第13章勾股定理单元练习2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 含答案

/第13章勾股定理一、单选题1．将直角三角形的三边扩大2倍，得到的三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形2．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（

）的红地毯．A． B． C． D．3．如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．134．如图，在中，，若，，则AB的长是（

）A． B． C． D．5．下面四组数中是勾股数的是（）A．5，12，13 B．，，C． D．6，7，86．如图，在中，，D为上一点．若的面积为90，则的长是（

）A．9 B．12 C．18 D．247．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（

）A．36 B．72 C．18 D．1448．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为（

）．A． B． C． D．二、填空题9．已知直角三角形的两条直角边长为16和30，则第三边的长度是．10．一个三角形中，D是边上一点，且，，，则这个三角形的面积是．11．在中，，若，则的周长为．12．在等腰三角形中，，为上一点，，则等于．13．如图，在四边形中，平分，且，若，边与的长度差为3．当的面积最大时，的长为．三、解答题14．如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到．(1)求点P与点D之间的距离；(2)求线段的长．15．如图，已知圆柱底面的周长为dm，圆柱的高为dm，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为多少？16．如图，在四边形中，，，，，．求长和四边形的面积．17．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接．(1)试判断与是否全等，请说明理由；(2)求的度数；(3)求证：．18．已知在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，．(1)如图1，，连接，则____________．(2)如图2，，取边中点，连接，当点从点运动到点过程中，直接写出线段长度的最小值____________；(3)如图3，四边形中，，连接，已知，求的长．参考答案1．B【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；设直角三角形的三边长为a，b，c，且满足，根据勾股定理逆定理可判定将直角三角形的三边扩大2倍后得到的三角形是直角三角形．【详解】设直角三角形的三边长为a，b，c，且满足，将该直角三角形的三边扩大2倍，三边长变为，，，，，，将直角三角形的三边扩大2倍后得到的三角形是直角三角形．故选：B．2．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为米，则通过观察台阶可知需买红地毯的总长度为米，根据红地毯的宽是台阶的宽米，即可求解．【详解】解：依题意图中直角三角形一直角边为米，斜边为米，另一直角边长：（米），需购买红地毯的长为（米），红地毯的宽则是台阶的宽米，红地毯面积是：（平方米）．故选：C．3．B【分析】本题考查勾股定理的应用，根据，结合正方形的面积公式和勾股定理进行求解，即可解题．【详解】解：∵，∴，即：，∵，∴；故选：B．4．D【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容成为解题的关键．直接根据勾股定理进行列式计算即可．【详解】解：∵在中，，若，，∴．故选：D．5．A【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，解答即可．【详解】解：A、，是勾股数，故符合题意；B、∵，，不是整数，不是勾股数，故不符合题意；C、，不是勾股数，故不符合题意；D、，不是勾股数，故不符合题意；故选：A．6．D【分析】本题考查了三角形面积公式及勾股定理，根据为中上的高及面积，可得，再利用勾股定理可求得，即可求解．【详解】解：∵，的面积为90，∴，解得：，∵，∴，∴，故选：D．7．C【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案．【详解】解：一个直角三角形的面积为．故选：C．8．A【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是由旋转得到相等的边．根据绕点顺时针旋转，得到，可得≌，，，从而得到为等边三角形，在中，利用勾股定理得到，即可解答．【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，得到，可得：≌，，，∴为等边三角形，∴，在中，，∴与的周长之和为：．故选：A．9．34【分析】本题考查勾股定理，掌握该知识点是解题的关键．根据勾股定理，即可求出第三边的长度．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为16和30，∴第三边是斜边，由勾股定理，得第三边的长度是．故答案为：34．10．【分析】本题考查了等边对等角，勾股定理，三角形内角和定理以及求三角形面积，掌握等边对等角，勾股定理是解本题的关键．由条件可判定为直角三角形，再由可得，，可求得、，即可求得其面积．【详解】解：如图所示，，∴，∵，∴，∴，，，，，，，在中，，，，在中，根据勾股定理可得：，，故答案为：．11．【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据勾股定理，列出方程求出的值，进而求出的值，进而利用三角形的周长公式进行计算即可．【详解】解：∵，∴设，则．∵，∴，即，解得或（舍去），∴，∴的周长．故答案为：．12．【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和全等三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；过点作于点，可证得，然后推导得到，再根据勾股定理，然后即可求解；【详解】解：如答图，过点作于点，，，，由题意，得，∴，∴，∴．由勾股定理可知，，∴．故答案为：；13．/【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的最值问题，解题的关键是通过构造全等三角形转化线段关系，利用“固定线段上的三角形面积最大时，高最大”的几何原理分析最值．延长交于点利用平分且证明得到、；由与的长度差得的面积是面积的一半，故需面积最大，而固定为3，当点C到的距离最大时面积最大（此时最后利用勾股定理求出的长，进而得的长．【详解】解：延长交于点∵平分，∴．∵，∴．在和中，∴，∴即．∵与的长度差为3，∴．的面积，的面积的面积为A到的距离），故面积最大时，面积最大．中，固定，面积为C到的距离），当最大时面积最大．∵由垂线段性质，当时，（最大），此时面积最大．在中，，由勾股定理得：，∴．∵，．故答案为：14．(1)12(2)13【分析】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键．（1）连接．根据等边三角形的判定和性质，旋转的性质得出是等边三角形，即可求解；（2）利用等边三角形的性质确定是直角三角形，再由勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图，连接．是等边三角形，．是绕点B逆时针旋转得到的，，．，是等边三角形．，即点P与点D之间的距离是12．（2），是等边三角形．，是直角三角形，，，．由（1）知．．15．dm【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开得到长方形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．∵圆柱底面的周长为dm，圆柱的高为dm，∴dm，dm∴，∴，∴dm，所以这圈金属丝的周长最小为dm．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．16．12，150【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）在中利用勾股定理求解即可；（2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形的面积等于的面积与的面积之和求解即可．【详解】解：∵，∴是直角三角形，∵，，∴．∴，∵，，∴∴是直角三角形，∴四边形的面积为．∴四边形的面积为150．17．(1)，理由见解析(2)(3)证明见解析【分析】（）由，得到，进而利用定理即可求证；（）由等腰直角三角形的性质得，再根据全等三角形的性质即可求解；（）由等腰直角三角形的性质得到，由（）可得，进而由勾股定理得，又由全等三角形的性质得，等量代换即可求证；本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴；（3）证明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．18．(1)(2)1(3)5【分析】（1）利用证明，结合全等三角形的性质可得，即可；（2）取中点，连接，结合全等三角形的性质易得，由“垂线段最短”的性质可知当时，最短，即此时最短，证明为等腰直角三角形，在中，设，利用勾股定理列方程并解得的值，即可获得答案；（3）过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，在中，设，利用勾股定理列方程并解得的值，易得，然后利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴；（2）取中