第26讲 平面向量范围与最值问题（原卷版）

第26讲平面向量范围与最值问题【典型例题】例1．（2024·高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（

）A．14 B．12 C．10 D．8例2．（2024·高三·湖北武汉·阶段练习）如图，菱形的边上有一点，边上有一点（，不与顶点重合）且，若是边长为的等边三角形，则的范围是（

）A． B． C． D．例3．（2024·高三·浙江金华·开学考试）已知向量满足，，则的范围是（

）A． B． C． D．例4．（2024·高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（

）A．6 B．12 C．24 D．32例5．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为.例6．（2024·高三·上海宝山·期末）已知半径为3和5的两个圆和内切于点，点分别在两个圆和上，则的范围是例7．（2024·高三·全国·专题练习）如图，菱形的边上有一点，边上有一点（，不与顶点重合）且，若是边长为的等边三角形，则的范围是.例8．（2024·天津·一模）在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为；点是线段上一点，且，若，则的最大值为.例9．（2024·高三·上海松江·阶段练习）向量满足，，，则的最大值为.例10．（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为.例11．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则的最小值为.【过关测试】一、单选题1．（2024·高三·江西·开学考试）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（

）

A． B．C． D．2．（2024·陕西西安·三模）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（

）A． B．13 C． D．3．（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，，，，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．5．（2024·高三·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）

A． B． C． D．6．（2024·福建·模拟预测）已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（）A． B． C． D．7．（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则的最小值为（

）A．4 B．12 C．16 D．188．（2024·北京平谷·模拟预测）已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．二、多选题9．（2024·江苏镇江·三模）已知正方体的棱长为分别为的中点，为正方体的内切球上任意一点，则（

）A．球被截得的弦长为B．球被四面体表面截得的截面面积为C．的范围为D．设为球上任意一点，则与所成角的范围是10．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量满足，，，.则下列说法正确的是（

）A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为B．若点P在直线AB上运动，在上的投影的数量的取值范围是C．若点P在以r=为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3D．若点P在以r=为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是11．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（）A．B．C．存在最大值D．的最小值为12．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量，，则（

）A．若，则 B．若，则C．的最大值为6 D．若，则三、填空题13．（2024·高三·全国·专题练习）已知，且关于x的函数在R上有两个极值，则向量与的夹角的范围是．14．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示；（ii）请写出的取值范围.15．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC边的中点，，，，则；设M为平面上一点，且，其中，则的最小值为．16．（2024·天津·一模）在中，，则；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是．17．（2024·天津南开·一模）平面四边形ABCD中，，E为BC的中点，用和表示；若，则的最小值为18．（2024·北京石景山·一模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为．19．（2024·广东深圳·一模）设点，若动点满足，且，则的最大值为．20．（2024·高三·江苏·专题练习）已知点M为直角外接圆O上的任意一点，，则的最大值为．21．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点、，E、F是直线上的两个动点，且，则的最小值为．22．（2024·全国·一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已