模拟测试卷04（新高考冲刺卷02）（教师版）

2024年高考押题预测模拟测试卷04（新高考冲刺卷02）（满分150分，考试用时120分钟）一、选择题1．复数与下列复数相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.【解析】由题设，，故A、C、D错误；而，故B正确.故选：B2．已知集合，，且全集，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的交集、并集、补集的运算法则求解.【解析】由已知得集合表示的区间为，集合表示的区间为，则，，，,故选：.3．在直角三角形ABC中，，若，则（

）A．－18 B．－6C．18 D．6【答案】C【解析】方法一：由三角形的边角关系可求得·＝0.再运用向量的加法用已知向量表示待求的向量·＝(＋)·代入可得选项；方法二：以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，得出点的坐标，运用向量的数量积的坐标运算可得选项；方法三：由三角形的角和边的关系得出在上的投影，在上的投影，利用向量的数量积的定义可得选项.【解析】方法一：由，得CB＝2，·＝0.·＝(＋)·＝·＋·＝(－)·＝＝18，故选：C.方法二：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2).由题意得∠CBA＝，又＝，所以D＝(－1，3)，则·＝(－1，3)·(0，2)＝18，故选：C.方法三：因为∠C＝，AB＝4，AC＝2，所以CB＝2，所以在上的投影为2，又＝，所以在上的投影为×2＝3，则在上的投影为3，所以·＝||·||cos〈，〉＝2×3＝18，故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积运算，常常运用定义法，坐标法，表示法求向量的数量积，属于中档题.4．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由已知条件求出的值，再利用三角函数恒等变换公式求出的值，然后对利用两角和的正弦公式化简计算即可【解析】由，得，所以，，所以，故选：A5．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（

）附：若：，则，，．A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773【答案】D【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解.【解析】骰子向上的点数为偶数的概率，故，显然，其中，，故，则，由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为.故选：D6．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】D【分析】由直线平分圆求出，再判断两圆的位置关系即得.【解析】由圆的面积被直线平分，得圆的圆心在直线上，即，解得，因此圆的圆心，半径，而圆的圆心，半径，显然，所以圆与圆外切.故选：D7．已知数列的各项均为正数，记，，，，设甲：是公比为的等比数列；乙：对任意，，，三个数是公比为的等比数列，则（

）A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据等比数列的定义及通项公式先考虑充分性，再考虑必要性即可.【解析】充分性：若是公比为的等比数列，则，，即，故，，三个数是公比为的等比数列，则充分性成立；必要性：若对任意，，，三个数是公比为的等比数列，当时，，，，则为公比是的等比数列.当时，有，即，又，则，即，则是公比为的等比数列，必要性成立.故选：C.8．已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由解析式可知为奇函数，进而可得的对称中心，根据满足的关系式，可得函数的对称中心，由两个函数的对称中心相同，即可判断出其零点的特征，进而求得个零点的和.【解析】因为的定义域为，关于原点对称，所以，所以函数为奇函数，关于原点中心对称，而函数是函数向右平移两个单位得到的函数，因而关于中心对称，函数满足，所以，即，所以函数关于中心对称，且，且，所以由函数零点定义可知，即，由于函数和函数都关于中心对称，所以两个函数的交点也关于中心对称，又因为恰有个零点，即函数和函数的交点恰有个，且其中一个为，其余的个交点关于对称分布，所以个零点的和满足，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系.二、多选题9．下列结论正确的是（

）A．一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为B．已知随机变量，若，则C．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中）D．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，“2枚骰子正面向上的点数相同”，则互为独立事件【答案】BCD【分析】根据相关系数的概念判断A，根据正态分布的方差公式及方差的性质判断B，根据卡方公式判断C，根据相互独立事件的定义判断D.【解析】对于A：若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为，故A错误；对于B：如，则，又，即则，故B正确；对于C：在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则，即也变成原来的倍，故C正确；对于D：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个，事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件包含的基本事件数为个，事件“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件包含的基本事件数为个，所以，，又包含的基本事件有个，所以，所以，则、互为独立事件，故D正确；故选：BCD10．已知函数，下列结论正确的是（

）A．若函数无极值点，则没有零点B．若函数无零点，则没有极值点C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点【答案】AD【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可.【解析】

，设若函数无极值点则，则，此时，即，所以，没有零点，如图①；若函数无零点，则有，此时，当时，先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；若函数恰有一个零点，则，此时，先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；若函数有两个零点，则，此时，先正再负再正，函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；所以AD正确.故选：AD.11．已知抛物线E：的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（

）A．若BF为的中线，则B．若BF为的角平分线，则C．存在直线l，使得D．对于任意直线l，都有【答案】ABD【分析】首先设直线的方程，并联立抛物线，根据韦达定理，再根据各项描述，抛物线的定义，即可判断选项.【解析】设题意，设，不妨令，都在第一象限，，，

联立，则，且，即，所以，，则，，如上图所示，A.若为的中线，则，所以，所以，故，所以，则，则，故A正确；B.若为的角平分线，则，作垂直准线于，则且，所以，即，则，将代入整理，得，则，所以，故B正确；C.若，即，即为等腰直角三角形，此时，即，所以，所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故C错误；D.，而，结合，可得，即恒成立，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据抛物线的几何关系，转化为坐标运算.三、填空题12．已知空间中三点，则点A到直线的距离为．【答案】【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解.【解析】，,，，设点A到直线的距离为，则.故答案为：.13．已知函数在上恰好有三个零点，请写出符合条件的一个的值：.【答案】7（答案不唯一）【分析】根据已知条件可以求出第一个零点，再由相邻的两个零点间的距离为半个周期，依次得到第二、三、四个零点，限定第三个零点在已知范围内，第四个零点不在范围内即可求解.【解析】，因为，且，令，则，所以位于正半轴的第一个零点为，又，故的第二个零点为，的第三个零点为，的第四个零点为，由题知在上有三个零点，故，解得，又因为所以的值可以为7或8或9.故答案为：7（答案不唯一）.14．为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为等份种植红、黄、蓝三色不同的花.要求相邻两部分种植不同颜色的花.如图①，圆环分成的等份分别为，，，有种不同的种植方法.

（1）如图②，圆环分成的4等份分别为，，，，有种不同的种植方法；（2）如图③，圆环分成的等份分别为，，，，有种不同的种植方法.【答案】18且【分析】（1）分类讨论不同色与同色两种情况，由分步计数原理得到结果；（2）由题意知圆环分为等份，对有3种不同的种法，对、、都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证与、3、不同颜色，但不能保证与不同颜色．在这种情况下要分类，一类是与不同色的种法，另一类是与同色的种法，根据分类计数原理得到结果．【解析】（1）如图②，当不同色时，有(种)种植方法，当同色时，有(种)种植方法，由分类加法计数原理得，共有(种)种植方法；（2）如图3，圆环分为等份，对有3种不同的种法，对都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证与、3、不同颜色，但不能保证与不同颜色．于是一类是与不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种．另一类是与同色的种法，这时可以把与看成一部分，这样的种法相当于对部分符合要求的种法，记为，共有种种法，这样就有，即，则数列是首项为，公比为的等比数列．则．由题意知：，则，.故答案为：18，（且．四、解答题15．的内角的对边分别为，已知.(1)求角的值；(2)若的面积为，求.【答案】(1)(2)2，2【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【解析】（1），由正弦定理可得：，，，即，，，，.（2）由题意，，所以，由，得，所以，解得：.16．如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．

(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值；【解析】（1）取中点，由正三棱柱性质得，互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，则．证明：，由，得，由，得，因为平面，所以平面．（2）

由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量，则,故，令，得面的一个法向量为，设二面角的值为，则，所以，二面角的正弦值为．17．软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010(1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中.认真完成不认真完成总计男生女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数.(2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：.0.100.050.012.7063.8416.635【答案】(1)20(2)分布列见解析，【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出的值，可得女生人数；（2）由分层抽样确定两组人数，根据的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望.【解析】（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生女生总计602080由题意可得，得.易知为5的倍数，且，所以，所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）.（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有（人），所以的所有可能取值为，，，，，.的分布列为：01234所以.18．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．(1)求曲线K的方程；(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值；(3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．【答案】(1)(2)(3)8【分析】（1）由题意动圆的轨迹满足抛物线的定义，所以得出抛物线的轨迹方程即可，（2）联立直线l与抛物线，求出的值，又，设出OP的方程，再联立抛物线求出的值，再求出，得出的值；（3）由于D、E在y轴上，设出D、E坐标，并求出，P点的横坐标即为的高，再求面积的最小值即可．【解析】（1）由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为，（2）设直线l的方程为，联立，消y得，∴，∴，

设，∴,又，∴∵，∴设直线OP的方程为，联立，消y得，∴，∴，∴，令，则，∴，∴，∴，故的值为，（3）设，直线PD的方程为，又圆心到PD的距离为1，即，整理得，同理可得，所以，可知b，c是方程的两根，所以，，

依题意，即，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时上式取等号，所以面积的最小值为8．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．19．给出下列两个定义：I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；(3)已知函数.①若的“自导函数”是，试求的取值范围；②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)既不充分也不必要条件；证明见解析(3)【分析】（1）由和，结合题设中函数的定义，即可得到答案；（2）由成立，得到，设，得出为“单向导函数”，再设，得到为“双向导函数”，结合不是常值函数，求得不是的必要条件；再由成立，得到，进而得出结论；（3）①由题意得到，求得；②由题意求得且