1.2直角三角形暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册 含答案

/北师大版八年级下册1.2直角三角形暑假巩固一、最短路径问题1.如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（）A.70cmB.350cmC.280cmD.300cm2.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（）A.30cmB.30cmC.60cmD.20πcm3.如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（）A.20cmB.24cmC.26cmD.28cm4.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为

cm．（杯壁厚度不计）5.一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需

米．6.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3）7.（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？二、勾股定理的的逆定理1.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列结论中不正确的是（）A.如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边B.如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形，且∠B是直角C.如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是直角三角形，且∠C是直角D.a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边2.如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF等于（）A.30°B.45°C.60°D.35°3.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A.直角三角形两个锐角互补B.三角形内角和等于180°C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形4.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝

°．5.已知两条线段的长为6cm和8cm，当第三条线段的长为_____cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）线段AC的长为

，CD的长为

，AD的长为

．（2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形．7.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．三、直角三角形的性质1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（）A.100度B.120度C.135度D.140度2.如图，直线a∥b,△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数（）A.100°B.105°C.110°D.120°3.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（）A.135°B.150°C.120D.110°4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD=15°，则∠ABE的度数为

.5.如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，EF∥BC，若∠1=50°，则∠C的度数为

.6.如图，Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，∠D=45°，∠B=30°，求∠1的度数．7.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）如图①所示，当点P运动至∠α=50°时，则∠1+∠2=

；（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．四、勾股定理的应用1.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（）A.2cm≤x≤5cmB.2cm≤x≤3cmC.4cm≤x≤5cmD.9cm≤x≤12cm2.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（）A.3米B.6米C.9米D.10米3.如图，有一根电线杆垂直立在地面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC＝6m，且和地面成60°，则电线杆引线处C离地面的高度（即CD的长）是（）A.3mB.mC.2mD.34.如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．则风筝的高度CE是

米．5.如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于

km．6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？（2）这片绿地的面积是多少？7.学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．五、勾股数1.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A.1，2，3B.1，，2C.0.3，0.4，0.5D.5，12，132.若3，4，a为勾股数，则a的值为（）A.B.5C.5或7D.5或3.下列说法正确的是（）A.的平方根是±4B.无限小数是无理数C.数轴上的点对应的数不是整数就是分数D.若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数4.若a，12，13是一组勾股数，则a＝

．5.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝

．（提示：5＝，13＝，…）6.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．（1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：

（最大数不超过18）；（2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．7.材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如：①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数．②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数．若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示）根据以上信息，解答下列问题：（1）试判断8，15，17是否为勾股数；（2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积；（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．六、勾股定理1.如图，字母A所代表的正方形的面积为（）A.4B.16C.36D.642.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BH平分∠ABC，BH＝6，P是边AB上一动点，则H，P之间的最小距离为（）A.2B.3C.4D.63.在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝6，b＝8，那么斜边c的长为（）A.6B.8C.10D.144.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为

．5.如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A，B，C，D的面积和是

cm2．6.如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1．（1）图1中正方形ABCD的面积为

，边长为

；（2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求：Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；Ⅱ．所作的正方形的边长为2．②请在图2中的数轴上标出表示实数2的点，保留作图痕迹．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．求：（1）AB的长；（2）CD的长．七、互逆命题与互逆定理1.下列命题中，①如果|x|=|y|，那么x=y；②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果m＞n,那么m2＞n2；④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B=180°，真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列命题中：（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）同一个角的两个邻角是对顶角；（4）有公共顶点且相等的两个角是对顶角；其中，互为逆命题的是（）A.（1）和（2）B.（2）和（3）C.（1）和（3）D.（1）和（4）3.已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（）A.如果a=b,那么|a|=|b|B.如果|a|=|b|，那么a=bC.如果a≠b,那么|a|≠|b|D.如果|a|≠|b|，那么a≠b4.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为

．5.命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是

命题．（填“真”或“假”）6.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．条件：

，结论：

．（填序号）证明：

．7.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②∠A=∠B；③CE平分∠DCA．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．八、用HL判定三角形全等1.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A.AB=ACB.∠BAC=90°C.BD=ACD.∠B=45°2.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A.AC=A′C′，BC=B′C′B.∠A=∠A′，AB=A′B′C.AC=A′C′，AB=A′B′D.∠B=∠B′，BC=B′C′3.能使两个直角三角形全等的条件是（）A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为

.5.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是

.6.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？7.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．

北师大版八年级下册1.2直角三角形暑假巩固（参考答案）一、最短路径问题1.如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（）A.70cmB.350cmC.280cmD.300cm【答案】B【解析】将圆柱表面切开展开呈长方形，则求螺旋线长为七个长方形并排后的长方形的对角线长，因为圆柱高2.1m，底面周长0.4m，x2＝（40×7）2+2102＝122500，解得x＝350，所以，彩带长至少是350cm．故选：B．2.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（）A.30cmB.30cmC.60cmD.20πcm【答案】B【解析】∵圆锥的底面圆周长为20πcm，∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm，设扇形的圆心角为n度，∴＝20π，解得n＝120，∴∠ABA′＝120°，作BC⊥AA′于点C，∴∠BAA′＝30°，∴BC＝15cm，∴AC＝15cm，∴AA′＝2AC＝30cm，∴这条彩带的最短长度是30cm．故选：B．3.如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（）A.20cmB.24cmC.26cmD.28cm【答案】C【解析】如图所示，将长方体的侧面展开，AC＝2（5+7）＝24（cm），BC＝＝10（cm），由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm），∴所用细线最短为26cm，故选：C．4.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为

cm．（杯壁厚度不计）【答案】【解析】如图，将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离，AC＝＝（cm）．答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm．故答案为：．5.一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需

米．【答案】13【解析】如图所示，∵AC＝12m，BC＝5m，∴AB＝（m）答：梯子最短需要13m．故答案为13．6.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3）【答案】解把圆柱体展开如图，∵点B应为展开图长方形一边的中点，∴AC为底面圆周长的一半，AC＝6cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm），∴红线的长为10×2＝20（cm），∴至少需红线20cm．7.（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】解（1）由题意得，该长方体中能放入木棒的最大长度是（cm）．（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，所以最短路程为cm；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（cm）．二、勾股定理的的逆定理1.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列结论中不正确的是（）A.如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边B.如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形，且∠B是直角C.如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是直角三角形，且∠C是直角D.a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边【答案】A【解析】A.∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝180°÷2＝90°，∴△ABC是直角三角形，a为斜边，符合题意；B.∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C.∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；D.∵a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，不符合题意．故选：A．2.如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF等于（）A.30°B.45°C.60°D.35°【答案】B【解析】连接EF．∴AE＝＝，EF＝＝，AF＝＝．∵AE2+EF2＝AF2，AE＝EF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝45°．故选：B．3.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A.直角三角形两个锐角互补B.三角形内角和等于180°C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形【答案】D【解析】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m，4m，5m，∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2，∴以3m，4m，5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选：D．4.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝

°．【答案】90．【解析】∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD＝AC＝3，∴AB＝AD+BD＝3+2＝5，∵BC＝4，∴AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．故答案为90．5.已知两条线段的长为6cm和8cm，当第三条线段的长为_____cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．【答案】10或2【解析】当6cm和8cm都是直角边时，第三边长为＝10（cm），当8cm为斜边时，第三边长为＝＝2（cm），故答案为：10或2．6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）线段AC的长为

，CD的长为

，AD的长为

．（2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形．【答案】解（1）AC＝＝；CD＝＝；AD＝＝5．（2）由（1）知AC2＝20，CD2＝5，AD2＝25，∴AC2+CD2＝AD2，故△ACD是直角三角形．7.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．【答案】解∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15，∴AB2+AD2＝BD2，BD2+BC2＝DC2．∴△ABD，△BDC是直角三角形．∴∠A＝90°，∠DBC＝90°．故这个零件符合要求．三、直角三角形的性质1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（）A.100度B.120度C.135度D.140度【答案】C【解析】如图，∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=180°-90°=90°，∵AD，BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA=×90°=45°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-45°=135°．故选：C．2.如图，直线a∥b,△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数（）A.100°B.105°C.110°D.120°【答案】C【解析】延长BC交直线b于点F，如图所示：∵∠ACB=90°，∴∠ACF=90°，∵∠1=20°，∴∠AFC=90°-∠1=70°，∵直线a∥b,∴∠DEC+∠AFC=180°，∴∠DEC=180°-70°=110°，∴∠2=∠DEC=110°，故选：C．3.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（）A.135°B.150°C.120D.110°【答案】A【解析】∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA，∴∠FAB+∠FBA＝(∠CAB+∠CBA)＝45°，∴∠AFB=180°-45°=135°．故选：A．4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD=15°，则∠ABE的度数为

.【答案】60°【解析】∵∠ABD=15°，∠ABC=90°，∴∠DBC=∠ABC-∠ADB=90°-15°=75°，由折叠可得∠DBE=∠DBC=75°，∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=75°-15°=60°．故答案为：60°．5.如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，EF∥BC，若∠1=50°，则∠C的度数为

.【答案】40°【解析】∵EF∥BC，∠1=50°，∴∠B=∠1=50°，∵∠A=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠C=90°-50°=40°，故答案为：40°．6.如图，Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，∠D=45°，∠B=30°，求∠1的度数．【答案】解∵Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，∴BE⊥AC，CD⊥AC，∴EB∥CD，∴∠DCB=∠B=30°，∵∠D=45°，∴∠1=∠D+∠DCB=45°+30°=75°．7.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）如图①所示，当点P运动至∠α=50°时，则∠1+∠2=

；（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．【答案】解（1）∵在四边形CEPD中，根据四边形内角和360°，可得∠CEP+∠CDP=360°-90°-50°=220°．又∠CEP+∠2+∠CDP+∠1=360°，∴∠1+∠2=360°-（∠CEP+∠CDP）=360°-220°=140°．故答案为140°．（2）在四边形CEPD中，∠C+∠CEP+∠α+∠CDP=360°，∴∠C+∠α=360°-∠CEP-∠CDP．又∵∠CEP+∠2+∠CDP+∠1=360°，∴∠1+∠2=360°-∠CEP-∠CDP．∴∠C+∠α=∠1+∠2，即∠1+∠2=90°+∠α．四、勾股定理的应用1.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（）A.2cm≤x≤5cmB.2cm≤x≤3cmC.4cm≤x≤5cmD.9cm≤x≤12cm【答案】B【解析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为15﹣12＝3（cm），由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为15﹣13＝2（cm），∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm，故选：B．2.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（）A.3米B.6米C.9米D.10米【答案】C【解析】由题意可知，∠ACB＝90°，∵AB＝15米，BC＝12米，∴AC＝（米），故选：C．3.如图，有一根电线杆垂直立在地面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC＝6m，且和地面成60°，则电线杆引线处C离地面的高度（即CD的长）是（）A.3mB.mC.2mD.3【答案】D【解析】∵CD⊥AB，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴DB==3m，在Rt△BCD中，CD=，故选：D．4.如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．则风筝的高度CE是

米．【答案】13.6【解析】∵BD⊥CE，∴∠BDC＝90°，由勾股定理得，CD＝＝＝12（米），∵四边形BAED是矩形，∴DE＝AB＝1.6（米），∴CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6（米），故答案为：13.6．5.如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于

km．【答案】【解析】∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2（km），∴BC＝＝＝（km）．故学校与工厂BC之间的距离是km．故答案为：．6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？（2）这片绿地的面积是多少？【答案】解（1）如图，连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝＝15（m），∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m），答：居民从点A到点C将少走6m路程．（2）∵CD＝17m，AD＝8m，AD2+AC2＝DC2，∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，∴S△DAC＝AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），答：这片绿地的面积是114m2．7.学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】解设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得，在Rt△ACE中，根据勾股定理得，AC2＝AE2+CE2，∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92，∴x＝13．答：旗杆AB的高度为13米．五、勾股数1.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A.1，2，3B.1，，2C.0.3，0.4，0.5D.5，12，13【答案】D【解析】A.22+12≠32，不能构成勾股数，不符合题意；B.不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；C.0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；D.52+122＝132，能构成勾股数，符合题意．故选：D．2.若3，4，a为勾股数，则a的值为（）A.B.5C.5或7D.5或【答案】B【解析】∵3,4,a为勾股数，∴当a最大时，此时a＝＝5，当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，故选：B．3.下列说法正确的是（）A.的平方根是±4B.无限小数是无理数C.数轴上的点对应的数不是整数就是分数D.若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数【答案】D【解析】A．的平方根是±2，故选项错误，不符合题意；B．无限不循环小数是无理数，故选项错误，不符合题意；C．数轴上的点与实数一一对应，故选项错误，不符合题意；D．若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数，故选项正确，符合题意．故选：D．4.若a，12，13是一组勾股数，则a＝

．【答案】5【解析】∵52+122＝132，∴a＝5，故答案为：5．5.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝

．（提示：5＝，13＝，…）【答案】17【解析】145=，所以a＝17．故答案为17．6.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．（1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：

（最大数不超过18）；（2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．【答案】解（1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5．故答案为：3，4，5．（2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2．证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2＝k2+k4+1﹣k2＝k4+k2+1；右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1．∴左边＝右边，∴等式成立．7.材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如：①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数．②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数．若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示）根据以上信息，解答下列问题：（1）试判断8，15，17是否为勾股数；（2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积；（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．【答案】解（1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数，故8，15，17是为勾股数．（2）∵72+242＝252，∴该三角形是直角三角形，∴其面积＝×7×24＝84．（3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24；当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2．故其周长为24或14+2．六、勾股定理1.如图，字母A所代表的正方形的面积为（）A.4B.16C.36D.64【答案】C【解析】∵正方形PQED的面积等于64，∴PQ2＝64，∵正方形PRGF的面积为100，∴PR2＝100，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得，PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝100﹣64＝36，则正方形QMNR的面积为36．故选：C．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BH平分∠ABC，BH＝6，P是边AB上一动点，则H，P之间的最小距离为（）A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】过点H作HP⊥AB，即HP的长即可为H，P之间的最小距离，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BH平分∠ABC，∴∠CBH＝∠ABC＝30°，CH＝PH，∴CH＝PH＝BH＝3，即H，P之间的最小距离为3．故选：B．3.在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝6，b＝8，那么斜边c的长为（）A.6B.8C.10D.14【答案】C【解析】在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝6，b＝8，∴斜边c＝＝＝10，故选：C．4.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为

．【答案】16【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，∴BC＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴BD＝AD，∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．故答案为：16．5.如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A，B，C，D的面积和是

cm2．【答案】25【解析】由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和＝52＝25（cm2）故答案为：25．6.如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1．（1）图1中正方形ABCD的面积为

，边长为

；（2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求：Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；Ⅱ．所作的正方形的边长为2．②请在图2中的数轴上标出表示实数2的点，保留作图痕迹．【答案】解（1）正方形的边长为，面积为．（2）①如图所示的正方形即为所作．②如图2中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形，以点E为圆心、EF为半径画弧，交数轴于点P，则点P的坐标为实数2．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．求：（1）AB的长；（2）CD的长．【答案】解（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，根据勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，所以，AB＝10．（2）∵CD是边AB上的高，∴AC•BC＝，解得，CD＝4.8．七、互逆命题与互逆定理1.下列命题中，①如果|x|=|y|，那么x=y；②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果m＞n,那么m2＞n2；④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B=180°，真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】①如果|x|=|y|，那么x=±y,故该选项是错误的；②如果两个角相等，这两个角可能为内错角，也可能是对顶角，故该选项是错误的；③如果|m|＞|n|，那么m2＞n2，故该选项是错误的；④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B=180°，故该选项是正确的．所以真命题有1个．故选：A．2.下列命题中：（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）同一个角的两个邻角是对顶角；（4）有公共顶点且相等的两个角是对顶角；其中，互为逆命题的是（）A.（1）和（2）B.（2）和（3）C.（1）和（3）D.（1）和（4）【答案】A【解析】对顶角相等与相等的角是对顶角互为逆命题．故选：A．3.已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（）A.如果a=b,那么|a|=|b|B.如果|a|=|b|，那么a=bC.如果a≠b,那么|a|≠|b|D.如果|a|≠|b|，那么a≠b【答案】B【解析】已知本题中命题的题设是a=b,结论是|a|=|b|，所以它的逆命题中的题设是|a|=|b|，结论是a=b,所以本题中的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b.故选：B．4.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为

．【答案】同旁内角互补，两直线平行5.命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是

命题．（填“真”或“假”）【答案】假【解析】命题“如a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b,是假命题，故答案为：假