第15讲 函数中的两边夹思想与最大值的最小值问题（解析版）

第15讲函数中的两边夹思想与最大值的最小值问题【典型例题】例1．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知满足，其中是自然对数的底数，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】设，则，又单调递增，所以，故.故选：B例2．（2024·江西上饶·二模）已知实数，满足，则的值为A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，则，令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，令，则单调递减，单调递增由题意，，，，,故x+y=2故选A例3．（2024·高三·安徽淮北·阶段练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由存在，使得成立，故，又对任意的实数a，b，，则，可看作横坐标相同时，函数与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，又，作示意图如图所示：设，则直线的方程，设与相切，则，得，有，得或，由图知，切点，则，当直线与，平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，此时，，故.故选：B例4．（2024·山东济南·一模）已知函数，若对任意的正实数，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设的最大值为，令，当时，函数单调递减，所以，因为，所以，又由，解得，（1）由，当时，；当时，；当时，；（2）由时，；（3）由时，；综上可得：，所以实数的取值范围是．例5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，当时，的最大值为，若的最小值为4，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当绝对值内两式同号时，，当绝对值内两式异号时，，令，，所以，.根据绝对值的性质，当时，（时取得），当时，时取得最大值），所以的最小值是4，即，（也可从几何意义考虑：当的最小值为4时，最大值的最小值为4，几何意义是图象上的点到直线距离最大值的最小值为4，此时恰好有）；的最大值不超过4，即图象上的点到直线的距离不超过4，故，则.故选：D．例6．（2024·高三·湖南·开学考试）设函数，，其中a，.（1）求的单调区间；（2）若存在极值点，且，其中，求证：；（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【解析】（1）若，则，分两种情况讨论：①、当时，有恒成立，此时的单调递增区间为；②、当时，令，解得或，当或时，，为增函数，当时，，为减函数，故的增区间为，，减区间为；（2）若存在极值点，则必有，且，由题意可得，，则，进而，又，由题意及（1）可得：存在唯一的实数，满足，其中，则有，故有；（3）设在区间上的最大值M，表示x、y两个数的最大值，下面分三种情况讨论：①当时，，由（1）知在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围是，因此，所以。②当时，，由（1）、（2）知，，，所以在区间上的取值范围是，因此，③当时，，由（1）、（2）知，，，所以在区间上的取值范围是，因此，综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【过关测试】一、单选题1．（2024·高一·浙江丽水·期末）设，，（

）A．若恒成立，则 B．若，则恒成立C．若恒成立，则 D．若，则恒成立【答案】C【解析】将化简为由与符号相同，分恒成立与恒成立进行讨论可得答案.由题意得：，易得：与符号相同，若恒成立，则恒成立，设，可得，可得，故，同理：若恒成立，则则恒成立，可得：，故，故选：C.2．（2024·高三·全国·专题练习）设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对任意的正实数，总存在，，使得，，．令，，函数在，单调递减，∴（1），（4）．①时，，则．②时，，，则．③时，，，则．④时，，则．综上①②③④可得：，即．实数的取值范围为，．故选：D．3．（2024·高三·浙江·阶段练习）若不等式对恒成立，则的值等于（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】当或时，，当时，，当或时，，当时，，设，则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，，，即，又，故．．故选：B．4．（2024·高一·浙江温州·开学考试）若不等式对上恒成立，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】先求得,由,则或,即当时,,根据题意,当时,,设,由其单调性可知的两个根应为和,进而求解即可由题,令,则,当时,；当时,,由正弦型函数可知,当时,,因为不等式对上恒成立,所以当时,,设,则在上单调递减,在上单调递增,所以的两个根应为和,即,解得,所以,故选:A5．（2024·高一·浙江嘉兴·期末）若不等式对恒成立,则=A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式对恒成立,即时的正负情况与的正负情况一致，得出的根，即可求解.由题：不等式对恒成立,当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，所以和时，，即，解得：，检验当时，在大于等于0，在时，小于等于0，在大于等于0，所以.故选：A6．（2024·高二·浙江温州·期末）若不等式对任意的恒成立，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由选项可知，故原不等式等价于，当时，显然不满足题意，故，由二次函数的性质可知，此时必有，即，故选：B7．（2024·高三·全国·专题练习）若不等式对任意的恒成立，则（

）A． B．， C．， D．【答案】B【解析】对任意恒成立，当时，不等式等价为，即，当时，，此时，则，设，，若，则，函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；若，则，而此时时，不满足条件，故；函数在上，则上，而在上的零点为，且在上，则，上，要使对任意恒成立，则函数与的零点相同，即，，故选：B8．（2024·高一·浙江杭州·期末）若不等式对任意实数恒成立，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】当时，即时，恒成立，所以恒成立，所以且；当时，即时，恒成立所以或恒成立，所以且，综上，故选：D.9．（2024·高二·浙江湖州·期末）若存在正实数x，y使得不等式成立，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】记，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，．记，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由题意，又因为，所以，故．故选：D.10．（2024·高一·浙江·期末）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】考虑，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．函数，当,时，的最大值为，可得，，，可得,,,，即，即有，则的最小值为，故选：B11．（2024·高一·湖北·阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（

）A．－1 B．0 C． D．1【答案】C【解析】由已知得设构造函数满足，即，解得，则，令，则函数可以理解为函数与函数在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，∵，且（当且仅当时取等号），∴若设直线的方程为，直线的方程为，由此可知当，直线位于直线和直线中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故，所以实数的最大值为.故选：.12．（2024·高一·浙江丽水·阶段练习）已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由题设，f（x）定义域为令，可得或∴在上，在上，若，∴要使在定义域上恒成立，则在上，在]上，∴或也是g（x）的零点，则：，无解；，解得：；，无解.∴故选：D13．（2024·高一·浙江温州·期末）已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由题设，定义域为，令，可得或，∴在上，在上，若，∴要使在定义域上恒成立，则在上，在上，∴或也是的零点，则：，无解；，可得；，无解；∴.故选：C.14．（2024·高三·北京丰台·期末）已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（

）A．3.5 B．4C．4.5 D．5【答案】C【解析】易判断函数为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数，上的最大值.当时，，二次函数的对称轴为，函数在上单调递增，所以；当时，，因为，所以在上递增，在上也是递增，所以；当时，，因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，所以或，若，则；若，则;当时，，（因为），所以函数在上递增，在上递减，所以.综上可知：的最小值为.故选：C二、填空题15．（2024·江西赣州·模拟预测）已知函数，当时记的最大值为，则的最小值为【答案】【解析】对去绝对值可得的最大值为或，两式相加可得，利用绝对值三角不等式即可求最值，进而可得答案.对去绝对值可得①，当，的最大值为，②，，的最大值为，③，，的最大值为，④，，的最大值为，所以的最大值为或，，，，所以，故答案为：16．（2024·高一·上海·开学考试）设，若时均有，则．【答案】0【解析】当时，显然成立，此时；当时，由成立，得成立，，，当时，由成立，得成立，，，时均有，．故答案为：0．17．（2024·高一·辽宁·阶段练习）设，若时均有，则.【答案】/0.75【解析】①当时，，显然不满足题意；②当时，构造函数，，它们都经过定点，考查函数，令，得，所以，考查函数，显然过点，代入得，解得，或（舍去），故答案为：18．（2024·高三·浙江金华·阶段练习）已知，满足在定义域上恒成立，则的值为．【答案】0.【解析】令，解得或，依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾．即，解得．经检验，符合题意．故答案为：0．19．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）对任意的，不等式恒成立，则实数.【答案】【解析】由题意可知：且成立，则，因为对任意的，不等式恒成立，也即在上恒成立，记，则在上单调递增，当时，，即恒成立，则，所以，解得：；当时，不等式显然成立；当时，，即在恒成立，则，因为在上单调递减，所以时，，解得：，因为对任意的，不等式恒成立，则综上可知：实数的值为.故答案为：.20．（2024·浙江·二模）已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为．【答案】【解析】设，，图象是开口向上的抛物线，因此由时，恒成立得，时，，时，，时，，因此时，，时，，，所以①，②，由①得，代入②得，因为，此式显然成立．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是．故答案为：．21．（2024·浙江·模拟预测）已知函数．记的最大值为，则的最小值为．【答案】【解析】由题意可知，是偶函数，当时，，根据偶函数的性质可知，在上的最大值为，所以，所以，所以，即的最小值为.故答案为：.22．（2024·浙江·一模）设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为.【答案】【解析】去绝对值，则，根据二次函数的性质所以在的最大值为，，，中之一，所以可得，，，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为.故答案为：.23．（2024·高三·全国·专题练习）设，若对于，都成立，则．【答案】/8.5【解析】，设，，，，，则函数等价，，，若于，，都成立，即于，，都成立，即恒成立，设，,得，即，另一方面，可得，从而，所以.故答案为：.三、解答题24．（2024·高一·湖北黄石·阶段练习）已知二次函数满足：①对任意实数x，都有；②当时，有成立.(1)求证：；(2)若，求函数的解析式；(3)在（2）的条件下，若对任意的实数，有恒成立，求实数m的取值范围.【解析】（1）证明：由题意知，当时，成立，令，则有，所以；（2）由（1）知，，又，所以，，由，即在上恒成立，所以，且，即，所以，所以，所以；（3）在（2）的条件下，可化为，即对任意的实数，恒成立，当时，，符合题意，此时；当时，即对任意的实数，，即在上恒成立，所以，综上所述，.25．（2024·高一·湖南常德·期末）已知二次函数（为实数）(1)若的解集为（1，2），求不等式的解集；(2)若对任意，时，恒成立，求的最小值；(3)若对任意，恒成立，求ab的最大值．【解析】（1）依题意知，，且方程的两根为1，2由根与系数间的关系得，则．故不等式解得：，即原不等式的解集为．（2）因为时，恒成立，故得，那，即，所以（当且仅当时等号成立）（3）令，则，所以．对任意，恒成立，所以恒成立．所以且所以，此时，因此，当且仅当时等号成立，此时，（或）验证，成立故ab的最大值为．26．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，，．若对任意，总有成立，求，的值.【解析】由题意，若对任意，，总有成立，则对任意，，总有成立，即总有成立，所以总有成立，可得函数夹在函数和之间，又经过点，，设经过，两点的直线，，解得，，此时直线为，又，可得，解得，只有一个根，所以直线与相切，所以是夹在和之间的唯一直线，所以，．27．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）设函数，其中a，b为实常数．(1)若，求的单调区间；(2)若存在极值点，且其中．求证：；(3)设，函数，求证：