理化简得出8sB的值，结合角3的取值范围可求得角

。的值；

(2)利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出S=gsin(2A-£,求出角A的取值范围，结合正

216；4

弦型函数的基本性质可求得S的取值范围.

(1)

解：由(2a-c)画.比=cC8Gf可得(2r/-c)cacos/6=c•而cosC,

所以,(2a-c)cosB=bcosC,

由正弦定理得(2sinA-sinC)cos8=sin8cosc,

/.2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sinA,

•.•A、Be(O,n),则sinA>0,所以.cosB=^,故8=1.

ZJ

(2)

b

解：由正弦定理可得=2,贝iJa=2sinA,c=2sinC,

sinAsinCsinB

：.S=-acsinB=—ac=\/3sinAsinC=>/3sinAsinA+—

243J

忌in/，sin4+立cos^>|=-sin/\cosA+—

sin2/l=-sin2^--cos2A+

2222444

=—sinf2A--71+立

264

c.27c_.71-▲7t7

vO<A<—,贝ij_二<24一二<-r,所1以t,sinl2A--^eJ

36664

sinf2A--^j+

故s=W

【例6】在"8C中，角A,3,。的对边分别是a,b,c,满足(c-2a)cos8+儿osC=().

(1)求4B的值；

(2)已知。在边AC上,且AO=3£>C,BD=3、求AABC面积的最大值.

【答案】(Dy；

【分析】(1)利用正弦定理可得sinA=2sinAcos8,从而可求8=?.

一1一3一

(2)利用向量可得4。=;氏4+；8c,平方后结合基本不等式可得改<16,从而可求面积的最大值.

【详解】(1)•••(C-24)COSB+ACOSC=0,由三角形正弦定理可得

(sinC-2sin4)cosB+sin8cosc=0

gp(sinCcosB+sinBcosC)-2sinAcos13=0sin(Z^+C)-2sinAcosB=0

B+C=TV,

：.sin(8+C)—2sinAcosB=sin(4-A)-2sinAcos3=sinA-2sinAcosB=0,

ttsinA=2sinAcosB,

•.•4是々ABC的内角,

/.sinA^O,cosB=；,而8为三角形内角，

3

(2)因为而=3反，所以丽一丽=3(前-丽)，

—1—3—

所以3O=-BA+—8C,

44

pjf)^9=—BA+-BC2+-BA-BC,t^9=—c2+—a2+—ac

16168,161616

339

由基本不等式可得92工。。+*。。=/。。，故acW16,

81616

当且仅当。=竽,c=46时等号成立，

故面积的最大值为,x16x3=4后

22

【例7】在A/WC中，>/2sinA-cosA=1.

(1)求cosA;

(2)D在边BC上，BD=2DC,|通卜2,求小8。面积的最大值.

【答案】d)!；

⑵逑.

4

【分析】(1)将已知条件两边平方得到sin2A=2&sinAcosA,结合三角形内角性质求得

tanA=2>/2>0，进而可求cosA.

(2)由而=g而+|怒，根据已知模长及向量数量积的运算律可得9而'《丽衣+1/2=4,结合

27

基本不等式求得反4二，进而求面积最大值，注意等号(最大值)成立条件.

4

(I)

由题设(&sin4-cosA)?=2sin2X-2\/2sinAcosA+cos2A=1,

所以sin?A=2夜sinAcosA,又sinA>。,故tanA=2&>0,

所以0<4<g,故cosA=g.

4J

⑵

A

____2__2__i_2_

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

PJT^TD2=(-AB+-AC)2=-AB'+-ABAC+-AC2=4,

33999'

14,Jl,4-4,161抬入,27

贝milj-c2~+—bc+4-bL-2=4>2j-c~-b~+—bc=—be，故权——，

9279V992727,4

所以“IBC面积S="!■权节吊人工,乂口乂延二逑，当且仅当c=2〃=亚时等号成立，

224342

故MAC面积的最大值为辿.

4

【题型专练】

1.AABC的内角A丛C的对边分别为。，/?,c,0-0,则4=()

nc兀「兀-2兀

A-7B7C?D-T

【答案】B

【分析】根据数量积的定义可得劭cosC=8"。，根据正弦定理边角互化即可求解.

【详解】因为四=""一'),所以"cosC="2叱”,gP2h=c+2^zcosC,

22

由正弦定理可得2sin3=sinC+2sin4cosC,2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,

所以sinC=2cosAsinC,且sinCH0,贝jicos4=，,Ae(0,7i),所以A=E.

23

故选:B

2.如图，在aABC中，NB4c=：,而=2丽，P为CO上一点，且满足A户=〃乂。+；4月，若

|祠=2，网=3，则|AP|的值为()

C

P

A

DB

B.李C.平D・平

A.岳

【答案】B

【分析】设5=丸8,根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出4、加的值，依题意可得△ADC

为等边三角形，求出CP,再由余弦定理求出加，即可；

【详解】解：设声=/诙,

_______2_2__1__

贝ljAP=AC+CP=AC+ACD=AC^A(^AB-AC)=-AAB+(\-Z)AC=-AB^mAC,

3

1幅，解得，

4

m=1-Zm=

4

因为网=3,所以AQ="/3=2,又|狗=2,ZBAC=^,所以/WX7为等出三角形，

JJ

所以J，

J•/•

由余弦定理AP2=AC2+CD2-2ACCDcosZACD=22+(|)

l-2x2xrrj

所以人半；

故选：B

3.在"BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2b=2,且方•丽=-；,则。=（）

A.2B.2x/2C.y[5D.瓜

【答案】D

【分析】根据向量的数量积以及余弦定理即可求解.

■—,―111

【详解】由C4,C8=—得〃Z?cosC=—,又。=2/?=2,故cosC=—,

2f2

由余弦定理，得c「=/+〃-2a/?cosC=4+l-2x2xlx(-；=6,故c=".

故选:D.

4.在△川（:中，角A3,C的对边分别为a5,c,若丽.比=丽.尤=1,贝Ijc的值为（）

A.1B.V2C.2D.4

【答案】B

【分析】由向量数量积运算法则及正弦定理得sin（A-8）=0,求出A=3,a=b,再利用余弦定理求出

C=y/2•

【详解】由题意得：cbcosA=caeonB=1,

因为CH。，所以8cosA=acos3,

由正弦定理得：sinBcosA=sinAcos,

即sin8cosA-sinAcos8=sin（A-3）=0,

因为ABw（0,7i）,

所以一%㈤，

故A—8=0,即,

则,

由余弦定理及c-bcosA=l得:cbh~+C-~a-=1,

2bc

即二=1,解得：c=&

故选：B

5.已知△A8C满足网飞q二84。，则“8。的形状为（）

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用向量数量积将原式化简，再利用正弦定理和三角恒等变换判断出的形状为等腰三角形.

【详解】|同飞吟二函.以二网同.85人，贝IJ网=2同.cosA,

由正弦定理可得sinC=2sinA-cosA,

则sin[兀-(/4+B)]=2sinB-cosA,即sin(A+B)=2sinB-cosA

即$in(A-8)=。，所以NA=N3,aABC的形状为等腰三角形，

故选：C.

6.在"IBC中，内角ABC的对边分别是“也c,/?sinC=V3(tf-/?cosC).

(1)求角8的大小；

(2)若点。满足a而”反，且|&)|=26,求d8。面积的最小值.

【答案】⑴8

(2)4X/3

【分析】(1)由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；

1757^1IDCIc【"BC•BD•sinNDBC

(2)由题意得色=黑，进而利用三角面积可转化需------------------=—，从而有

c1犯1皿S«BDL.AB-BD-sinZABDAB

2

sinZDBC=sinZABD,再由面积公式与基本不等式求解即可

(1)

囚为〃siiiC=\/5("一,所以sinBsiiiC=x/5(siiiA-siii6cusC).

因为sinA=sin(B+C)=sin8cosC+cosBsinC

所以sinBsinC=百(sinBcosC+cosAsinC-sinAcosC)=GcosBsinC.

因为sinC*0,

所以tanB=y/3.

又因为0<8(兀

所以8g

(2)

因为aAZ5=cOC,

所以点。在线段4c上，且乌二空.

c|AD\

iTSZic—,BC-BD-sinZ.DBC

因为些二撮=24

AB

1犯SQBDAB-BDsin^ABD

2

所以sinN£>3C=sinNAB£>,

即B。为NA8C的角平分线.

由｛1）得八方，

所以NABD=/CBD=三.

6

由%收=53。+5谶6,得:acsingngaBDsinm+:cBDsin?,

232O2o

即4C=2（。+C）24\/^^,得4CN16,当且仅当〃二C•时，等号成立，

SUfC=-acsin—>—x16sin—=45/3.

3取2323

故面积的最小值为4G.

7.已知在△ABC中，角4,8,C的对边分别为a,b,c,.

①岛一石ccos8+/;sinC=0;②生三十.：m30(3)cos2+cos2C-1=0.

a+bsinA+sinC22

请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答：

(1)求角。的值；

01

(2)若c=26前=；。"且|而=&,求5.国的值.

【答案】(Dy

⑵-1

【分析】(1)若选①，由正弦定理及正弦的两角和可得，若选②，由正弦定理及余弦定理可得，若选

③，由余弦的二倍角公式可得；

(2)由平面向量的数量积及余弦定理可求解.

(1)

若选①，由已知有GsinA-石sinCcos8+sin欣inC=O，又因为，在Zi/WC中，有

sinA=sin(B+C)=sinAcosC+cosKsinC,

所以有5/5(sin13cosC+cos5sinC)->/3sinCcosZ?+sinBsin。=0,

•(匕简得J5sin8cosC+sinBsinC=0,由于OvB〈不，所以sin5K(),

2

所以有6cosC+sinC=0,于是有tanC=-\/5,因0<C</r,所以得C=~y.

sinB

若选②,由■+,=0,

a+hsinA+sinC

u-cb-).72»z-,a~+b~-c~

得-------H------=0=>a~+b-c—-ab=>cosC=--------------

a+ba+c2ab

因OvCv%,所以C=尊

J

若选③，S2cos2+cos2C-1=0,

有cos(A+5)+cos2C=0=>2cos2C-cosC-1=0,

从而有(cosC-1)(2cosc+1)=0,解得cosC=