2024年大学数学微积分教学与建模应用

2024年大学数学微积分教学与建模应用

长期以来，微积分都是大学理工专业的基础性学科之一，也是学生普遍感觉难学的内容之一.

究其原因,既有微积分自身属于抽象知识的因素,也有教学过程中方法失当的可能,因此寻找更

为有效的教学思路，就成为当务之急。下面是我分享的大学数学微积分教学与建模应用，一起来

看一下吧。

一、数学建模的学习价值再述

从学生的视角纵观学生接受的教学，可以发现现在的大学生所经历的教学往往更多地将研究

重心放在教学方式上，基础教育阶段经历过的自主合作探究的教学方式，成为当前大学生的主流

学习方式.这种重心置于教学方式的教学思路，会一定程度上掩盖传统且优秀的教学思想，不幸

的是，数学建模就是其中之一.大学数学教学中，数学建模理应彰显出更充分的显性价值.现以微

积分教学为例进行分析.

大学数学教学中，微积分知识具有分析、解决实际问题的作用，其知识的建构也能培养学生

的应用数学并以数学眼光看待事物的意识与能力，而这些教学目标的达成，离不开数学建模.比

如说作为建构微积分概念的重要基础，导数很重要，而对于导数概念的构建而言，极值的教学又

极为重要，而极值本身就与数学建模密切相关.极值在微积分教学中常常以这样的数学形式出现:

设y=f(x)在x0处有导数存在，且f'(x)=0,则x=xO称为y=f(x)的驻点.又假如有f(x0)

存在，且有f'(x)=0,F(x)/0,则可以得出以下两个结论:如果f"(x)<0，则f(x0)

是其极大值；若f"(x0)>O，则f(x0)是其极小值.在纯粹的数学习题中，学生在解决极值

问题的时候，往往可以依据以上思路来完成，但在实际问题中，这样的简单情形是很难出现的，

这个时候就需要借助一些条件来求极值，而在此过程中，数学建模就起着重要的作用.譬如有这

样的一个实际问题：为什么看起来体积相同的移动硬盘会有不同的容量？给定一块硬盘，又如何

使其容量最大？事实证明，即使是大学生，在面对这个问题时也往往束手无策.根据笔者调查研

究，发现学生在初次面对这个问题的时候，往往都是从表面现象入手的，他们真的将思维的重点

放在移动硬盘的体积上.显然,这是一种缺乏建模意识的表现.

反之，如果学生能够洞察移动硬盘的容量形成机制（这是数学建模的基础，是透过现象看本

质的关键性步骤），知道硬盘的容量取决于磁道与扇区，而磁道的疏密又与磁道间的距离（简称

磁道宽度）有关，有效的磁道及宽度是一个硬盘容量的重要决定因素.那就可以以之建立一个极

限模型，来判断出硬盘容量最大值.从这样的例子可以看出，数学建模的意识存在与否，就决定

了一个问题解决层次的高低，也反映出一名学生的真正的数学素养.因而从教学的角度来看，数

学建模在于引导学生抓住事物的关键，并以关键因素及其之间的联系来构建数学模型，从而完成

问题的分析与求解.笔者以为，这就是包括数学建模在内的教学理论对学生的巨大教学价值.

事实上，数学建模原本就是大学数学教育的传统思路，全国性的大学生数学建模竞赛近年来

也有快速发展，李大潜院士更是提出了"把数学建模的思想和方法融入大学主干数学课程教学中

去”的口号，这说明从教学的层面，数学建模的价值是得到认可与执行的.作为一线数学教师，

更多的是通过自身的有效实践，总结出行之有效的实践办法，以让数学建模不仅仅是一个美丽的

概念，还是一条能够促进大学数学教学健康发展的光明大道.

二、微积分教学建模应用例析

大学数学中，微积分这一部分的内容非常广泛，从最基本的极限概念，到复杂的定积分与不

定积分，再到多元函数微积分、二重积分、微分方程与差分方程等，每一个内容都极为复利由象.

从学生完整建构的角度来看，没有一个或多个坚实的模型支撑，学生是很难完成这么多内容的学

习的.而根据笔者的实践，基于数学建模来促进相关知识的有效教学，是可行的.

先分析上面的极限例子.这是学生学习微积分的基础，也是数学建模初次的显性应用，在笔

者看来该例子的分析具有重要的奠基性作用，也是一次重要的关于数学建模的启蒙.在实际教学

过程中，笔者引导学生先建立这样的认识：

首先，全面磔计算机硬盘的容量机制，建立实际认识.通过资料查询与梳理,学生得出的

有效信息是：磁盘是一个绕轴转动的金属盘；磁道是以转轴为圆心的同心圆轨道；扇区是以圆心

角为单位的扇形区域.磁道间的距离决定了磁盘容量的大小，但由于分辨率的限制，磁道之间的

距离又不是越小越好.同时，一个磁道上的比特数也与磁盘容量密切相关，比特数就是一个磁道

上被确定为1B的数目.由于计算的需要，一个扇区内每一个磁道的比特数必须是相同的(这意

味着离圆心越远的磁道，浪费越多).最终，决定磁盘容量的就是磁道宽度与每个磁道上的比特

数.

其次，将实物转换为数学模型.显然，这个数学模型应当是一个圆，而磁盘容量与磁道及一

个磁道的容量关系为：磁盘容量二磁道容量x磁道数.如果磁盘上可以有效磁化的半径范围为r至

R,磁道密度为a,则可磁化磁道数目则为R-ra.由于越靠近圆心，磁道越短，因此最内一条磁道

的容量决定了整体容量，设每1B所占的弧长不小于b，于是就可以得到一个关于磁盘容量的公

式：B(r)=R-ra2nrb.

于是，磁盘容量问题就变成了求B(r)的极大值问题这里可以对B(r)进行求导，最终可

以发现当从半径为R2处开始读写时，磁盘有最大容量.

而在其后的‘反思中学生会提出问题：为什么不是把整个磁盘写满而获得最大容量的？这个

问题的提出实际上既反映了这部分学生没有完全理解刚才的建模过程，反过来又是一个深化理解

本题数学模型的过程.反思第一步中的分析可以发现，如果选择靠近圆心的磁道作为第一道磁道，

那么由于该磁道太短，而使得一个圆周无法写出太多的1B弧长(比特数),进而影响了同一扇

区内较长磁道的利用；反之，如果第一磁道距离圆心太远，又不利于更多磁道的利用.而本题极

值的意义恰恰就在于磁道数与每磁道比特数的积的最大值.通过这种数学模型的建立与反思，学

生往往可以有效地生成模型意识，而通过求导来求极值的数学能力，也会在此过程中悄然形成.

又如，在当前比较热门的房贷问题中，也运用到微积分的相关知识，更用到数学建模的思想.

众所周知，房贷还息有两种方式：一是等额本金，一是等额本息.依据这两种还款方式的不同，

设某人贷款额为A,利息为m,还款月数为n,月还款额为x.根据还款要求，两种方式可以分别

生成这样的数学模型：

xl=Am(1+m)n(l+m)n-1,

x2=Amemnemn-l.

显然，可以通过微积分的相关知识对两式求解并匕啜出xl和x2的大小，从而判断哪种还

款方式更为合理.在这个例子当中，学生思维的关键点在于对两种还款方式进行数学角度的分析，

即将还款的相关因子整合到一个数学式子当中去，然后求解.实际上本题还可以进一步升级,即

通过考虑贷款利率与理财利率，甚至CPI,来考虑贷款基数与利差关系，以求最大收益.这样可

以让实际问题变得更为复杂，所建立的数学模型与所列出的收益公式自然也就更为复杂，但同样

能够培养学生的数学建模能力.限于篇幅，此不赘述.

三、大学数学建模的教学浅思

在实际教学中笔者发现，大学数学教学中，数学建模有两步必走：

一是数学建模本身的模式化过程.依托具体的教学内容，将数学建模作为教学重点，必须遵

循这样的四个步骤：合理分析；建立模型；分析模型；解释验证.其中合理分析是对实际事物的

建模要素的提取，所谓合理，即是要从数学逻辑的角度分析研究对象中存在的逻辑联系，所谓分

析即将无关因素去除建立噗型实际上是一个数学抽象的过程招实际事物对象抽象成数学对象，

用数学模型去描述实际事物)务实际问题中的已知与未知关系转换成数学上的已知条件与待求问

题；在此基础上利用数学知识去求解；解释验证更多的是根据结果来判断模型的合理