第26讲 平面向量的数量积及其应用（讲义）（原卷版）

第26讲平面向量的数量积及其应用1.向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为0.2.投影向量已知两个非零向量a与b,a在b上的投影为，投影向量为.3.向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cosθ；(2)a⊥b⇔a·b=0；(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|；当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,或|a|=a·a(4)|a·b|≤|a||b|.4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.常用结论设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则(1)O为△ABC的外心⇔|OA|=|OB|=|OC|.(2)O为△ABC的重心⇔OA+OB+(3)O为△ABC的垂心⇔OA·(4)O为△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC=0.考点一利用定义法求平面向量数量积考点二转化法求平面向量数量积考点三转化法求平面向量的模考点四数量积和模求平面向量夹角考点五投影与投影向量考点一：利用定义法求平面向量数量积例1．设向量，的长度分别为4和3，夹角为120°，则的值为（

）A． B．6 C． D．考点二：转化法求平面向量数量积例2．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在矩形中，，点P为的中点，则（

）A．0 B．C． D．考点三：转化法求平面向量的模例3．如图所示，已知正方形的边长为，，则向量的模为（

）A． B．2 C． D．4考点四：数量积和模求平面向量夹角例4．已知，且，则向量，的夹角为（

）A．120° B．90° C．60° D．30°考点五：投影与投影向量例5．已知向量，则在方向上的数量投影为___________例6．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是________．一、单选题1．已知向屋，，，则（

）A．30 B．18 C．12 D．92．在四边形ABCD中，，已知，与的夹角为且，，则（

）A．10 B．6 C．4 D．23．如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则=（

）A． B． C． D．34．（2023·全国·高三专题练习）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（

）A． B． C． D．15．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（

）A．4 B． C． D．86．已知向量，，则（

）A． B． C． D．7．已知，，与的夹角为，则（

）A．8 B．10 C． D．8．设向量，，，且，，，且三个向量两两之间的夹角为，则（

）A． B． C．4 D．9．（2023·全国·模拟预测）已知向量，的夹角为，，则的最大值为（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．411．已知，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．13．已知，则与的夹角为（

）A． B． C． D．14．空间向量，，若，，，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°15．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，，且，则（

）A． B． C． D．116．已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．17．已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．二、填空题18．（2023·江西·统考模拟预测）已知向量的夹角为，则等于___________.19．已知，是夹