河北衡水中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题（含答案）

2025－2026学年度高三年级上学期综合素质评价四数学学科主命题人：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（）．A B. C. D.2.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.3.设,且,则（）A. B. C. D.4.已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.5.若，且，则直线必不过（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知，．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.不充分也不必要8.已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与平面所成角正弦值为B.点到平面的距离为2C.直线与所成角的正切值是2D.平面截正方体所得的截面面积为10.已知直线，圆，则（）A.，与相交B.，使得圆心到距离为C.当圆截所得的弦长为时，的值为D.当圆上有个点到的距离为时，11.从数列中选取第项、第项、、第项，并按原顺序构成新数列称为数列的“连续子列”．已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列．则下列判断正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________.13.已知函数只有一个极值点，则实数的取值范围为________.14.已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．15.等差数列的前n项和为，数列满足（1）求数列和的通项公式；（2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和．16.如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．（1）是否可能是的垂心，请说明理由（2）若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小．17.在中，角，，对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若点为边的中点，点，分别在边，上，，.设，的面积为，求的取值范围.18.如图1，在平面五边形中，，，，，将三角形沿着向上翻折至三角形，得到四棱锥，如图2所示.（1）求证：；（2）若平面平面，（i）求平面与平面所成角的余弦值；（ii）点在线段上，设平面将四棱锥分为两个多面体，其中点所在的多面体体积为，另一个多面体体积为，若，求点到平面的距离.19.已知函数（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若有3个零点，，，且.（i）求实数的取值范围；（ii）比较与的大小，并证明你的结论.参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2.C.3.C.4.D5.D6.D.7.C．8.C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.ABD.10.ACD.11.ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13.或.14.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．15.（1）因数列是等差数列，则，得，又，所以，所以等差数列的公差，则，因，则当时，，两式作差得，即，令，得，则，满足上式，则，综上，数列的通项公式为，数列的通项公式为.（2）由（1）可得，，且，经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为，从而数列中去掉的是这4项，所以.16.（1）如图：假设是的垂心，则：，又因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又因为底面，所以，又平面，所以平面，所以，与底面是正三角形矛盾，所以不是的垂心.（2）因为平面，所以为所求的与平面所成角大小，取中点，连结，不妨设，则：，因为平面，所以：，又因为底面，所以，所以在三角形中，有，所以，所以，又，所以，所以与平面所成角大小为.17.（1）由及正弦定理得：，整理得，因，所以，所以，又，所以.（2）由及可知为等边三角形，∴，∴为边的中点，∴又因为，，所以.在中，，由正弦定理可得，，即.在中，，由正弦定理可得，，即.所以，因为，所以，所以，所以.所以，故的取值范围为18.（1）如图，连接，，因为且，，故四边形为矩形，因为，，由勾股定理得，且，又，由余弦定理得，所以，，所以，连接交于点，则等腰三角形中，为角平分线，也是垂线，所以.折叠之后有，，，平面，所以平面，又平面，所以.（2）（i）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，故，又，所以两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由于，，，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面与平面所成角为，，所以平面与平面所成角的余弦值为.（ii）设平面交直线于点，连接，，，，因为，平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，设，，则由∽得，，由（1）知平面，平面，所以，在平面内过点作于点，则平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面将四棱锥分成的含有点的部分为四棱锥，设梯形的面积为，故，因为，所以，所以，设梯形的面积为，四棱锥的体积为，由题意，，整理得，因为，所以，所以到平面的距离.19.（1）当时，，则，即，切线的斜率为，又，切点为，故在点处的切线方程为，即.（2）（i）函数，则，①当时，，在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉.②当时，，在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉.③当时，令，