（艺术生）2026年高考数学一轮复习讲义+基础巩固练习 三角函数 第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念（教师版）

第第页第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(精讲）第一部分：知识点必背1、角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．③终边相同的角：终边与角相同的角可写成．2、弧度制的定义和公式①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：；．若一个角的弧度数为，角度数为，则，．3、任意角的三角函数3.1.单位圆定义法：任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．3.2.终边上任意点法：设是角终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为（）那么：；；（）角不存在4、扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．(2)扇形面积公式5、三角函数线三角函数线正弦线：余弦线：正切线：6、常用结论（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.（2）角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.角度制弧度制（3）象限角：象限角集合区间第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角（4）轴线角角终边所在位置角度制弧度制角终边在轴非负半轴角终边在轴非正半轴角终边在轴非负半轴角终边在轴非正半轴角终边在轴上角终边在轴上角终边在坐标轴上高频考点一：象限角角度1：确定已知角所在象限例题1．给出下列四个命题：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角．其中正确命题的个数有（

）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】对①：是第四象限角，故①正确；对②：，故其为第三象限角，故②正确；对③：，又是第四象限角，故是第四象限角，③不正确；对④：，又是轴的负半轴，故不是象限角，④不正确.故正确的有2个.故选：B.例题2．若是第二象限角，则是第______象限角．【答案】一【详解】若α是第二象限角，则，，所以，，即，，所以180°－α是第一象限角．故答案为：一.练透核心考点1．已知角，则的终边在（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【详解】因为，而，所以的终边在第三象限.故选：C.2．是第______象限角.【答案】二【详解】．而是第二象限角，因此是第二象限角．故答案为：二角度2：由已知角所在的象限确定某角的范围例题1．若是第四象限角，则是第（

）象限角A．一B．二C．三D．四【答案】B【详解】是第四象限角，则，，则，，在第二象限.故选：B.例题2．（多选）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【详解】因为角是第二象限角，所以，，对于A，，，故是第三象限角，故A正确；对于B，，，故是第一象限角，故B不正确；对于C，，，故是第三象限角，故C正确；对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确.故选：AC练透核心考点1．若α是第四象限角，则90º－α是（

）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【详解】由题知，，，则，在第二象限，故选：B2．若α是第四象限角，则π－α是第（

）象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【详解】∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－2kπ<－α<－2kπ＋，k∈Z，∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋π，k∈Z，故π－α是第三象限角.故选：C角度3：确定倍角（分角）所在象限例题1．已知是锐角，那么是（

）．A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角【答案】C【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.其中D选项不包括，故错误.故选：C例题2．已知是第二象限角，则终边在第__________象限.【答案】一或三【详解】由题意知，则，当时，，此时终边在第一象限，当时，，此时终边在第三象限.所以终边在第一和三象限.故答案为：一或三.练透核心考点1．（多选）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】ABC【详解】解：因为角是第一象限角，所以，，所以，，当，时，，，位于第一象限，当，时，，，位于第二象限，当，时，，，位于第三象限，综上可得位于第一、二、三象限；故选：ABC2．（多选）已知为第四象限角，则可能为（

）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】BCD【详解】由题意知为第四象限角，则,则，当时，，为第四象限角，当时，，为第二象限角，当时，，为第三象限角，即可能为第二、三、四象限角，不可能为第一象限角，故选：高频考点二：终边相同的角例题1．与终边相同的角是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】∵，∴与终边相同的角是.故选：D例题2．下列各组中，终边相同的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】C【详解】对A，与终边相同，与终边相同，A错；对B，与终边相同，与终边相同，B错；对C，与终边相同，与终边相同，C对；对D，与终边相同，与终边相同，D错.故选：C练透核心考点1．终边落在直线上的角的集合为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．故选：B2．与角终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】A错,,与角终边不同；B正确,,当时,得上的角为,与角有相同的终边；C错,,当时,得上的角为,与角终边不同；D错,,当时,得上的角为,与角终边不同,故选：B高频考点三：角度制与弧制度的相互转化例题1．在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，因为半径为，所以的圆心角所对的弧长为，故选：B例题2．将－1485°化成的形式是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，，，所以－1485°可化成．故选：D．练透核心考点1．把化成角度是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意，故选：B2．将化为弧度为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，所以.故选：D.高频考点五：弧长公式与扇形面积公式角度1：弧长的有关计算例题1．在直径为4cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，所以72°的圆心角所对的弧长为.故选：A.例题2．已知扇形的周长为6，圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为（

）A．2B．4C．6D．8【答案】B【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，则周长为6得：，所以扇形的弧长为：，故选：B.例题3．已知一个扇形的弧所对的圆心角是，半径，则该扇形的周长是______．【答案】【详解】根据题意可得，扇形弧长为，则扇形的周长为故答案为:练透核心考点1．秀峰公园里有块周长为46米的扇形花田，其弧长30米，则这块扇形花田的圆心角的弧度数是（

）A．B．C．D．120【答案】A【详解】设扇形的圆心角为，半径为,弧长为，则由扇形的周长为46得：，所以则，故选：A.2．已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的弧长为__________.【答案】【详解】设扇形的半径以及弧长分别为,故由面积公式可得,所以弧长为，故答案为：3．已知扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.【答案】【详解】解：因为扇形的面积公式为，所以.故答案为：角度2：与扇形面积有关的计算例题1．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（

）（）A．185B．180C．119D．120【答案】C【详解】设外弧长为，外弧半径为，内弧长为，内弧半径为，该扇面所在扇形的圆心角为,∵扇形的弧长为，∴，，∵扇形的面积为，∴该扇面画的面积为，故选：C．例题2．玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】如图，设，，由弧长公式可得，解得，，设扇形，扇形的面积分别为，，则该壁画的扇面面积约为．故选：A练透核心考点1．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（

）A．5B．6C．7D．8【答案】D【详解】设，则，所以，以，故选：D2．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图，这是折扇的示意图，已知D为OA的中点，，，则此扇面（扇环ABCD）部分的面积是_________.【答案】【详解】由题意可得整个折扇扇形的半径，圆心角，故扇面面积，故答案为：角度3：扇形中的最值问题例题1．已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（

）A．B．C．D．2【答案】D【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得，扇形面积为，当且仅当，即时等号成立，此时，则圆心角，故选：D.例题2．已知扇形的圆心角为，周长为4.那么当其面积取得最大值时，的值是______.【答案】2【详解】设扇形所在圆的半径为，由题意，，，所以，因此扇形面积为：，当且仅当，即时，取得最大值.故答案为：.练透核心考点1．已知扇形的周长为，则该扇形的面积S最大时，圆心角的大小为（

）．A．4弧度B．3弧度C．2弧度D．1弧度【答案】C【详解】设扇形半径为r，弧长为l．∵扇形的周长为，∴，即，∴，∴当半径时，扇形的面积最大，为，此时，．故选：C2．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．(1)若，，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．【答案】(1)；(2)扇形周长的最小值为，此时【详解】（1）因为，，所以扇形的弧长；（2）由扇形面积，得，则扇形周长为，当且仅当，即时，取等号，此时，，所以，所以扇形周长的最小值为，此时.角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用例题1．设圆心角为的扇形的弧长为，面积为，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：设扇形的半径为，则，所以又.故选：D.例题2．已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】当扇形的半径为，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积是.【详解】设扇形的半径是，扇形的弧长为，圆心角的弧度数是，则，.扇形的面积，可得当时，，又，所以.所以，当扇形的半径为，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积是.练透核心考点1．若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角的值为（

）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】设扇形的半径为，弧长为，因此，扇形的面积，由二次函数性质可知，当时，扇形面积取到最大值；此时，.故选：B2．炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为，则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为______cm.【答案】【详解】设扇形ABC的半径为，弧长为，则扇形面积.由题意得，所以.所以纸叠扇的周长，当且仅当即，时，等号成立，所以此时的长度为.故答案为：3．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为．若，，扇形的弧长为______；若扇形的周长为16，该扇形面积的最大值______.【答案】

16【详解】对于①，扇形的弧长；对于②，设半径为r，圆心角为（），则有，扇形面积

，当且仅当，即时等号成立；故答案为：①，②16.高频考点六：任意角的三角函数角度1：单位圆法与三角函数例题1．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由三角函数的定义可得.故选：A.例题2．设角的终边经过点，那么等于（

）A．B．C．1D．【答案】D【详解】解：因为角的终边经过点，所以，所以，故选：D练透核心考点1．已知角的终边与单位圆相交于点，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】∵已知角的终边与单位圆相交于点，∴.故选：A.2．已知角的终边经过点，则__________，__________，__________.【答案】

【详解】由题设，，，则.故答案为：，，角度2：终边上任意点法与三角函数例题1．若角的终边经过点，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】角的终边经过点，则，所以.故选：C例题2.角的终边经过点，则的值为________.【答案】##-0.3【详解】∵，，∴，∴；∴，故．故答案为：．例题3．已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，则______．【答案】【详解】∵角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，∴，∴，，∴故答案为：练透核心考点1．已知角的终边经过点，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为角的终边经过点，，所以.故选：A2．若角的终边上有一点，则______．【答案】【详解】由题意，P点在第一象限，P到原点的距离为，由正余弦的定义可知：；故答案为：.3．已知角终边经过点，且，则的值为_________．【答案】##【详解】，，.故答案为：.角度3：三角函数值符号的判定例题1．下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（

）A．①B．②C．③D．④【答案】C【详解】对于①：，对于②：，对于③：，因为，所以，即，对于④：因为，所以.故选：C例题2．若，且，则角是（

）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【详解】由，可得为第三、第四象限角及轴非正半轴上的角；由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角．取交集可得，是第四象限角．故选：D．练透核心考点1．若，且，则角是第（

）象限角．A．二B．三C．一或三D．二或四【答案】D【详解】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角所以为第三象限角，即，，为第二或第四象限角.故选：D.2．若是第三象限角，则下列各式中成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为是第三象限角，，A正确；，B错误；，C错误；，D错误.故选：A.第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念课后巩固练习1．某钟表里分针按正常方式走了2小时20分，则对应时针转过的弧度数为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】利用任意角的概念可得，顺时针方向旋转角为负角，一小时时针转过的角度为，2小时20分相当于小时，所以对应时针转过的弧度数.故选：B2．若是第二象限角，则一定是（

）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【详解】由与的终边关于x轴对称，可知若是第二象限角，则一定是第三象限角．故选：C．3．已知角的终边经过点，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为角的终边经过点，所以.故选：A.4．若角的终边经过点，则（

）A．B．C．