高三数学（理）一轮复习习题作业答案-第三单元-三角函数解三角形

课时作业(十六)1.C[解析]330°=360°+30°,所以330°角是第一象限角,且是负角,所以A错误;同理330°角和30°角不相等,但它们终边相同,所以B错误;因为钝角的取值范围为(90°,180°),所以C正确;0°角和360°角的终边与始边均相同,但它们不相等,所以D错误.2.A[解析]tanα=yx=43,故选3.C[解析]因为点P32,12在角θ的终边上,所以θ为第四象限角,由三角函数的定义可知tanθ=12÷32=33,又θ∈[0,2π),所以4.C[解析]设半径为r,弧长为l,则l+2r=16,2=lr,解得l=8,r=5.{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z}[解析]在0°~360°范围内,阴影部分边界射线所表示的角分别是45°和150°,即在0°~360°范围内,阴影部分表示的角的范围为45°<α<150°,所以角的终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z}.6.B[解析]α是第三象限角,则sinα<0,cosα<0,tanα>0,则可排除A,C,D,故选B.7.C[解析]M={x|x=45°×(2k+1),k∈Z},N={x|x=45°×(k+2),k∈Z},由于2k+1为奇数,k+2为整数,所以M⊆N,选C.8.C[解析]∵sinθ·cosθ>0,∴sinθ>0,cosθ>0或sinθ<0,cosθ<0.当sinθ>0,cosθ>0时,θ为第一象限角,当sinθ<0,cosθ<0时,θ为第三象限角.∵sinθ+cosθ<0,∴θ为第三象限角.故选C.9.C[解析]由题知点P(8m,3),r=64m2+9,所以cosα=-8m64m2+9=45,得m=±12,又cosα=45<0,所以10.A[解析]因为角α的终边与直线y=3x重合,且sinα<0,所以角α的终边在第三象限.又P(m,n)是角α终边上一点,故m<0,n<0,又|OP|=10,所以n=3m,m2+n2=11.B[解析]因为tanα=34,α为钝角,所以sinα=35,cosα=45,又因为Pcosα+π2,sinα+π2,所以P35,45,所以①正确;同理,Q55,255,所以|PQ|2=10+255,所以②正确;由余弦定理得cos∠POQ=55,所以③错误;sin∠POQ=255,所以S△POQ=12×1×1×255=512.钝角三角形[解析]∵A,B均为三角形的内角,∴sinA>0,由已知得sinAcosB<0,∴cosB<0,∴B为钝角,∴△ABC为钝角三角形.13.负[解析]1为第一象限角,2,3均为第二象限角,4为第三象限角,所以cos1>0,cos2<0,cos3<0,cos4<0,所以cos1cos2cos3cos4<0.14.(1,2][解析]角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1),∴r=x2+1,cosθ=xr=xx2+1,sinθ=yr=1x2+1,∴cosθ+sinθ=xx2+1+1x2+1=x+1x2+1=(x+1)2x2+1=x2+2x+1x2+1=1+2xx215.20[解析]如图,由题意可得∠AOB=2π3,OA=6,所以在Rt△AOD中,∠AOD=π3,∠DAO=π6,OD=12AO=12×6=3,可得CD=63=3.由AD=AO·sinπ3=6×32=33,可得AB=2AD=2×33=63.所以弧田面积S=12(弦×矢+矢2)=12×(63×3+32)=9316.±34[解析]由角β的终边与单位圆交于点12,m,得cosβ=12,又由sinα·cosβ<0知sinα<0,因为角α的终边落在直线y=3x上,所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点,设P(x,y)(x<0,y<0),则|OP|=1(O为坐标原点),即x2+y2=1,又由y=3x得x=12,y=32,所以cosα=x=12.因为点12,m在单位圆上,所以122+m2=1,得m=±32,所以sinβ=±32.所以cos课时作业(十七)1.C[解析]tan390°=tan(360°+30°)=tan30°=332.A[解析]∵α为锐角,∴cosα=1-sin2α=35,∴cos(π+α)=cos3.B[解析]cosαπ3=cosα+π6π2=sinα+π6=45,故选B.4.B[解析]∵tanθ=2,∴sin2θ-sinθcos5.12[解析]由sinα=55,π2≤α≤π,可得cosα=1-sin2α=256.A[解析]cosα+3π8=cosπ2+απ8=sinαπ8=45,故选A.7.B[解析]由sinx=2sinx+π2,得sinx=2cosx,即tanx=2,则cosxcosx+π2=cosxsinx=sinxcosxsin2x+cos2x8.C[解析]因为cosα+20172π=cosα+1008π+π2=sinα=35,且α∈32π,2π,所以sinα=35,cosα=1-sin2α=45,则sinα+cosα=35+49.D[解析]由题可知sinx+cosx=3-12,x∈(0,π),则(sinx+cosx)2=4-234,因为sin2x+cos2x=1,所以2sinxcosx=32,即2sinxcosxsin2x+cos2x=2tanxtan2x+1=32,得tanx=33或tanx=3.10.B[解析]因为sin(A+B)sin(AB)=sin2C,A,B,C为三角形的内角,所以sin(AB)=sinC,所以AB=C,所以A=90°,所以三角形ABC一定为直角三角形.11.C[解析]1+cosαsinα=2,sin2α+cos12.B[解析]∵tanα=3,∴原式=-sinα-cosαcosα13.C[解析]由题知sinθ+cosθ=m,sinθ·cosθ=2m-14,Δ=16m2-32m+16≥0,又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ,∴m=1±32.∵3π2<θ<2π,∴sinθ·cosθ=2m-14<0,即m=1-32,14.π6[解析]由已知得sinA=2sinB,3cosA=2当cosA=22时,cosB=32,又A,B是三角形内角,∴B=当cosA=22时,cosB=32,又A,B是三角形内角,∴A=3π4,B=5π6,15.132[解析]由1+tanx1-tanx=3+22得tanx=22,∴sinx(sinx3cosx)=sin2x3sinxcosx=16.3512[解析]由sinα+cosα=15平方得sinαcosα=1225,∵π2<α<π,∴sinαcosα=(sinα+cosα)2-4sinαcosα=7课时作业(十八)1.D[解析]由T=2π|ω|=π,2.D[解析]函数的解析式即f(x)=2sin2xπ4.由2kππ2≤2xπ4≤2kπ+π2(k∈Z),得π8+kπ≤x≤3π8+kπ(k∈Z),即函数f(x)的单调递减区间为π8+kπ,3π8+kπ3.D[解析]由题意知f(x)=cosx,可得A,B,C正确.因为f(x)=cosx=f(x),所以f(x)是偶函数,即D错误.4.B[解析]由y=f(x)的最小正周期为π,可排除D.下面验证图像是否关于直线x=π3对称.对于A,fπ3=sinπ3=32≠±1,故A不满足;对于B,fπ3=sin2π3π6=sinπ2=1,故B满足;对于C,fπ3=sin2π3+π6=sin5π6=125.π4+kπ,π2+kπ,k∈Z[解析]由tanx1≥0,得tanx≥1,∴π4+kπ≤x<π2+kπ,k∈Z.∴函数y=tanx-16.A[解析]对于①,y=cos|2x|=cos2x为偶函数,且周期为2π2=π,对于②,y=|cosx|的周期为π,且是偶函数,满足条件;对于③,y=sin2x+π2=|cos2x|的周期为12×2π2=π2,且是偶函数,不满足条件对于④,y=tan|x|不具有周期性,不满足条件.故选A.7.D[解析]由题意可得ba的值不可能超过一个周期,而函数f(x)=2sinx2的周期为4π,故ba的值不可能是148.D[解析]根据题意,令2x+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ2x,k∈Z.又函数f(x)图像的对称中心在区间π6,π3内有且只有一个,∴x∈π6,π3,∴2x∈2π3,π3,∴φ=kπ2x∈kπ2π3,kππ3,k∈Z.当k=1时,φ∈π3,2π3,又0<φ<π2,9.C[解析]由题意可得函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于直线x=π4对称,故有2×π4+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ,k∈又fπ6=sinπ3+φ>0,所以φ=2nπ,n∈Z,所以f(x)=sin(2x+2nπ)=sin2x.令2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2,k∈Z,求得kπ+π4≤x≤kπ+3π4,k∈Z,故函数f(x)的单调递减区间为kπ+π4,kπ+3π4,10.D[解析]f(x)=sin(ωx+φ)+3cos(ωx+φ)=2sinωx+φ+π3.因为其图像的两条相邻对称轴方程为x=0与x=π2,则T=π,即ω=2,所以f(x)=2sin2x+φ+π3.当x=0时,得2sinφ+π3=±2,又|φ|<π2,所以φ=π6,所以f(x)=2cos2x,则f(x)11.12[解析]由题意可得4+π2ω2=22,∴ω=π2,∴函数f(x)=sinπ2x+π3,∴f12.π6[解析]∵函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点2π3,0中心对称,∴2×2π3+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ5π6,k∈Z13.解:(1)对于函数f(x)=sin2xπ6,它的最小正周期T=2π2=π(2)令π2+2kπ≤2xπ6≤π2+2kπ,k∈Z,可得π3+2kπ≤2x≤2π3+2kπ,k∈Z,即π6+kπ≤x≤π所以函数f(x)的单调递增区间是π6+kπ,π3+kπ(k∈Z).(3)因为0≤x≤2π3,所以0≤2x≤4π3,所以π6≤2所以函数f(x)的最小值是12,此时2xπ6=π6或2xπ6=7π6,即14.解:(1)因为函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的最小正周期为π,所以T=2πω=π,所以ω=2因为fπ3=cos2×π3+φ=32,0<φ<π2,所以2×π3+φ=5π6(2)因为f(x)=cos2x+π6>12,所以2kππ3<2x+π6<2kπ+π3,k所以kππ4<x<kπ+π12,k∈Z,即x∈kππ4,kπ+π12,k∈15.D[解析]∵函数f(x)=4cos(ωx+φ)对任意的x∈R都有f(x)=fπ3+x,∴函数f(x)=4cos(ωx+φ)的图像的一条对称轴为x=π6,∴ω×π6+φ=kπ(k∈Z),∴gπ6=sin(kπ)2=16.B[解析]由题意可得函数f(x)=2cos(ωx+φ)+1的最大值为3.∵f(x)的图像与直线y=3相邻两个交点的距离为2π3,∴f(x)的周期T=2π3,∴2πω=2π3,解得ω=3,∴f(x)=2cos(3x+φ)+1.∵f(x)>1对任意x∈π12,π6恒成立,∴2cos(3x+φ)+1>1,即cos(3x+φ)>0,对任意x∈π12,π6恒成立,∴π4+φ≥2kππ2且π2+φ≤2kπ+π2,k∈Z,解得φ≥2kππ4且φ≤2kπ,k∈Z,即2kππ4≤φ≤2kπ,k∈Z.结合|φ|<加练一课(三)1.B[解析]令2xπ3=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+5π12(k∈Z),当k=1时,2.C[解析]由cosx32≥0,得cosx≥32,所以2kππ6≤x≤2kπ+π6,3.A[解析]由y=cos2x+π2=sin2x,可知该函数的最小正周期为π且为奇函数,满足题意,故选A.4.C[解析]将函数f(x)的图像上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,得y=2sin4xπ3+1的图像.令4xπ3=kπ(k∈Z),得x=kπ4+π12(k∈Z).当k=1时,x=π3,把x=π3代入y=2sin4xπ3+1,得y=1,所以所得图像的一个对称中心可能是π3,15.A[解析]∵函数f(x)=asinx+cosx(a为常数,x∈R)的图像关于直线x=π6对称,∴f(0)=fπ3,∴1=3a2+12,解得a=33,∴g(x)=sinx+33cosx=233sinx+π6.对于选项A,当x=π3时,gπ3=233为最大值,故A正确;对于选项B,当x=2π3时,g2π3=33≠0,故B不正确;对于选项C,当x=π3时,gπ3=233≠0,故C不正确;对于选项6.D[解析]f(x)=22(sin2x+cos2x)+22(cos2xsin2x)=2cos2x,所以f(x)在0,π2上单调递减,其图像关于直线x=π2对称,故选7.D[解析]由题意有2×π3+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ23π,k∈Z,又因为φ>0,所以当k=1时,φ取得最小值π3,这时f(x)=2cos2x+π3.当x0∈0,π2时,2x0+π3∈π3,4π3,f(x0)∈[2,1),所以a∈[2,1),8.C[解析]f(x)=cos(2x+θ)|θ|≤π2,当x∈3π8,π6时,3π4+θ≤2x+θ≤π3+θ,由函数f(x)在3π8,π6上是增函数得-π+2kπ≤-3π4+θ,-π3+θ≤2kπ(k∈Z),则2kππ4≤θ≤2kπ+π3(k∈Z),又|θ|≤π2,∴π4≤θ≤π3.∵fπ8=cosπ9.D[解析]因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,π2上单调,ω>0,所以π2π6≤T2=12×2πω=πω,得0<ω≤3.因为fπ2=f2π3=fπ6,所以x=π2+2π32=7π12为f(x)=sin(ωx+φ)图像的一条对称轴,且π2+π62,0,即π3,0为f(x)=sin(ωx+φ)图像的一个对称中心.因为0<ω10.B[解析]f(x)=sinxacosx=1+a2sin(xθ),其中tanθ=a,θ∈π2,π2,其图像关于直线x=3π4对称,所以3π4θ=π2+kπ(k∈Z),所以θ=π4kπ(k∈Z),又θ∈π2,π2,所以θ=π4,所以a=tanθ=1,所以f(x)=sinxacosx=2sinxπ4.因为x1,x2为函数f(x)的两个极值点,所以当x1=π4,x2=3π11.(∞,1][解析]因为2π3<x<2π3,所以12<cosx≤1,所以0<2cosx+1≤3,所以log3(2cosx+1)≤1,故应填(12.π[解析]由f(x)=2sinxcosx+3cos2x=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3,得函数f(x)的周期T=2π2=π13.1[解析]y=sinx+cosx+2sinxcosx=(sinx+cosx)2+sinx+cosx1.设sinx+cosx=t,则t=2sinx+π4,那么原函数可化为y=t2+t1.∵x∈π4,π4,∴x+π4∈0,π2,∴0≤t≤2.∵函数y=t2+t1的图像开口向上,对称轴为t=12,∴当t=0时,y取得最小值1.14.①②③[解析]①当x=1112π时,2xπ3=2×11π12π3=3π2,所以①正确;②当x=2π3时,2xπ3=2×2π3π3=π,所以②正确;③由x∈π12,5π12,得2xπ3∈π2,π2,此时函数f(x)为增函数,所以③正确;④由y=3sin2x的图像向右平移π3个单位长度可得y=3sin2x课时作业(十九)1.B[解析]y=sin2xπ6=sin2xπ12,故将函数y=sin2x的图像向右平移π12个单位长度,可得y=sin2xπ6的图像.2.A[解析]函数f(x)=2sin2xπ3,由2xπ3=π2+kπ(k∈Z),可得x=12kπ+5π12(k∈Z),则x0=12kπ+5π12(k∈Z),当k=1时3.D[解析]由函数的图像可知A=1,3T4=11π12π6=3π4,所以T=π,所以ω=2,又函数的图像经过点π6,1,所以1=sin2×π6+φ,因为|φ|<π4.B[解析]由题意可得3T4=111216=34,∴T=1=2πω,解得ω=2π,∴f(x)=12cos(2πx+φ).∵点16,0在函数图像上,∴0=12cos2π×16+φ,∴2π×16+φ=kπ+π2,k∈Z,解得φ=kπ+π6,k∈Z,∵|φ|<π5.3[解析]由图像知πω=2×3π8π8=π2,所以ω=2.因为2×π8+φ=kπ+π2(k∈Z),所以φ=kπ+π4(k∈Z),又|φ|<π2,所以φ=π4.这时f(x)=Atan2x+π4.又函数图像过点(0,1),代入上式得A=1,所以f(x)=tan2x+π4.所以fπ24=tan2×π6.B[解析]∵f(0)=12,∴sinθ=12,又|θ|<π2,∴θ=π6.由πxπ6=2kπ+π2(k∈Z),得x=2k+23(k∈Z),结合图像得7.B[解析]∵函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,∴φ=π2,f(x)=4sinωx.∵A(a,0),B(b,0)是其图像上两点,|ab|的最小值是1,∴12×2πω=1,∴ω=π,f(x)=4sinπx,则f16=8.A[解析]因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,|φ|<π2的图像在y轴左侧的第一个最高点为π6,3,第个最低点为2π3,m,所以T=2×π6+2π3=π=2πω.由题意知ω<0,所以ω=2,并且A=3.又fπ6=3,即sin2×-π6+φ=1,且|φ|<π2,所以φ=π6,故所求解析式为f(x)=3sin2x+π6.9.A[解析]∵曲线C:y=sin(2x+φ)|φ|<π2的一条对称轴方程为x=π6,∴sinπ3+φ=±1,则π3+φ=π2+kπ,k∈Z.∵|φ|<π2,∴φ=π6.可得曲线C:y=sin2x+π6,向左平移θ个单位长度,得曲线E:y=sin2x+2θ+π6.由曲线E的对称中心为π6,0,得2×π6+2θ+π6=kπ,k∈Z,∴θ=12kππ4,k∈Z.则|φθ|=π4+π612kπ(k∈10.B[解析]∵函数f(x)=Asin(2x+φ)12A>0,0<φ<π2的图像在y轴上的截距为1,∴Asinφ12=1,即Asinφ=32.∵函数f(x)=Asin(2x+φ)12的图像关于直线x=π12对称,∴2×π12+φ=kπ+π2,k∈Z,又0<φ<π2,∴φ=π3,∴A·sinπ3=32,∴A=3,∴f(x)=3sin2x+π312.对于任意的x∈0,π2,都有m23m≤f(x),∴m23m≤f(x)min.∵x∈0,π2,∴2x+π3∈π3,4π3,sin2x+π3∈32,1,3sin2x+π3∈32,3,f(x)∈2,312,∴m23m≤2,解得111.4摄氏度[解析]f(t)=10232cosπ12t+12sinπ12t=102sinπ12t+π3.因为0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7π3,所以f(t)max=2×(1)+10=12,f(t)min=2×1+10=8,所以f(t)maxf(t)min=12812.g(x)=3sin2xπ6[解析]将函数f(x)=3sin4x+π6图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得函数y=3sin2x+π6的图像,再向右平移π6个单位长度,可得y=3sin2xπ6+π6=3sin2xπ6的图像,故g(x)=3sin2xπ6.13.解:(1)f(x)=22sin2x+π4+sin2x=2222sin2x+22cos2x+sin2x=12sin2x+12cos2x+sin2x=12sin2x+cos2x12+sin2x=12sin2x+112=∴f(x)的最小正周期T=2π2=(2)∵函数g(x)对任意x∈R,有g(x)=fx+π6,∴g(x)=12sin2x+π6+12=12sin2x+π3+12.当x∈π6,π2时,2x+π3∈0,4π3则32≤sin2x+π3≤1,则32×12+12≤g(x)≤12+12,即2-34综上所述,函数g(x)在π6,π2上的值域为2-34,114.解:(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2的最小正周期为π,所以T=2πω=π,所以ω=由x=π12为f(x)图像的一条对称轴得2×π12+φ=kπ+π2,k则φ=kπ+π3,k∈Z又|φ|≤π2,所以φ=π(2)由(1)知f(x)=sin2x+π3,则g(x)=f(x)+fxπ6=sin2x+π3+sin2x=12sin2x+32cos2x+sin2x=3sin2x+π6.由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z,得kπ+π6≤x≤kπ+2所以g(x)的单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z15.B[解析]由题可知g(x)=3sin2x+2π3+1,因为g(x1)g(x2)=16,所以g(x1)=g(x2)=4都为g(x)的最大值.令2x+2π3=2kπ+π2(k∈Z),可得x=kππ12(k∈Z),又因为x1,x2∈3π2,3π2,所以x1,x2的取值可以为13π12,π12,11π12,则2x1x216.C[解析]g(x)=fx+π4ω=sinωx+π4ω=sinωx+π4.因为函数g(x)在区间(ω,ω)内单调递增,ω>0,所以由2kππ2≤ωx+π4≤2kπ+π2,k∈Z,可求得函数g(x)的单调递增区间为2kπ-3π4ω,2kπ+π4ω,k∈Z,依题意有ω≥2kπ-3π4ω且ω≤2kπ+π4ω,k∈Z,即0<ω2≤3π42kπ且0<ω2≤2kπ+π4,k∈Z,所以3π42kπ>0且2kπ+π4>0,k∈Z,解得18<k<38,因为k∈Z,所以k=0.又由ωx+π4=kπ+π2,k∈Z课时作业(二十)1.D[解析]cos70°sin50°cos200°sin40°=cos70°sin50°+cos20°sin40°=cos70°sin50°+sin70°cos50°=sin(50°+70°)=sin120°=322.D[解析]∵y=sinx+3cosx=212sinx+32cosx=2sinx+π3,∴函数的最小值为2.3.B[解析]由2sinθ+π3=3sinπ3θ,得2sinθcosπ3+2cosθsinπ3=3sinπ3cosθ3cosπ3sinθ,化简可得52sinθ=32cosθ,∴tan4.A[解析]∵B为三角形的内角,cosB=35>0,∴B为锐角,∴sinB=1-cos2B=45,又sinA=513,∴sinB>sinA,∴A为锐角,∴cosA=1-sin2A=1213,∴cosC=cos[π(A+B)]=cos(A+B)=cosAcosB+sin5.3[解析]由tanα=2,tan(α+β)=17,可知tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=17,6.B[解析]因为α,β为锐角,所以cosα=31010,sinβ=55,因此cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ=31010×2551010×55=22,因为α+β∈(0,7.A[解析]∵sinα=35,α∈π2,π,∴cosα=1-sin2α=45,∴tanα=sinαcosα=34.∵tan(πβ)=12=tanβ,∴tanβ=128.A[解析]∵sin2α=2sin2β,∴sin[(α+β)+(αβ)]=2sin[(α+β)(αβ)],∴sin(α+β)cos(αβ)+cos(α+β)sin(αβ)=2sin(α+β)cos(αβ)2cos(α+β)sin(αβ),∴3cos(α+β)sin(αβ)=sin(α+β)cos(αβ),∴tan(α+β)=3tan(αβ).9.C[解析]∵sinα+π3+sinα=435,∴32sinα+32cosα=435,∴32sinα+12cosα=45,∴cosαπ3=45,∴cosα+2π3=cosπ+απ3=cosαπ10.1[解析]2sin46°-3cos74°cos16°=11.π[解析]f(x)=1+tanx1-tanx=tanπ4+tanx1-tanπ4tanx=tanx+π4,∵ω=12.π4[解析]由0<β<α<π2,得到π2<βα<0,又cosα=35,cos(αβ)=cos(βα)=7210,所以sinα=1-cos2α=45,sin(βα)=1-cos2(β-α)=210,则cosβ=cos[(βα)+α]=cos(βα)cos13.解:(1)在△ABC中,∵(2ca)cosBbcosA=0,∴2sinCcosBsinAcosBsinBcosA=0,即2sinCcosBsin(A+B)=0,即sinC(2cosB1)=0,∴cosB=12∴B=π3(2)由(1)可得3sinA+sinCπ6=3sinA+sin2π3Aπ6=3sinA+cosA=2sinA+π6.∵A∈0,2π3,∴A+π6∈π6,5π6,∴sinA+π6∈12,1,∴2sinA+π6∈(1,2],即3sinA+sinCπ6的取值范围是(1,2].14.解:(1)因为α是第二象限角,且sinα=63所以cosα=1-sin所以tanα=sinαcosα所以f(α)=(13×2)×-332(2)函数f(x)的定义域为xx∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z.易得f(x)=(1+3tanx)cos2x=1+3sinxcosxcos2x=cos2x+3sinxcosx=1+cos2x2+32sin2x=sin2x+π因为x∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z所以2x+π6≠2kπ+7π6,k所以sin2x+π6≠12,但当2x+π6=2kππ6,k∈Z时,sin2x+π6=12,所以sin2x+π6∈[1,1],f(x)∈12,32所以函数f(x)的值域为12,32.15.B[解析]因为α为锐角,sinαcosα=16,所以α>π4.又tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=3,所以16.B[解析]因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=π4.在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,所以sin∠BEC=55,cos∠BEC=255.所以sin∠CED=sinπ4∠BEC=22cos∠BEC22sin∠BEC=22×2课时作业(二十一)1.C[解析]因为α∈(0,π),cosα=12,所以sinα=32,sin2α=2sinαcosα=2.C[解析]sinθ=cosπ2θ=cos2π4θ2=2cos2π4θ21=19.3.C[解析]将sinαcosα=13两边平方,可得12sinαcosα=19,即1sin2α=19,∴cosπ22α=sin2α=4.D[解析]3cos10°1sin170°=3cos10°1sin10°=5.34[解析]∵sinα2cosα=102,∴sin2α4sinα·cosα+4cos2α=52,化简得4sin2α=3cos2α,∴tan2α=sin26.A[解析]由sinπ6α=13,得2cos2π6+α21=cosπ3+α=sinπ2π3+α=sinπ6α=13.7.C[解析]由3cos2θ=3×11+tan2θ=tanθ+3,整理可得tanθ(1+tan2θ+3tanθ)=0.∵θ≠kπ(k∈Z),∴tanθ≠0,∴1+tan2θ=3tanθ,∴sin[2(πθ)]=sin(2π2θ)=sin2θ=2tan8.D[解析]由tanB=2tanA,可得cosAsinB=2sinAcosB,又cosAsinB=45,∴sinAcosB=25,则cosAB3π2=sin(AB)=sinAcosB+cosAsinB=9.D[解析]由三角恒等变换公式,可得a=cos50°cos127°+cos40°cos37°=cos(50°127°)=cos(77°)=cos77°=sin13°,b=22(sin56°cos56°)=22sin56°22cos56°=sin(56°45°)=sin11°,c=1-tan239°1+tan239°=1-sin239°cos239°1+sin239°cos239°=cos239°sin239°=cos78°=sin10.B[解析]sinπ4αsinπ4+α=310,即sinπ4α·cosπ4α=310,即12sinπ22α=310,即12·cos2α=310,∴cos2α=35=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan211.12[解析]原式=1-cos2α-π32+1-cos2α+π32sin2α=112cos212.116[解析]cos20°cos40°cos60°cos80°=2sin20°cos20°cos40°cos60°cos8013.3π4[解析]tanA=tan(AB+B)=tan(A-B)+tanB1-tan(A-B)·tanB=12-171+12×17=13,所以tan(2AB)=由tanB=17,可知π2<B<故得π<2AB<0,所以2AB=34π14.解:(1)函数f(x)=22cos2x+π4+sin2x=22cos2xcosπ4sin2xsinπ4+sin2x=12cos2x12sin2x+1212cos2x=12所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=(2)当x∈0,π2时,g(x)=12f(x),即g(x)=121212sin2x=12sin当x∈π2,0时,x+π2∈0,π2,因为gx+π2=g(x),所以g(x)=gx+π2=12sin2x+π2=12sin2x.当x∈π,π2时,x+π∈0,π2,可得g(x)=g(x+π)=12sin2(x+π)=12sin∴函数g(x)在[π,0]上的解析式为g(x)=-15.解:(1)由f(x)=23sinxcosx+2cos2x1,得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x1)=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6,所以函数f(x)的最小正周期为π.易知f(x)=2sin2x+π6在区间0,π6上为增函数,在区间π6,π2上为减函数,又f(0)=1,fπ6=2,fπ2=1,所以函数f(x)在区间0,π2上的最大值为2,最小值为1(2)由(1)可知f(x0)=2sin2x0+π6,因为f(x0)=65,所以sin2x0+π6=35由x0∈π4,π2,得2x0+π6∈2π3,7从而cos2x0+π6=1-sin22所以cos2x0=cos2x0+π6π6=cos2x0+π6cosπ6+sin2x0+π6sinπ6=3-4316.D[解析]∵α,β都是锐角,sinα=12,cos(α+β)=12,∴cosα=32,sin(α+β)=32.∴cosβ=cos[(α+β)α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=32×12+17.B[解析]∵α,β∈[0,π],∴αβ∈[π,π],又∵sinαcosβsinβcosα=sin(αβ)=1,∴αβ=π2,∴2αβ∈π2,3π2,∴cos(2αβ)∈[1,0课时作业(二十二)1.C[解析]∵S△ABC=12bcsinA,∴sinA=2S△ABCbc=12,∴A=30°或A=150°2.A[解析]∵bsinB=csinC=asinA=3sin60°=2,∴b=2sinB,c=2sinC,a=2sinA,3.A[解析]∵bcosC+ccosB=2b,∴由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=2sinB,∴a=2b=2,∴b=1.4.D[解析]∵bcosA+acosB=c2,∴由余弦定理可得b·b2+c2-a22bc+a·a2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c35.π4[解析]由正弦定理可得c-b2c-a=sinAsinB+sinC=ab+c,∴c2b2=2aca2,∴c2b2+a2=2ac,∴6.D[解析]∵c=2,b=23,C=30°,∴由正弦定理可得sinB=bsinCc=23×122=32,由b>c,可得7.D[解析]易知a2+b2+c2=a2+b2+a2+b22abcosC=23absinC,即a2+b2=2absinC+π6,由于a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号,所以2absinC+π6≥2ab,故只能a=b且C+π6=π2,故△ABC为正三角形.8.C[解析]∵bcosA+acosB=2,∴由余弦定理可得b·b2+c2-a22bc+a·a2+c2-b22ac=2,整理解得c=2.∵cosC=223,∴sinC=1-cos2C=13.设三角形的外接圆的半径为9.A[解析]∵a2+b2=2c2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立),∴c2≥ab,∴由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=c22ab≥c22c2=110.D[解析]∵A=π6,AB=5,△ABC的面积为53,∴12AB·AC·sinA=12×5×AC×12=53,∴AC=43,∴BC=AB11.D[解析]∵a2=b2+c2bc,∴bc=b2+c2a2,∴cosA=b2+c2-a22bc=12,∵A∈(0,π),∴A=π3.∵a=3,∴由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=332=23,∴b=23sinB,c=23sinC,则a+b+c=3+23sinB+23sinC=3+23sinB+23sin2π3B=3+33sinB+3cosB=3+6sinB+12.52[解析]∵S=12×1×c×sinπ4=2,∴c=42,由余弦定理可得b2=1+322×1×42×cosπ4=25,则b=5.∴bsin13.64[解析]∵AD=DB,∴∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A.设AD=BD=x,∴在△BCD中,BCsin∠CDB=BDsinC,在△AED中,EDsinA=ADsin∠AED,可得∴联立①②可得42sinAcosA=22sinA14.解:(1)在△ABD中,∵cos∠ADB=35,∴sin∠ADB=4∴sin∠CAD=sin(∠ADB∠ACD)=sin∠ADBcosπ4cos∠ADBsinπ4=45×2235在△ADC中,由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsin∠CAD=ADsin∠ACD,即AC45=CD210(2)∵CA·CB=48,∴8·CB·22=48,解得CB=62,∴BD=CBCD=52在△ABC中,AB=82+(6在△ABD中,cos∠BAD=(210)15.解:(1)∵acosB+bcosAc由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=233sin2∴sin(A+B)=233sin2∴sinC=233sin∵sinC>0,∴sinC=32∵C为锐角,∴C=60°.(2)由C=60°及csinC=asinA=2,由余弦定理得3=b2+a2ab≥ab(当且仅当a=b时取等号),∴S=12absinC≤12×3×32∴△ABC的面积S的最大值为3316.解:(1)在△ABC中,∵cosBb+cosC∴a2+c2-∴2a22解得b=32(2)∵cosB+3sinB=2,∴cosB=23sinB,∴sin2B+cos2B=sin2B+(23sinB)2=4sin2B43sinB+4=1,∴4sin2B43sinB+3=0,解得sinB=32从而求得cosB=12∴B=π3由正弦定理得asinA=bsinB=csin∴a=sinA,c=sinC.由A+B+C=π得A+C=2π∴C=2π3A,且0<A<∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin2π3A=sinA+sin2π3cosAcos2π3sinA=32sinA+32cosA=3∵0<A<2π3,∴π6<A+π∴12<sinA+π6≤1,∴32<3sinA+π6≤3,∴a+c的取值范围是32,3.课时作业(二十三)1.C[解析]注意旋转的方向是顺时针方向,作出相应的图形(图略),分析可得C正确.2.A[解析]如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=75°30°=45°,AB=200m,由正弦定理,得BC=200×sin30°sin45°=1002(m),所以河的宽度为BCsin75°=1002×2+64=50(33.B[解析]依题意得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=(305)2+(2010)24.30+303[解析]由题意及正弦定理可得60sin(45°-30°)=PBsin30°,所以PB=60×12sin15°=30sin15°=30(2+6),则树的高度为5.502[解析]在三角形ABC中,AC=50,∠ACB=45°,∠CAB=105°,所以∠ABC=30°,由正弦定理有ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,即5012=AB26.C[解析]轴截面如图所示,则光源高度h=15tan60°=53(m7.A[解析]如图所示,设t小时后甲船行驶到D处,乙船行驶到C处,则AD=104t,AC=6t.∵∠