人教A版必修第二册高一（下）数学6.3.2-6.3.4【课件】

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示1|平面向量的正交分解及坐标表示知识点1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.必备知识清单破2.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.

对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.

这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=

(x,y),此式叫做向量a的坐标表示.(2)在直角坐标平面中,以原点O为起点作

=a,则点A的位置由向量a唯一确定.设

=xi+yj,则向量

的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量

的坐标.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).重要结论:若A(x1,y1),B(x2,y2),则

=(x2-x1,y2-y1).2|平面向量线性运算的坐标表示知识点设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则向量a,b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.3|平面向量共线的坐标表示知识点知识辨析1.当表示向量的有向线段平移后,向量的起点和终点坐标是否会发生变化?向量的坐标是否

会发生变化?2.当两个非零向量共线时,通过坐标如何判断它们是同向还是反向?3.“设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔

=

”,这种表示正确吗?1.向量的起点和终点坐标会发生变化;向量的坐标不会发生变化,因为向量的坐标只与起点、

终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.一语破的2.当两个向量的对应坐标同号时,两向量同向;当两个向量的对应坐标异号时,两向量反向.3.不正确.当a,b中有一个为0或a,b的横坐标(或纵坐标)都为0时,不能用该式表示.1|平面向量线性运算的坐标表示及应用定点关键能力定点破1.平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行求解.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算.2.向量共线在几何中的应用可分为两个方面:一是已知两向量共线,求点或向量的坐标;二是

利用两向量共线,证明三点共线或两直线平行,当两向量有公共点时可确定三点共线,当两向

量无公共点时可确定两直线平行.如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,

用向量方法证明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三点共线.

典例

设|

|=1,则|

|=1,|

|=2,∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).(1)易得

=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),

=(0,1)-(1,0)=(-1,1),∴

=

,∴

∥

,又ED,BC不在一条直线上,∴DE∥BC.证明

如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,∵M为CE的中点,∴M

,∴

=(-1,1)-

=

,

=(1,0)-

=

,∴

=-

,∴

∥

.又MD与MB有公共点M,∴D,M,B三点共线.解题模板

用向量方法解几何问题的关键是根据图形特点建立恰当的平面直角坐标系,为了

计算方便,建系时要尽可能使更多的点落在坐标轴上,使更多的线与坐标轴平行(或垂直),利

用平面向量将复杂的几何问题转化为坐标的代数运算问题.(2)连接MB,MD,

直线l上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),在l上取不同于P1,P2的任意一点P,存在一个实数λ,使

=λ

,O为坐标原点,则有

=

+

,点P的坐标为

.特别地,当λ=1时,点P为P1P2的中点,点P的坐标为

.2|定比分点的坐标表示定点在平面直角坐标系中,点P1(0,1),P2(4,4),当P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.典例

解析

设P(x,y).当点P靠近点P1时,

=

,由定比分点