第18讲 平面向量的数量积及其应用（学生版）

第18讲平面向量的数量积及其应用题型梳理题型梳理易错分析易错点一混淆向量数量积运算与数乘运算题型方法题型一求平面向量的数量积题型二求平面向量的投影向量题型三平面向量的垂直问题题型四平面向量的模的问题题型五平面向量的夹角问题知识清单知识清单知识点01向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．知识点02平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积，记作.知识点03平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的．记为.知识点04向量数量积的运算律(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝＝．(3)(a＋b)·c＝.知识点05平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_______|a|＝_________夹角cosθ＝_____cosθ＝___________a⊥b的充要条件a·b＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.易错分析易错分析【易错点一】混淆向量数量积运算与数乘运算【例1】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量满足，，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【举一反三】【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知向量，满足，且，若，则（

）A． B． C．2 D．【变式2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知与的夹角，则.【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，，，求的长.题型方法题型方法【题型一】求平面向量的数量积【例1】（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2解题技巧计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义【举一反三】【变式1】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知菱形中，点，则．【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知，，对任意的单位向量恒成立，求的最大值．【题型二】求平面向量的投影向量【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）向量，，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【举一反三】【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·河北·模拟预测）设非零向量、的夹角为，，在方向上的投影向量为，则．【变式3】（2022·河南·模拟预测）已知向量，满足，，.(1)求与的夹角；(2)求在上的投影向量的模.【题型三】平面向量的垂直问题【例3】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【举一反三】【变式1】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（

）A． B．1 C．或1 D．4【变式2】（2023·海南海口·模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：.【变式3】（2020·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【题型四】平面向量的模的问题【例4】（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．解题技巧求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义．【举一反三】【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知平面向量满足，若，则（

）A．2 B． C． D．【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为．【变式3】（2023·全国·模拟预测）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．(1)，时，求CD的长度；(2)若CD为角C的平分线，且，求的面积．【题型五】平面向量的夹角问题【例5】（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．解题技巧求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)【举一反三】【变式1】（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为.【变式3】（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点．(1)求；(2)求．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·江西·模拟预测）若向量，，则（

）A． B． C． D．2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（

）A． B．2 C． D．4．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，求与在上的投影长度的比值为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量，，若，则实数（

）A． B．或 C．或1 D．二、多选题6．（2025·河北·模拟预测）已知平面向量，，若，则下列说法正确的是（

）A．与的夹角 B．C． D．在方向上的投影向量为7．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量，且在方向的投影向量为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．（2025·陕西汉中·一模）已知向量，，则（

）A．B．C．D．在方向上的投影向量坐标是三、填空题9．（2025·浙江嘉兴·二模）已知向量，若，则．10．（2025·辽宁·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为.11．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为．四、解答题12．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，．(1)求的坐标，的值；(2)若，求实数k的值；(3)若，求实数k的值．13．（2025·安徽·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)设的垂心为，若.①求的值；②求的值.14．