吉林省长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2025-2026学年九年级上册1月期末数学试题（含答案）

九年级数学学科试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为（

）A．8 B． C．9 D．3．用配方法将方程变形为，则的值是（

）．A． B． C． D．4．若，则下列等式成立的是（

）A． B． C． D．5．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，且的面积为1，则的面积为（

）A．2 B．4 C．6 D．96．如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（

）A．8米 B．20米 C．25米 D．32米7．如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（

）A．B．C．D．8．如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．32x+20x﹣2x2＝540B．32x+20x＝32×20﹣540C．（32﹣x）（20﹣x）＝540D．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．9．计算：．10．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则．11．若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是．12．下表是一位同学篮球罚球的实验结果，根据表中数据回答问题：实验总次数100200300500150020003000投中的次数61931652467539961503投中的频率0.6100.4650.5500.4920.5020.4980.501根据表中的数据，估计这位同学下一次投篮投中的概率为．（结果保留两位小数）13．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点、、，和点、、．已知，，，则的长为．14．如图，在中，，平分交边于点D，交边于点E，M为线段的中点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④当，时，．上述结论中，正确结论的序号有．三、解答题：本题共10小题，共78分．15．计算：．16．解方程：．17．“石头、剪刀、布”是一个广为流传的游戏，游戏时，甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假设甲乙两人每次都等可能地做这三种手势．用画树状图或列表的方法，求乙获胜的概率．18．学校图书馆去年年底有图书万册，预计到明年年底增加到万册．求这两年的年平均增长率．19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．

(1)在图①中的边上确定一点D，连结，使得；(2)在图②中的边上确定一点E，连结，使得；(3)在图③中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结，使得．20．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与底面成角，这座金字塔原来有多高（结果取整数）？21．【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角．【问题解决】如图②，为测量信号塔的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为米，其眼睛到地面的距离为米，同时测得小明到镜子的水平距离米，信号塔到镜子的水平距离米．请根据以上数据，求信号塔的高度．22．【知识储备】如图①，在中，点D是的中点，，则与的数量关系为______；【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题：如图②，在中，点D是边的中点，点E是边上一点，且，、相交于点．求证：．小明同学发现：如图③，可以过点D作，交边于点F，从而可以得到，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程：证明：如图③，过点D作，交于点F．∵，点D是边的中点，∴点F是的中点，∴．请你补全余下的证明过程．【拓展迁移】如图④，在中，点D是边的中点，点E是边延长线上一点，且，射线DA与射线相交于点O，则线段和线段的数量关系是_____．23．如图，用总长米的篱笆靠墙围成如图所示的①②③三块矩形区域（墙足够长），且三块区域面积相等，设长为米．(1)求证：；(2)的长为_____米，的长为______米；（用含的代数式表示）(3)当矩形的面积为平方米时，求的长．24．如图，在平行四边形中，，，．点O是边上一点，．动点P从点O出发，沿折线运动至点C停止，当点P不与点O重合时，连结，将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，连结．(1)点B到直线的距离为_________；(2)当时，求的长度；(3)当点Q到的距离为3时，求此时点P运动过的路径长；(4)连结，当时，直接写出的长．参考答案1．C解：∵有意义，∴，∴．故选：C．2．B解：∵是方程的根，∴，即，∴．故选：B．3．B解：，移项得：，配方：，即：，与比较可得：．故选B．4．AA、由可得：，符合题意；B、由可得：，不符合题意；C、由可得：，不符合题意；D、由可得：，不符合题意；故选：A．5．B解：∵和是位似图形，，，，，，，的面积为1，，故选：B．6．D解：、分别为、的中点，是的中位线，，米，（米）．故选：．7．B解：在Rt△ABC中，米，，∵，∴，故选：B．8．C解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为32﹣x，宽为20﹣x，∴可列方程为：（32﹣x）（20﹣x）＝540．故选C．9．2解：．故答案为：2．10．解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且，∴，解得：，故答案为：．11．解：∵一元二次方程有两个相等实数根，其中，，，∴，解得．故答案为：．12．解：由表中数据可知，随着试验次数增加，频率逐渐稳定：1500次时频率为，2000次时为，3000次时为，这些值均接近，因此估计投中的概率为（保留两位小数）．故答案为：．13．解：∵，，已知，设，则，再由，，可得：，化简后交叉相乘：，，解得，故．答：．14．①②④解：①∵，，∴，又∵平分，∴，∴，故①正确；②∵，点M为线段的中点，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，，∴，故②正确；③∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故③错误；④由③可知，，∵，，∴，设，则，∴，，∴，∴，∴，故④正确；综上，正确结论的序号有①②④．故答案为：①②④．15．解：原式．16．，解：，配方得，即，开方得，解得，．17．解：根据题意，树状图如下：由图可知，两人做出手势的所有等可能结果共有9种，乙获胜的结果共有3种，故乙获胜的概率，答：乙获胜的概率为．18．这两年的年平均增长率为解：设这两年的年平均增长率为，根据题意列方程得，即，解得，（负值舍去），即：．答：这两年的年平均增长率为．19．(1)见解析(2)见解析(3)见解析（1）如图①，点D即为所求．

；（2）如图②，点E即为所求．

；（3）如图③，点M，N即为所求．

；20．解：如图所示∵底部是边长为130m的正方形，∴BC=m，∵AC⊥BC，∠ABC=65°，∴AC=BC•tan65°≈139m．答：这个金字塔原来有139米高．21．信号塔的高度为20米．解：∵，，∴，∴，即，∴（米）．答：信号塔的高度为20米．22．（1）；（2）见解析；（3）解：知识储备：∵点D是的中点，，∴，∴；故答案为：；类比探究：证明：如图③，过点D作，交于点F．∵，点D是边的中点，∴点F是的中点，∴．∵，∴，∵，∴，∴；拓展迁移：过点作，如图所示：∵，点D是边的中点，∴点是的中点，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．23．(1)见解析(2)，(3)米（1）证明：矩形②与矩形③面积相同，且两矩形高相等，则底相等，，四边形是矩形，，，，矩形①与矩形②面积相同，，，．（2）解：由题意和（1）可知，米，，，则米，米，米．故答案为：，．（3）解：已知米，根据矩形性质可知米，根据题意可得，化简得，即，解得，故米．答：米．24．(1)8(2)(3)点运动过的路径长为5或13(4)或（1）解：如图，过点作延长线交于点，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴点到直线的距离为8；故答案为：8；（2）解：如图，点在线段上，当时，，过点作交于点，过点作交于点，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，设，则，，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，整理得，，∴（负值舍去），∴；（3）解：①当点在上时，如图，过点作交于，则，由题意知，，∴，∴，∴，∴，∴点运动过的路径长为5；②当点在上时，如图，过点作交于，交于，则，∵，又∵