2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编-空间向量的应用（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——空间向量的应用（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，1，x），若a→⊥bA．26 B．26 C．5 D．2．已知点P（1，2，3），Q（1，﹣2，1），点Q在平面α内，若平面α的法向量n→=(1，0，A．1 B．2 C．3 D．23．若直线l的方向向量为m→=（x，﹣1，2），平面α的法向量为n→=（1，1，﹣2），且l⊥A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣54．已知向量m→=（3，1，5），n→=（λ﹣2，λ，2），若A．﹣4 B．﹣1 C．2 D．45．已知平面α的法向量a→=（m，1，1），平面β的法向量b→=（3，2，2），若α⊥A．32 B．-43 C．-36．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱BC，C1D1，A1B1的中点，P为AG上的动点，则点P到平面DEF的距离为（）A．82121 B．3217 C．107．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折至△A1BE位置，使得二面角A1﹣BE﹣C的大小为π2，则A1CA．23 B．32 C．4 D8．若平面α的法向量为u→=(2，-2，4)，平面β的法向量为A．若α∥β，则m＝1 B．若l⊥α，则k＝﹣2 C．若k＝﹣2，则l∥α D．若m＝﹣5，则α⊥β二．多选题（共4小题）（多选）9．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=3，BD=CD=1A．△ABC为正三角形 B．AD⊥BC C．AD与底面BCD所成角的正弦值为23D．点D到平面ABC的距离为3（多选）10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，F是BB1的中点，E是棱AB上的动点（含端点）．则（）A．FE+DE的最小值为13 B．若E是棱AB的中点，则点A1到平面EB1D的距离为23C．记四棱锥A1﹣ABCD外接球的球心为I，则直线IE与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[1D．若M，N分别是棱BC，CC1的中点，则NE→在NM（多选）11．关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，c→⊥B．若对空间中任意一点O，有OP→=12OA→+23OBC．若空间向量a→=（0，1，1），b→=（1，1，2），则a→D．已知直线l的方向向量为a→=（2，1，﹣1），平面α的法向量为b→=（﹣4，﹣2，2），则l∥（多选）12．已知点P是四边形ABCD所在平面外一点，如果AB→=(2，-1，-4)，AC→=(6，A．AP⊥AB B．AP∥BD C．四边形ABCD为平行四边形 D．若BE→=(-12，三．填空题（共4小题）13．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H依次为AB，BC，CD，DA边的中点，已知AC＝2，BD＝4，且AC⊥BD，则EG＝．14．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝6，点G在侧棱PB上，且满足2PG＝GB，则异面直线PC和DG的距离为．15．如图，二面角a﹣l﹣β的棱上有两个点A，B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若AB＝1，AC＝2，BD＝3，二面角α﹣l﹣β的平面角为π3，则CD＝16．已知a→=（﹣3，1，﹣2）是直线l的一个方向向量，b→=（x，y，4）是平面α的一个法向量，且l⊥α，则x+y＝四．解答题（共4小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四面形ABCD是正方形，PD＝AD＝1．（1）若平面PAB∩平面PCD＝l，证明：l∥CD；（2）求AC与平面PAB所成角的大小．18．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，应用空间向量方法求解下列问题．（1）求EF的长；（2）求平面A1CE与平面A1CD所成的角．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB．（1）证明：直线BD⊥平面PAC；（2）求直线PC与平面PBD所成角的大小．20．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，A1B1＝1，点P为线段AC上的动点，棱台的体积为143（1）求AA1的长；（2）若CC1∥平面PB1D1，请确定点P的位置；（3）求平面PB1D1与平面BCC1B1的夹角的余弦值的最大值．

2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——答案一．选择题（共8小题）题号12345678答案BBCBBAAB二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDADBCACD一．选择题（共8小题）1．已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，1，x），若a→⊥bA．26 B．26 C．5 D．【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】由a→⊥b→可得a【解答】解：因为a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，1，x），且所以a→⋅b→=-8﹣解得x＝3，所以b→=（﹣4，1，所以|b→|=故选：B．【点评】本题主要考查了空间向量数量积的坐标运算，属于基础题．2．已知点P（1，2，3），Q（1，﹣2，1），点Q在平面α内，若平面α的法向量n→=(1，0，A．1 B．2 C．3 D．2【考点】空间中点到平面的距离．【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】B【分析】根据向量法，即可求解．【解答】解：根据题意可得QP→=(0，4，2)，点Q在平面所以点P到平面α的距离为|QP故选：B．【点评】本题考查点面距的求解，向量法的应用，属基础题．3．若直线l的方向向量为m→=（x，﹣1，2），平面α的法向量为n→=（1，1，﹣2），且l⊥A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的法向量．【专题】方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据线面关系，利用向量法，建立方程，即可求解．【解答】解：因为直线l的方向向量为m→=（x，﹣1，2），平面α的法向量为n→=（1，1，﹣2），且所以m→∥n→，所以x1故选：C．【点评】本题考查线面关系，向量法的应用，属基础题．4．已知向量m→=（3，1，5），n→=（λ﹣2，λ，2），若A．﹣4 B．﹣1 C．2 D．4【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解．【解答】解：因为m→=（3，1，5），n→=（λ﹣2，λ，可得：3（λ﹣2）+λ+10＝0，解得λ＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题．5．已知平面α的法向量a→=（m，1，1），平面β的法向量b→=（3，2，2），若α⊥A．32 B．-43 C．-3【考点】平面的法向量；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】由平面与平面垂直的向量数量积为零计算可以得出答案．【解答】解：由题意得，a→⋅b→=0，即3m+2×1+2×1故选：B．【点评】本题考查了向量数量积公式，属于基础题．6．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱BC，C1D1，A1B1的中点，P为AG上的动点，则点P到平面DEF的距离为（）A．82121 B．3217 C．10【考点】空间中点到平面的距离．【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】A【分析】建系利用向量法及向量的数量积的运算，即可求解．【解答】解：因为GF平行且等于AD，所以四边形ADFG为平行四边形，所以AG∥DF，又AG⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，所以AG∥平面DEF，又，P为AG上的动点，所以点P到平面DEF的距离等于A到平面DEF的距离，建系如图：则A（2，0，0），D（0，0，0），E（1，2，0），F（0，1，2），所以DA→=(2，0，设平面DEF的法向量为n→则n→⋅DE所以点P到平面DEF的距离为|DA故选：A．【点评】本题考查点面距的求解，属基础题．7．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折至△A1BE位置，使得二面角A1﹣BE﹣C的大小为π2，则A1CA．23 B．32 C．4 D【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】A【分析】根据空间中，点线面的位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果．【解答】解：如图所示，作EB中点F，连接A1F，FC，如图所示，作出矩形ABCD的平面图形，过点F作FG垂直于BC于G，由题意可得AB＝AE＝2，所以A1F=2，且A1F所以FG＝1，GC＝3，则FC=F因为二面角A1﹣BE﹣C的大小为π2可知平面A1BE∩平面BEC＝BE，因为A1F⊥BE，所以A1F⊥平面ABCD，又FC⊂平面ABCD，所以A1F⊥FC，由勾股定理可知A1故选：A．【点评】本题考查二面角的有关计算，属于中档题．8．若平面α的法向量为u→=(2，-2，4)，平面β的法向量为A．若α∥β，则m＝1 B．若l⊥α，则k＝﹣2 C．若k＝﹣2，则l∥α D．若m＝﹣5，则α⊥β【考点】平面的法向量；空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；空间向量语言表述面面的垂直、平行关系．【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用空间向量分析空间中的线、面位置关系，结合空间向量的坐标运算逐项分析判断．【解答】解：平面α的法向量为u→=(2，-2，4)，平面β的法向量为对于选项A：若α∥β，则u→可得m2=1-2=-24对于选项BC：l⊥α等价于a→即k2=2-2=-44，解得k对于选项D：若m＝﹣5，则v→可得u→所以平面α与平面β不垂直，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了空间中的线、面位置关系，重点考查了空间向量的坐标运算，属基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=3，BD=CD=1A．△ABC为正三角形 B．AD⊥BC C．AD与底面BCD所成角的正弦值为23D．点D到平面ABC的距离为3【考点】直线与平面所成的角；空间中点到平面的距离；解三角形．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A：根据题意直接判断即可；对于B：设点A在底面BCD的投影为E，可知四边形BECD是边长为1的正方形，进而可证BC⊥平面ADE，即可得结果；对于C：可知AD与底面BCD所成角为∠ADE，进而求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到面的距离即可．【解答】解：对于选项A：因为侧面ABC是正三角形，故A正确；对于选项B：因为AB=AC=BC=2，BD＝CD＝1则BC2＝BD2+CD2，所以BD⊥CD，如图，设点A在底面BCD的投影为E，连接BE，CE，DE，因为AE⊥平面BECD，所以AE⊥CD，又AC⊥CD，AE∩AC＝A，所以CD⊥平面ACE，所以CD⊥CE，同理可得：BD⊥BE，所以四边形BECD是边长为1的正方形，则DE⊥BC，又因为AE⊥平面BECD，BC⊂平面BECD，则AE⊥BC，且DE∩AE＝E，DE，AD⊂平面ADE，则BC⊥平面ADE，且AD⊂平面ADE，所以AD⊥BC，故B正确；对于选项C：因为DE=2，AE=可知AD与底面BCD所成角为∠ADE，且sin∠ADE=AE对于选项D：设点D到平面ABC的距离为d，因为VD﹣ABC＝VA﹣BCD，则13d×1所以点D到平面ABC的距离为33，故D故选：ABD．【点评】本题考查线面角问题的求解，点面距问题的求解，属中档题．（多选）10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，F是BB1的中点，E是棱AB上的动点（含端点）．则（）A．FE+DE的最小值为13 B．若E是棱AB的中点，则点A1到平面EB1D的距离为23C．记四棱锥A1﹣ABCD外接球的球心为I，则直线IE与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[1D．若M，N分别是棱BC，CC1的中点，则NE→在NM【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；空间中点到平面的距离；空间向量的投影向量与投影．【专题】对应思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】AD【分析】根据正方体的性质，将正方体侧面展开，利用两点之间线段最短判断选项A，利用等体积法求点到平面距离判断选项B，构造空间直角坐标系，结合正方体及其外接球的性质判断选项C，利用投影向量模长公式求解判断选项D．【解答】解：选项A：把平面ABCD沿AB翻折至与平面A1ABB1共面，如下图所示：易知|FE|+|DE|≥|FD|=3选项B：根据选项作出示意图，如下图所示：由于E为AB中点，所以AE＝BE＝1，又因为DE=EB1=故可以得到△B1DE的面积为S△设点A1到平面EB1D的距离为d，根据等体积法可得VA1-EB1D=选项C：以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，如下图所示：过点I作IO⊥平面ABCD，垂足为点O，连接OE，则∠IEO即为IE与平面ABCD所成的角．I（1，1，1），O（1，1，0），设E（2，t，0）（t∈[0，2]），则IO＝1，OE=1所以可以得到tan∠因0≤t≤2，故可以得到当t＝0或2时，tan∠IEO取最小值22当t＝1时，tan∠IEO取最大值1，故C错误；选项D：记向量NE→与NM→的夹角为θ，则则NE→在NM→上的投影向量的模长为在C项所示空间直角坐标系中，E（2，t，0），N（0，2，1），M（1，2，0），则NE→于是NE→⋅NM故选：AD．【点评】不在同一课程直线与平面所成的角以及投影向量的模长，属于中档题．（多选）11．关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，c→⊥B．若对空间中任意一点O，有OP→=12OA→+23OBC．若空间向量a→=（0，1，1），b→=（1，1，2），则a→D．已知直线l的方向向量为a→=（2，1，﹣1），平面α的法向量为b→=（﹣4，﹣2，2），则l∥【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；共面直线及四点共面；空间向量的共线与共面；空间向量的投影向量与投影．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】BC【分析】A中，由向量与向量的垂直，判断出a→，c→共面，不一定共线，判断出A的真假；B中，由向量共面的充要条件，判断出四点共面，判断出B的真假C中，由一个向量在另一个向量上的投影向量的求法，可得a→在b→上的投影向量的求法，可得a→在b→上的投影向量的坐标，判断出【解答】解：A中，因为a→⊥b→，c→⊥bB中，因为OP→=12OA→+23OB→-16C中，a→=（0，1，1），b→=（1，1，2），可得a→⋅b→=可得a→在b→上的投影向量为a→⋅b→|b→|⋅b→|bD中，直线l的方向向量a→=（2，1，﹣1），平面α的法向量b→=（﹣4，﹣因为2-4=1-2=-12，所以a→∥故选：BC．【点评】本题考查向量的运算性质的应用，四点共面的性质的应用，线面的位置关系的应用，属于中档题．（多选）12．已知点P是四边形ABCD所在平面外一点，如果AB→=(2，-1，-4)，AC→=(6，A．AP⊥AB B．AP∥BD C．四边形ABCD为平行四边形 D．若BE→=(-12，【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】求AP→⋅AB求出向量BD→的坐标，根据平行向量的坐标关系即可判断B求出DC→的坐标，得出DC求出向量BP→的坐标，如果得出12(【解答】解：AP→⋅AB→=-2-2+4=0BD→=AD→-AB→=(2，3，DC→=AC→-BP→=AP→-所以点E为线段PD的中点，D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了向量坐标的减法和数量积的运算，是基础题．三．填空题（共4小题）13．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H依次为AB，BC，CD，DA边的中点，已知AC＝2，BD＝4，且AC⊥BD，则EG＝5．【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】5．【分析】利用中位线平行，可证线线垂直，从而利用勾股定理求线段长．【解答】解：作出示意图如下：则根据题意可EF∥AC，FG∥BD，因为AC＝2，BD＝4，AC⊥BD，所以EF＝1，FG＝2，EF⊥FG，即EG故答案为：5．【点评】本题考查空间中距离的求解，属基础题．14．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝6，点G在侧棱PB上，且满足2PG＝GB，则异面直线PC和DG的距离为31414【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】314【分析】以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．【解答】解：因为在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，又PA⊥底面ABCD，PA＝6，点G在侧棱PB上，且满足2PG＝GB，所以建系如图：则B（3，0，0），C（3，3，0），D（0，3，0），P（0，0，6），G（1，0，4）．所以DG→设n→=(x，y，则有n→⋅DG所以异面直线PC和DG的距离为|DC故答案为：314【点评】本题考查空间中异面直线的距离的求解，属中档题．15．如图，二面角a﹣l﹣β的棱上有两个点A，B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若AB＝1，AC＝2，BD＝3，二面角α﹣l﹣β的平面角为π3，则CD＝22【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角．【专题】转化思想；向量法；立体几何；运算求解．【答案】22【分析】由图可得CD→=CA→【解答】解：由条件知AB→⋅BD→=0又二面角α﹣l﹣β的平面角为π3，则＜所以|=2所以|CD故答案为：22【点评】本题考查利用向量法求线段长，属于中档题．16．已知a→=（﹣3，1，﹣2）是直线l的一个方向向量，b→=（x，y，4）是平面α的一个法向量，且l⊥α，则x+y＝【考点】平面的法向量；空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】4．【分析】根据线面垂直判定的向量方法，以及向量共线的坐标表示，列出方程，求出结果．【解答】解：由题意得a→∥b→，则x-3=y1=4-2，得x＝6故答案为：4．【点评】本题考查了线面垂直判定的向量方法，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四面形ABCD是正方形，PD＝AD＝1．（1）若平面PAB∩平面PCD＝l，证明：l∥CD；（2）求AC与平面PAB所成角的大小．【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行；直线与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；立体几何；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）证明：由题意CD∥AB，因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB，又因为平面PAB∩平面PCD＝l，CD⊂平面PCD，所以l∥CD；（2）π6【分析】（1）由题意易证得CD∥平面PAB，再由线面平行的性质定理可证得距离；（2）建立空间直角坐标系，求出AC的方向向量与平面PAB的法向量的坐标，再求出这两个向量的夹角的余弦值，即可求出线面所成的角的正弦值，及求出此时此角的大小．【解答】（1）证明：由题意CD∥AB，因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB，又因为平面PAB∩平面PCD＝l，CD⊂平面PCD，所以l∥CD；（2）解：PD＝AD＝1，由题意建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），可得AC→=（﹣1，1，0），AP→=（﹣1，0，1），AB→=（设平面PAB的法向量为n→=（x，y，则n→⋅AP→=0n→可得n→=（1，0，可得AC→⋅n→=-1，|AC→|=可得cos＜AC→，设AC与平面PAB所成角的大小为θ，所以sinθ＝|cos＜AC→，n→可得θ=π即AC与平面PAB所成角的大小为π6【点评】本题考查线面平行的性质定理的应用及线面所成的角的大小的求法，属于中档题．18．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，应用空间向量方法求解下列问题．（1）求EF的长；（2）求平面A1CE与平面A1CD所成的角．【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；空间两点间的距离公式．【专题】转化思想；向量法；立体几何；运算求解．【答案】（1）2；（2）90°．【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量EF→（2）分别计算平面A1CE与平面A1CD的法向量，利用向量法求解即可．【解答】解：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A1（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），因为E，F分别为AB，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则EF→=（﹣1，0，所以|EF（2）由（1）知，DA1→设平面A1CD的法向量m→则m→⋅D令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故平面A1CD的一个法向量m→又A1C→设平面A1CE的一个法向量为n→则A1取a＝1，b＝2，c＝1，故n→所以平面A1CE与平面A1CD所成的角为|cos＜m故平面A1CE与平面A1CD所成的角为90°．【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，属于基础题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB．（1）证明：直线BD⊥平面PAC；（2）求直线PC与平面PBD所成角的大小．【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【专题】转化思想；向量法；空间角；运算求解；空间想象．【答案】（1）因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，由底面ABCD为正方形，知BD⊥AC，又PA∩AC＝A，PA、AC⊂平面PAC，所以直线BD⊥平面PAC．（2）arcsin1【分析】（1）由PA⊥底面ABCD，知PA⊥BD，由正方形的性质知BD⊥AC，再利用线面垂直的判定定理，即可得证；（2）以A为原点建系，利用向量法求线面角即可．【解答】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，由底面ABCD为正方形，知BD⊥AC，又PA∩AC＝A，PA、AC⊂平面PAC，所以直线BD⊥平面PAC．（2）解：由题意知，AB，AD，AP两两互相垂直，故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝2，则P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），所以PC→=（2，2，﹣2），PB→=（2，0，﹣2），PD→=（设平面PBD的法向量为n→=（x，y，z），则取z＝1，则x＝y＝1，所以n→=（1，1，设直线PC与平面PBD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜n→，PC→所以θ=arcsin1故直线PC与平面PBD所成角的大小为arcsin1【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定与性质定理，利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，A1B1＝1，点P为线段AC上的动点，棱台的体积为143（1）求AA1的长；（2）若CC1∥平面PB1D1，请确定点P的位置；（3）求平面PB1D1与平面BCC1B1的夹角的余弦值的最大值．【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；棱台的体积；直线与平面平行．【专题】转化思想；转化法；立体几何；逻辑思维．【答案】（1）2．（2）点P的位置为靠近C的4等分点．（3）155【分析】（1）根据台体体积公式得到方程，求出AA1＝2．（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设P（m，m，0），0≤m≤2，求出平面PB1D1的法向量n→=(1，（3）求出平面BCC1B1的法向量，在（2）基础上，设出面面角，利用向量夹角余弦公式得到cosθ=1【解答】解：（1）底面ABCD是边长为2的正方形，A1B1＝1，故底面A1B1C1D1是边长为1的正方形，所以底面A1B1C1D1的面积为12＝1，底面ABCD的面积为22＝4，因为AA1⊥底面ABCD，所以AA1为棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高，所以棱台的体积为(1+4+1×4)AA13=（2）因为AA1⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，又AD⊥AB，故AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：由（1）知，AA1＝2，则C（2，2，0），C1（1，1，2），B1（1，0，2），D1（0，1，2），设P（m，m，0），0≤m≤2，则CC1→设平面PB1D1的法向量为n→则n→令x＝1，则y＝1，z=2m-1所以n→因为CC1∥平面PB1D1，所以CC解得m=3此时APAC所以点P的位置为靠近C的4等分点．（3）CC设平面BCC1B1的法向量为n1则n1令x1＝1，则y1所以n1由（2）知，平面PB1D1的法向量为n→设平面PB1D1与平面BCC1B1的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜n→，n1令2m+3＝t∈[3，7]，则cosθ=t因为1t∈[17，13所以cosθ的最大值为15所以平面PB1D1与平面BCC1B1的夹角的余弦值的最大值为155【点评】本题考查直线与平面的位置关系，平面与平面所成的角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

考点卡片1．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示②S△ABC=12absinC=12bcsinA=③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC=abc⑤S△ABC=s(s-a)(s-b)(s-c)，（s=12（a+b⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝πA2+B2=π2-C2，余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=a正弦定理asinA=R为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b2R射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△=12aha=12bh②S△=12absinC=12acsinB③S△=④S△=s(s-a)(s-b)(s-c)，（s=12（a+b⑤S△=12（a+b+c（r为△ABC内切圆半径）sinA=sinB＝2SsinC=2．棱锥的结构特征【知识点的认识】1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．2．认识棱锥棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．3．棱锥的结构特征棱锥1根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．4．棱锥的分类棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．5．棱锥的体积公式设棱锥的底面积为S，高为h，V棱锥=133．棱台的体积【知识点的认识】棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=1﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱台的体积计算：考查如何根据两个底面面积和高度计算棱台的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱台体积计算．4．共面直线及四点共面【知识点的认识】共面直线是指在同一平面上的直线．四个点共面是指这四个点在同一平面上．【解题方法点拨】﹣共面判定：判断给定直线或点是否共面．﹣符号表示：利用几何符号表示共面关系．【命题方向】﹣共面判断：考查如何判断直线和点的共面关系．﹣实际应用：如何在实际问题中应用共面判断进行计算．5．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．6．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．7．空间两点间的距离公式【知识点的认识】空间两点间的距离公式：已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），则两点的距离为，特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为．8．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→．满足这个关系式的点P证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共线向量的条件b→=λa→，推出比例关系求出解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x1∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅OB→+p⋅OC解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．9．空间向量的投影向量与投影【知识点的认识】﹣投影向量：向量a→在b→上的投影是﹣投影长度：投影的长度为|a【解题方法点拨】﹣计算投影：使用点积和向量模计算投影向量及其长度．【命题方向】﹣向量投影：考查如何计算向量在另一个向量上的投影及其长度．10．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直【知识点的认识】一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→⇔存在λ∈R共面向量定理若两个向量a→，b→不共线，则向量p→与向量a→，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p→空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量a→、b→、c不共面，那么对空间任一向量p→，存在有序实数组{x，y，z}使得p→=xa（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积（1）a→•b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→⇔a→•b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐标运算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a数量积a→•b→=a1b1+a2b2+a共线a→∥b→⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈垂直a→⊥b→⇔a1b1+a2b2+a3b3夹角公式cos＜a→，11．空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程【知识点的认识】1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量e→以及与e→共线的向量叫做直线①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量n→的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是与平面平行或在平面内，则有n→•④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为n→=（u，v，（2）列：根据a→⋅n→=（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量n→1、空间直线的点向式方程或标准方程：设直线L过点M0（x0，y0，z0），s→=（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则M0M→=（x﹣x0，y﹣y0，z﹣zx-x改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．若直线L的方程为x-x0m=y-y0n=z-z0p，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是2、空间直线的参数方程：在直线方程x-x0mx=x这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．12．平面的法向量【知识点的认识】1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量e→以及与e→共线的向量叫做直线①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量n→的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是与平面平行或在平面内，则有n→•④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为n→=（u，v，（2）列：根据a→⋅n→=（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量n→13．直线与平面所成的角【知识点的认识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，π2）；直线和平面所成