运筹学 第2版 习题及答案 排队论第八章习题答案

第八章典型的排队模型分析一、排队模型1.某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时间服从负指数分布，平均需6分钟。①判断排队系统模型，画出系统的状态转移速度图；②理发店空闲的概率、店内有三个顾客的概率、店内至少有一个顾客的概率；③在店内顾客平均数、在店内平均逗留时间；④等待服务的顾客平均数、平均等待服务时间。012K-2KK012K-2KK+1…..…..②理发店空闲的概率：。店内有三个顾客的概率：。店内至少有一个顾客的概率：。③店内顾客平均数：。在店内的平均逗留时间：（小时）。④等待服务的顾客平均数：。平均等待服务时间：（小时）。2.某银行有三个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，出纳员与顾客的交易时间服从平均数为1/2分钟的负指数分布，试求①银行内空闲时间的概率；②银行内顾客数为n时的稳态概率；③平均队列长Lq④银行内的顾客平均数Ls⑤顾客在银行内的平均逗留时间Ws⑥等待服务的平均时间Wq解：模型识别与参数确定：该系统为多服务台等待制排队系统M/M/C/∞/∞/FCFS。到达率λ=4人/分钟平均服务时间1/μ=1/2分钟⇒服务率服务台数c=3服务强度ρ=①银行内空闲时间概率p0：p②银行内顾客数为n时的稳态概率pnp③平均队列长LqL④银行内的顾客平均数LsL⑤顾客在银行内的平均逗留时间WsW⑥等待服务的平均时间WqW3.某加油站有一台油泵。来加油的汽车按泊松流到达，平均每小时二十辆，但当加油站已有n辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿意等待而离去，离去概率为n／4（n=0,1,2,3,4）。油泵给一辆汽车加油所需要的时间为均值3分钟的负指数分布。①画出排队系统的状态转移速度图；②导出其平衡方程式；③求出系统的运行参数。解：根据题意，顾客按泊松流到达，＝20辆／小时，服务时间服从负指数分布，＝20辆／小时。一个服务台，系统容量为N=4，离去的概率为n／4。状态转移速度图及状态转移速度矩阵：0123401234即：，，，。由于，。③系统运行参数：。。()（辆/小时），或者。。。4.某停车场有10个停车位置，车辆按泊松流到达，平均每小时10辆。每辆车在该停车场平均存放时间为10分钟，存放时间服从负指数分布。试求①停车场平均空闲的车位；②一辆车到达找不到空闲车位的概率；③车辆到达停车场的有效到达率；④若该停车场每天营业10小时，则平均有多少台车因找不到车位而离去？解：停车场车位固定，无车位时车辆离去，属于M/M/c/c损失制排队系统。服务台数（车位数）：c=10到达率：λ=10辆/小时平均服务时间：1/μ=10分钟=1/6小时⇒服务率μ=6辆/小时系统服务强度（流量强度）：r=①停车场平均空闲的车位：对于损失制系统，平均占用的车位数（平均队长）Ls为有效到达率与平均服务时间的乘积。首先需要计算p0和p由于r=1.667远小于c=10，系统处于满员状态的概率极低。由于e1.667≈5.29当c较大时，分母近似于er，得到：平均占用车位数Ls：在M/M/c/c系统中，若ploss很小，则精确计算：L由于p10≈0，则Ls≈1.67。平均空闲车位②一辆车到达找不到空闲车位的概率(损失概率p10)根据爱尔朗损失公式：由于r=1.667代入上式得到：p即找不到车位的概率约为0.00085%。③车辆到达停车场的有效到达率λeλ即有效到达率约为10辆/小时。④每天营业10小时，平均因找不到车位而离去的车辆数:平均每小时损失车辆数：λloss10小时总损失：10×5.有一台电话的公用电话亭打电话顾客服从个／小时的泊松分布，平均每人打电话为3分钟，服从负指数分布。试求①到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率；②顾客从达到时算起到打完电话离开超过10分钟的概率；③管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3分钟时，将安装第二台电话，问当值为多大时安装第二台？解：相关参数：到达率服务时间平均服务强度①到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率：使用等待时间代入数值②顾客从达到时算起到打完电话离开超过10分钟的概率：由P(③条件：管理部门规定平均等待时间W代入解得：答：当到达率超过10人/小时时，应安装第二台电话。6.设一个维修组负责修理3台相同的设备。每台设备连续正常运转时间长度相互独立且服从平均值为9小时的负指数分布，设备当且仅当出现故障时停止运转，维修组每次只能修理1台设备，故障修理时间服从平均值为2小时的负指数分布，试求：①指出该排队系统的类型及参数，画出排队系统的状态转移数度图②求出稳定状态的概率分布，以及设备平均每次停止运行的时间长度③设每台设备每运行一小时可创造净产值的平均数为200元，每停止运行一小时可造成平均数为100元的损失。试求这3台设备平均每天的净产值（每天按24小时计算）。①系统类型与状态转移图：这是有限源排队系统M/M/1/3/3。顾客源（设备数）：m=3服务台数：c=1单台设备故障率（到达率）：λ=1/9台/小时修理率（服务率）：μ=1/2=0.5台/小时系统状态n表示系统内故障（停止运转）的设备数，n=0,1,2,3。状态转移速度图，如下图所示：其中λ=1/9，μ=1/2②稳定状态的概率分布：根据有限源公式：pn=m!(m−n)!计算各项系数：n=0:Coeff=n=1:n=2:Coeff=n=3:求和得到p0−1：Sum=稳态概率：p0ppp设备平均每次停止运行的时间长度（即逗留时间Ws首先计算系统内平均故障设备数LsLs计算有效到达率λe：λ平均停止运行时间（逗留时间）：Ws③平均每天的净产值：平均停止运转的台数：Ls平均正常运转的台数：K=m−Ls每小时平均净产值Z：Z=K×平均每天净产值：Total=384.57×即平均每天净产值约为9230元。7.某排队系统，顾客按参数为λ的泊松分布到达。当系统只有一名顾客时，由一名服务员为其服务，平均服务率为μ；当系统中有两名以上顾客时，增加一名助手，并由服务员和助手一起共同对每名顾客依次服务，其平均服务率为m(m>①系统中无顾客的概率；②服务员及助手的平均忙期；③当λ=15，μ=20，解：这是一个生灭过程，但服务率随系统状态变化。到达率：λn服务率：当n=1时，μ1=μ；当n≥2建立状态概率关系：根据生灭过程平衡方程（流入=流出）：状态0↔1:λ状态1↔2:λ状态k↔k+1(k≥1):λ由此归纳出通项公式n≥1：p①系统中无顾客的概率：p0：由归一化条件得n=0p令ρ'=Sum代入归一化方程：p解得：p②服务员及助手的平均忙期（忙碌概率）：服务员忙碌概率P助手忙碌概率P③数值解计算p计算p服务员忙碌概率：P助手忙碌概率：Passt=1−0.4−0.3=0.38.高射炮阵地有三个瞄准系统，每一瞄准系统在每一时可只能对一架来犯敌机进行瞄准。假定敌机按泊松流来到，平均每分钟到达1.2架。瞄准时间按负指数分布，平均瞄准时间为2.5分钟。当三个瞄准系统分别对三架敌机进行瞄准时，则后来的敌机就会串如后方进行轰炸。试求：①该高射炮阵地是哪一种服务系统；②试画出系统状态概率速度图；③建立系统状态概率关系；④系统空闲的概率；⑤敌机没有遭到瞄准射击而串入阵地后方进行轰炸的概率；⑥若要求未遭至瞄准射击的概率小于0.05，则应设置多少瞄准系统为宜？①系统参数与类型：到达率λ=1.2架/②状态转移速度图：③

建立系统状态概率关系：根据M/M/c/c损失制模型（爱尔朗分布）：pp④系统空闲的概率p0：计算各项系数（a=3k=0:分母求和：1+3+4.5+4.5=13p⑤敌机未遭射击的概率（损失概率ploss）：p意味着约34.62%的敌机能成功突防。⑥优化服务台数试试=试试结论：应至少设置7个瞄准系统。9.某汽车修理部有4个修理工，每个修理工可以单独修理汽车，也可以和其他修理工合作共同修理汽车。前来修理部寻求修理的汽车按泊松流到达，平均每天到达2辆。当修理部内有4辆汽车时，后来的汽车将离去。修理一辆汽车所需时间服从负指数分布，若一个修理工修理一辆汽车，则平均需3天；若两个修理工修理1辆汽车，则平均需2天；若3或4个修理工修理一辆汽车，则平均需1.5天。试求：①画出系统状态转移图；②求系统状态概率；③求系统损失率；④求系统中平均的汽车数量；⑤求每辆汽车在系统中逗留的时间。解：依题意，因为修理工可以相互合作也可以单独工作，可以把他们看成最多有4个服务台的一个修理小组，所以该系统为M/M/4/4/∞/FCFS损失制排队系统。辆／天，修理部的修理速度是一个变化的参数，具体如下：；；；。（1）状态转移速度图：001234（2）系统状态概率：；；；。由可得，；。（3）系统损失率。（4）系统中平均的汽车数量。（5）每辆汽车在系统中逗留的时间首先，。因此，每辆汽车在系统中的逗留时间。补充题：某厂医务室有2名同等医疗水平的大夫。已知患病者按泊松流来医务室求诊，平均每小时到达15人；诊病时间平均每人6min，且服从负指数分布；医务室最多能容纳6位病人，若已有6位病人，后来的病人会到别处就诊，问：（1）医务室空闲的概率；（2）在医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人各为多少？（3）每位病人平均在医务室等待的时间是多少？解：依题意，该系统为M/M/2/6/∞/FCFS混合制排队系统。人／小时，人／小时，系统容量为6个人，超过则到别处就诊。（1）医务室空闲的概率：（2）排队等待就诊的病人：逗留的病人：（3）二、排队系统优化1.今有两名工人同时负责修理6台同类设备，若设备故障按泊松流发生，且λ=①p0②今若每一修理工人负责修理3台同类设备，试与上述合在一起的系统进行比较分析。解：①合并修理（M/M/2/6/6模型）：参数：p0计算p将n=0,1,2,3,4,5,6代入上式子，得到：i=0p指标计算：LLλW②方案二：分组修理（2个独立的M/M/1/3/3模型）参数：ppppL方案二总故障数方案二完好率：结论：方案一（合并）优于方案二（分组）某检验中心为各工厂服务，要求作检验的工厂到来服从泊松流，λ=48（次/天），每次来检验由于停工等原因损失6元。服务时间服从负指数分布，μ=25（次/天），每设置一个检验员成本为4元/天。其他条件符合标准的解：根据题意，顾客到达服从泊松流，服务时间服从负指数分布，属于M/M/c排队系统。到达率(λ)：48次/天服务率(μ)：25次/天服务台数(c)：待定变量（检验员人数）服务成本系数(Cs损失成本系数(Cw)：6元/次（固定停工损失建立目标函数：我们的目标是使每天的总费用期望值(Z)最小。总费用由服务成本和停工损失两部分组成：服务成本(Z1)：与检验员人数cZ停工损失(Z2)：题目给出“每次来检验损失6元”。这是一个与排队等待时间无关的固定成本，Z总目标函数(Z)：Z(c)=为了保证排队系统能够正常运行（即不会无限排队，达到稳态），服务强度ρ必须小于1：ρ=代入数值得到：48解得：c>由于检验员人数c必须为整数，因此c的最小取值为2。即：c≥2

我们需要在满足c≥2的条件下，最小化目标函数Z(c)=4c+288。显而易见，函数Z(c)是关于c的单调递增函数（检验员越多，每天支付的工资越高，而停工损失固定不变）。因此，取满足约束条件的最小值即为最优解：当c=2时：Z(2)=4此时服务强度ρ=48当c=3时Z(3)=4总费用增加。结论：应设置2个检验员，此时总费用期望值为最小（296元）。3.某厂有一机修组专门修理某种类型的设备。已知该设备的损坏率服从泊松流，平均每天2台。修复时间服从负指数分布，平均每台修理时间为。但是一个与机修人员多少及维修设备机械化程度（即与修理组织年开支费用）等有关的函数。已知：（元）；又已知设备损坏后，每台每天的停产损失为400元，试决定该厂修理最经济的值及值。（提示：以一个月为期进行计算）[解]题意分析。这是等待制排队系统，到达率=2台/天，服务率。每台机子在系统中的逗留时间天，因此，逗留费用为。结合修理组织每月开支费用为，目标函数是最小化一个月（周期为30天）的总费用。首先，画出系统状态转移速度图如下。0012……图10系统状态转移速度图对于等待制排队系统，可以计算出，船只平均逗留时间：。有效到达率，。（由得出）令一阶导数得，，即。（注，二阶导数大于零）4.设一套卸货设备，每次只能给一条船卸货，每周到达船数是服从参数为的泊松分布，卸货时间服从参数为的负指数分布。设卸货费用与卸货速度成正比，其值为，船艇在码头上的费用与时间成正比，其值为，和均为常数，