解直角三角形实际应用（测试）原卷版

第12讲解直角三角形实际应用

（限时120分钟,满分120分）

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

I.在RS48C中，ZC=90°,AB=\（）i4C=8,则cosB的值等于（）

3435

A.-B.-C.-D.-

5543

2.如图，在△入8c中，ZC=90°,设NA,ZB,NC所对的边分别为出b,c,则（）

A.a=bsinBB.b=csinBC.a=btanBD.h=ctanB

3.在正方形网格中，N/3AC如图所示放置，则cosN/MC等于（)

4.如图是梯子两梯腿张开的示意图，A8=AC=2米，梯腿与地面的夹角/AC8=0,则梯子顶端高水平地

面的高度A。可表示为（）

A.2sin6米B.2cos8米c高米D.3小

cosO

5.在△A8C中，若NA,N8满足|cos4-苧|+（1-£即8）2=0,且NA,N4均为锐角，则NC的度数

为（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

6.要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50。S区75。，如果

现在想要安仝地攀上5切高的墙，那么使用的梯子最短约为（）〃?.（结果精确到0.1,〃）（sin50%0.77,

cos50°^0.64,sin75°~0.97,cos75°~0.26)

A.4.9B.5.2C.6.5D,19.2

7.静止在斜面上的立方体受到的重力和摩擦力如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力/的方向与斜

面平行.若斜面的坡角a=18。，则重力G与摩擦力/的夹角。的大小为（）

A.162°B.108°C.72°D.18°

8.如表是小林填写的实践活动报告的部分内容:

题目测量孔子像的高度

测量目标及其示意

图

相关数据8七=1.8机，CD=2.0/M,Za=20°,Zp=62°

根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（）

（结果精确到0.1处参考数据：tan20OY）.36,tan62%1.88）

A.39〃B.3.8/nC.3.6wD.3.4w

9.如图，在RsABC中，NACB=90。，点。为/W上一点,连接CO.若tanA=：,BC=CD=2,则4。

的长为（）

D.2Vs

10.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆

合体，而无所失矣”.即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆

内接正十二边形，内接正二十四边形，…，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长.再

根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率.设圆的半径为R,图1中圆内接正六边形的周

长/6=6R,则兀。枭=3.再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结

C.Zi2=24/?sin30°D./i2=24/?cos30°

填空题（共5小题,满分15分，每小题3分）

11.在RsABC中，ZB=90°,sinC=则cos4=.

12.如图，在4x3的网格图中，点A、8、C、。都在小正方形的顶点上，A/ACQ相交于点E,则sinNBEO

的值是________________

13.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳.小敏设计了一种衣架，在使用

时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆CM=（M=20a*/AO8=120。；若衣架收

拢时，NAO8=60。,如图②所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了cm.（保留一位

小数，V3«1.73)

图①图②

14.如图，在△ABC中，ZACT=120°,AC=BC,E是边BC上的一点，尸是延长线上的一点，G为

A尸的中点，连接EG.若CF=2BE,则lan/GE/7的值为

15.如图，在矩形/WC。中，"=4,/1/）=!（）,E,b是BC边上两点，且8E=3,CF=2,连接AF,DE,

AF和DE交于点G,连接BG,则cosZABG的值是_______________________.

三,解答题（共8小题，满分75分）

16.（7分）如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆八8的高度，站在教学楼的。处测得旗

杆底端4的俯角为60。，测得旗杆顶端A的仰角为30。.若旗杆与教学楼的距离CO=6米，求旗杆A3

17.（7分）2025年1月7日凌晨4点，长征三号乙火箭携尾焰腾空巨响，将实践二十五号卫星送入预定

轨道.这一伟大时刻，凝聚着无数航天人的智慧与汗水，承载着中华民族对宇宙探索的梦想与追求.如

图，运载火箭从地面。处发射，当火箭到达点A时，地面。处的雷达站测得人。=4（场〃，2秒后，火箭

竖直上升到达点B处，此时地面C处的雷达测得B处的仰角/OCB=45。，O,C,。在同一直线上，

已知。0=20bkm,CQ=4.6b〃，求火箭从4到8处的平均速度.（结果精确到M〃心，参考数据：W工

1.732）

18.（7分）为切实保障学生睡眠质量，某校使用了一批如图I所示的可躺式课桌椅.该套课桌椅在某种躺

睡模式下的侧面（材料厚度忽略不计）如图2所示，椅子的椅面AB与地面MN平行，桌腿PQ及椅腿

C。都垂直于地面MN,CD=40c7H,PQ=68C"1,椅背8E=S6cm,此时椅背最高点E刚好落在桌面”G

上，椅面与椅背BE构成的夹角/ABE=135。，桌面/G与桌腿PQ构成的夹角/尸PQ=37。，求此

时点E到地面的距离及点E到点尸的距离.（结果精确到01c孙参考数据：sin37°=0.60,cos370=0.80,

tan37°==0.75,V2«1.41)

图I

19.（9分）小明从家4步行前往公园E,已知点E在点4的正东方向，但是由于4E道路施工，小明先沿

正北方向走了600米到达8处，再从8处沿北偏东60。方向行走600米到达。处，从。处沿正东方向

走了500米到达。处，在。处休息了6分钟，最终沿Q-E方向到达E处，已知点E在点。的南偏东

45。方向.小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线A-F-E后步行前往E处，已知点少在点4

的南偏东60。方向，且点/；在点七的正南方向.（参考数据：V2«1.414,V3«1.732）

（1）求AE的长度（结果精确到1米）；

（2）已知小明步行速度为80米/分钟，爷爷步行速度为70米/分钟，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请

计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（结果保留一位小数）

20.（9分）综合与实践.

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方

法.

【实践活动】如图1,小明、小亮分别在点B,C处同时测得热气球4的仰角NABO=45。，NACO=53。,

BC=I5〃7,点B,C,D在地面的同一条直线上，ADLBD于点O.（测角仪的高度忽略不计）

【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度

474

（参考数据：sin53°右q,cos53°«tan53°«

oFo,o

【方法归纳】小亮发现,原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：

从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案.

爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高.根据他的想法与思路，完成以下填空：

（2）如图2,在锐角三角形"C中，设/4BC=a,BC=m,ADLBC于点D,用含a,p

和的代数式表示AD.

解：设A/）=x,因为iana=

所以叱嬴・

同理，因为12呻=器=5，

所以CD=①_______________________.

因为BC=BD+CD=m,

解得.『②_______________________.

即可求得4D的长.

21.（9分）广州地铁经过多年的发展，地铁出入口更加人性化和便民化.如图1是某地铁出入口，有步梯

和电梯两种由地下层通往地面层的出入方式.其截面如图2所示，A/3是由地下直通地面的电梯，AC,

CD,DE,EF,FB是步梯，AC,DE,/步的倾角相同，CD,Eb与地面平行.已知电梯/W全长30米，

倾角NB4H为37。，。。=后尸=3米.

（1）求地面层与地下层的垂直高度8"；

（2）求步梯AC的倾角NCAH的正切值和步梯通道的全长.

参考数据：sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°~0.75.

22.（13分）探究发现：多出来一块巧克力

现有一块4x6的巧克力板，每小块巧克力是边长为1的正方形，海燕先从两边端点M、N处斜向切开再

从点£处向下切开（如图1）,与MN交于点£把巧克力分成八。、K三块（如图2）,再将这三块重

组合起来（如图3）,海燕惊喜地发现巧克力居然多出一块.于是海燕猜想按照这样不停地操作下去，

有吃不完的巧克力了.

（1）海燕猜想是否正确;

二

2

\一

NN

MM(F)

图4

23.（14分）某校数学活动小组的同学要借助尢人机测量某山坡上信号塔顶端E到地面的距离EE

活动内容测量信号塔顶端到地面的距离EF

活动目的运用锐角三角函数知识解决实际问题

测量工具无人机、测量角度的仪器、皮尺等

测量示意说明：如图为信号塔和建筑物的侧面示意

图