2024年厦门大学强基计划数学笔试试题（解析版）

2024年厦门大学强基计划数学笔试试题

I对于〃也问0,2],〃附0=g+历+后的最大值为（）

A.3B.2+72C.3&D.以上全错

【答案】B

【解析】

【分析1不妨设。之〃Nc,由重要不等式得工+工W42（a-b+b-c）=J2（〃一c）,再根据

〃,b,ce[0,2]得a-c«2即可.

【详解】不妨设aNbNc,

则J|〃一3+y]\b-c\+y]\c-a\=\la-b+\lb-c+\Ja-c

因为\ja-b+\Jb-c<12（a-b+b-c）=’25-（?）,

当且仅当，T花=病工取等号，

所以yj\a-b\+y]\b-c\+y]\c-a\=Jv-J+\Jb-c4-\[a-c

K42（a-b+b-c）+\/ci—c=（、5+1）5/ci—cK2+A/2.

当且仅当4=2,〃=1,c=0时等号成立.

所以的最大值为2+JL

故选：B.

2.对•于命题p,%以下逻辑正确的有（）

A.如果〃真，则q真

B.如果〃真，则9真，那么q假，则〃假

C.如果〃真且“真，则〃真

D.如果p式,则〃或“真

【答案】D

【解析】

【分析】举反例可以排除A、B选项，逻辑推理可以排除C.

【详解】对A选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题/2>3,命题〃为真命题，但命题q为假命

题,故A错误；

对B选项，令命题〃：正方形是平行四边形，命题/2<3,满足〃真，则q真，所以q假为假命题，则

〃假也是假命题，

令命题m：因为假命题”是一个假命题，命题〃：“〃为假命题”是一个假命题，

那么“若q假，则〃假”等价于“若用真，则〃真"，参考A选项，可知B错误；

对C选项，若“p真且。/真”为假命题，则〃可能为假；故C错误；

对D选项，若〃真，则〃与夕的真假分以下两种情况：〃真或q真，〃真或假，这两种情况〃或夕均为

真，故D正确，

故选：D.

3.对于XE,则3(x)=Jsin丸+Jcosx的值域为()

A.[1,2]B.[1,啦]C.[1,我]D.以上全错

【答案】C

【解析】

【分析】把函数先平方，利用换元法/=sill式+CQSA；利用，的取值范围和函数的单调性求值域.

7T

【详解】因为工£0,y,所以OWsinxWl,0<cosx<l,

设y=Jsinx+x/cosx,贝Uy2=sinx+2>/sinxcosx+cosx.

再设r=sinx+cosx=V^sin[x+工],因为x+色©—所以1£口,血],

I4；4144.

且sinx•cosx=----

2

所以y2=/+2/21=/+y/2\]t2—1,/£[1,.

观察可知，在[1,3],),2=/+四户工为增函数，

又1=1时，)7=1；7=0时，/=242,所以

又y>0,所以IWyW亚西=近・

故选:C

4.若/(M可导，F(x)=/(x)(l+|sinx|),则“/⑼二。是尸("在x=0处可导”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先考虑充分性，即由/(0)=0,利用极限思想可得，］而殁匕%=/'(0),即得FQ)在x=0

IX

处可导，再考虑必要性，由/(%)在x=0处可导，分工.(T和工.0+两种情况讨论导函数在犬=0处附近

的取值得到r(o)—/(o)=r(o)+/(o),即得结论.

【详解】若/(0)=0,则］im:⑸一/⑼=lim/(力0+卜mx|)=..二尸(0)，故/⑶在x=0

A->0xXTOxXT。X

处可导；

即“/(O)=0是FQ)在x=0处可导”的充分条件；

若F0)在x=0处可导，当工.0一时，F(x)=/(x)(l-sinx),则

尸'(x)=r(x)(l-sinx)-JQ)cosx,

当上.()+时，F(x)=/(x)(l+sinx),则F(x)=/r(x)(l+sinx)+/(x)cosx,

故lim尸。)一尸(°)=/，(o)_y(0),|im玳幻一「⑼二八0)+f(0),

J->0-xXTO，x

于是r(o)-/(o)=r(o)+/(o),故得/(o)=o.

即F(x)在x=0处可导；即“/(O)=O是F(x)在x=0处可导”必要条件.

故选:A.

2I

5.=x=10和y=()围成的三角形内部和边上的整点有()个.

A.35B.36C.37D.38

【答案】C

【解析】

21

【分析】做出直线y=图像，依据图像进行求解.

［尸

【详解】"xX=1O

oXJ-O、

X

故选:B

7.用九种颜色给一个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同(若两种涂色方法可以通过旋转使得每个面的

颜色一对应，则算作一种涂色方法)共有()种涂色情况.

A.121B.454C.621D.以上答案均不对

【答案】D

【解析】

【分析】先求出不考虑旋转的条件下的涂色情况；再求出四面体旋转方式的总数，即可求解.

【详解】若不考虑旋转的情况，共有A：=3()24,而四面体共有4x3=12种旋转方式，故共有

%=252.

12

故选：D

8.4,8均为实数，X为任意正数，-恒成立，则可得()

A.A=BB.A<B

C.A>BD.无法确定A与8的大小关系

【答案】A

【解析】

【分析】根据恒成立问题将已知条件转化为14-8区0,再结合绝对值的性质求解即可.

【详解】因为-对任意的正数X恒成立，

则只需IA—3区0,

又所以|A-B|=0,即A=8.

故选：A.

9.有左个水果，三个三个取剩余两个，五个五个取剩余三个，七个七个取剩余两个，则()

A.2<100时，则2的值唯一确定

B.10()<攵v2(X)时♦，%的值唯一确定

C.100<攵<300时，k的值唯一确定

D.不存在满足条件的人值

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题意得到左=23+105〃(〃£N),再逐个分析选项即可判断.

【详解】因为有匕个水果，三个三个取剩余两个，五个五个取剩余三个，七个七个取剩余两个，

所以2—2是21的倍数，上一3是5的倍•数，

所以令A—2=wN"),则％—3=21，〃一1,

显然，当〃?=1时，满足攵-3是5的倍数，所以2=23是攵的其中一个取值，

又3x5x7=105,所以攵=23+105〃(〃EN),

对于A,当攵<100时，2可以唯一确定％=23,故A正确；

对于B,当100vZv200时，k可以唯一确定％=128,故BE确；

对干C,当100vZ<300时，攵=128或左=233,故C错误；

对干D,由选项ABC可知，D错误.

故选：AB.

10./(x)=or+),若对任意|/(x)归2恒成立，则"可能的最值为()

A.-8B.4C.-2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】而转化为[/⑴-/(())]•/(0)，根据二次函数配方求最值，再分析等号成立条件即可得解.

【详解】因为/(0)=。,/(1)=々+〃，

L-12

所以"=[")—/(())]•/(0)=一/(0)十/(1)〃0)=—/(0)-1/(1)十:r(1),

故，必W—/2(I)W—X22=1,

4,4

当f(0)=gf(l),=即2〃=々+〃=2或»=〃+人=一2时，

也即。=〃=1或。=人=一1时等号成立.

故选：D

22

11.A=[X\X-2X-3<0],B={x\x+px+q<0}t若408=[-1,2),则以下结论错误是

()

A.p>-\B.p<-\C.q<-2D.2p+q=-4

【答案】B

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,再由交集的结果，可知方程/十〃x+q=O有两个实数根4,

公(不＜七)，否＜一且々=2,结合韦达定理计算可得.

【详解】由丁一2%一3«0得(x+l)(x-3)W。，解得一1«上＜3,所以A={M-1＜X«3},

因为AcB=[-l,2),8={幻犬+px+q＜0},

所以方程f+〃x+g=O有两个实数根A,x2＜x2),X]V—1且々=2,

所以2〃+(7=-4,故D正确：

又占+看=一〃＜一1+2,所以〃＞一1,故A正确，B错误:

q=xxx2<-2,故C正确.

故选:B

20242024।

”.㈤表示不超过工的最大整数,则£[怛攵]+£1g-

*=1*=iL女

【答案】-2020

【解析】

【分析】先分类讨论[可+[—目的取值，再运用到原式当中即可得到结果.

【详解】若x是整数，贝+E[+[T]=X+(—X)=0；

若工不是整数,则X-3«0,1),故1T+㈤£(0,1).

而一国-1是整数,--r=-[x]-l+(l-x+[x]),故由1一支+国£(0,1)知[一无]=一国一1,所以

[小EI.

记为二[lgk]+1g；,则%=[但打+1g）=[lgk]+[-lgZ].

对1V/K2024：

当丘｛1,10,100,1000｝时，IgZ是整数，所以4=[怆〃]+[-怆句=0：

当丘{1,10,1(X),1000}时，1g攵不是整数，所以4=[也h+卜怆打=-1.

20242024Ti120242024

故ZMH+Z怛7=Z（[lgM+[Tg"]）=Z%=（T）x（2024—4）=—2020.

t=i«=iLk]«=]*=1

故答案为：—2020.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对向下取整函数定义的理解.

13.若a,。除夕的余数相同，则称“，关于同余，记作。三人(modq),则()

A.若a三〃(mod〃)且c三d(mod〃)，则a+c三〃+d(modp)

B.若a三Z?(modp)且c="(modp),则ac=4/(mod〃)

C.若a三〃(modp)且a三Z?(modq),则a=〃(modpq)

D.若a三力(modp),则a"'4=*4(modp)

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据同余的概念与性质，可以判断.

【洋解】对于A选项，因为a三方(mod”)，所以p|(。一匕)，同理p|(c-d),

所以川[(〃一〃)+(《:-4)],所以川[(〃+4:)-(〃+4)].

所以a+c三Z?+"(mod〃)，所以o+c三力+d(mod〃)，故AE确；

对于B选项，因为ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-Z?)+Z?(c-d),

又“三/?(modp)则p|(a-b),c三d(modp)则p|(c-J)

所以〃l(ac-〃d)，所以ac三仇/(mod〃)，故B正确；

对于C选项，根据同余的概念与性质，〃与q必须互质，该选项才正确，故C错误；

对于D选项，由选项B可知，D正确，

故选:ABD.

14.单位圆内接VABC,取sin4,sin8,sinC作边长构成新△A?C,则()

A.能构成新△A'3'C,且S热HC>；S△诋

B.能构成新△A6C,且S58c

C.能构成新△A3'C*,且5澳附'</SAABC

D.不能构成新△4'

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理分析可知sinA=g,sinB=2,sinC=£,结合比例关系可知V4BC:V4'9。,

222

进而可得面枳关系.

【详解】在VA3C中，设角A8C对应的边为反c

由正弦定理可得：_^=2,即sinA=q,sin3=2,sinC=£,

sinAsinBsinC222

即a:〃：c=sinA:sin8:sinC,

可知能构成新△A3'C,且VA3C:VAB'C,

所以SVAWC=WS&ABC<5S4ABC,

故选：C.

15./(x)^(-x),/(x)的导函数为g(x),则()

A.g(r)=〃x)B.g(_x)=/(—x)

Cg(r)=g(x)Dg(T)=-g(x)

【答案】D

【解析】

【分析】对/(尢)="一工)两边求导可得8(—刈=—8(力，C错误，D正确，举出反例得到AB错误.

【详解】CD选项，〃力于'(一X)两边求导得r3=f(T).(_x)'=_/，(_1),

故g(x)=-g(—X)，g(-x)=-g(x),C错误，D正确，

AB选项,可令/(x)=f,满足/(x)J(r),

r(x)=2x,即g(x)=2x,可以得到g(-l)=-2w/(l),晨-1)二-2//(一1),AB错误.

故选：D

16.在30以内的所有素数中，随机选取若干个，使得它们的和为30的概率是______.

【答案】3

341

【解析】

【分析】首先列举出30以内的所有素数，利用二项式定理求出总数，求解出结果.

【详解】30以内的所有正素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,

随机选取共有2爪—1=1023个,和为30的情况为{7,23},{11,19},{13,17},{2,5,23},{2,11,17),

口，^〃，⑶故所求概率二焉二白.

17.^(x)=/(x)(x2-x+l),贝"(0)=0是g(x)在冗=0处可导的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】从充分性和必要性两个方面进行推到论证即可.

详解】充分性：

若/⑼=0，

^,|x)=/\x)(x2-x+l)+/(x)(x2-x+l)=/r(^)(x2-x-Fl)+/(x)(2x-l)

所以，(。)=/"(0)-/(0)=/'(0)，因此g(x)在x=0处是否可导,还需要看f(x)在x=0处是否可导,

因此不具备充分性；

必要性：

^,|x)=/\x)(x2-x+l)+/(x)(x2-x+l)=/r(x)(x2-x4-l)+/(x)(2jf-l)

^|O)=r(O)-/(O),g(x)在x=0处可导只能代表r(o)-〃o)有意义，不能得出/(0)=0,因此

不具备必要性；

故选：D.

18.若正整数上满足x三2(mod7),x三3(mod5),x=2(mod3),如果x<100,则x是否唯一确认？

若100vx<200,则x是否唯一确定？若200vxv300,则x是否唯一确定？()

A.若xvlOO,则x是唯一.确认；其他均不唯一

B.若100<xv200,则x是唯一确认；其他均不唯一

C.若200cx<300,则x是唯一确认；其他均不唯一

D.三个都唯一

【答案】D

【解析】

【分析】由中国剩余定理得到x=23+105hZwN,从而作出判断.

详解】由中国剩余定理可得x=23+105hZwN,x<100,%可以唯一确定x=23；

若100<x<200,x可以唯一确定x=128；若200cx<300,x可以唯一确定x=233.

故选：D

19.已判断自然数集与以下哪些数集等势()

A.实数集B.整数集C.无理数集D.以上均是

【答案】B

【解析】

【分析】由等势集的定义可以判断

【详解】若存在从集合A到集合B的一一对应，则称A与B等势，相应地，称A、B为等势集，根据定

义与自然数集对等的集合称为可列集，即集合元素可列举，

故选：B.

20.已知定义在/内的函数/(x)满足/〃(6>0,若r(x)>(),对于Vo,bwl,比较•/(〃)：/“”与

7/(。)+/俗)+4/(空】的大小关系()

/⑷+/(叽1，/、c小4Ad+b\

f(a)+f(h)+4f——

26

/(〃)+2)/

---------------<一

26…+收

1

/⑷+/(份+4弁绊、

C->-

26

D.1⑷"f(a)+f(b)+4f

26

【答案】A

【解析】

【分析】作差后，利用函数的导数可知函数下凸，即可得出差的正负，得出结论.

【详解】

W)1(a+bf(a)+f(b)2a+b2f(a)+/S)于(a+b)

/(〃)+2)+”/

26342)3

由f〃(x)>0,故由jensen不等式可得,

乙;乙)

故丁日a+b

/•(/+/@+4/

故迄A

2024年厦门大学强基计划数学笔试试题

I对于〃也问0,2],〃附0=g+历+后的最大值为（）

A.3B.2+72C.3&D.以上全错

2.对于命题p,q,以下逻辑正确的有（）

A.如果〃真，则夕真

B.如果〃真，则q真，那么夕假，则〃假

C.如果〃真且q真，则〃真

D.如果〃真，则〃或q真

3.对于工£0,y,则/（x）=Jsinx+Jcosx值域为（）

A.[1,2]B.[1,啦]C.[1,盘]D.以上全错

4.若/（X）可导，尸3=/3（1+卜inx|）,则“/（。）=。是"3在x=0处可导”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.），=彳X-[，/=10和y=。围成的三角形内部和边上的整点有（）个.

A.35B.36C.37D.38

6./*）-tanxsinx-sinx-tanx+l在[0,2元]上的零点个数（）

A.1B.2C.3D.4

7.用九种颜色给•个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同（若两种涂色方法可以通过旋转使得每个面的

颜色一对应，则算作一种涂色方法）共有（）种涂色情况.

A.121B.454C.621D.以上答案均不对

8.4,B均为实数,X为任意正数，|A-8|KX恒成立，则可得（）

A.A=BB.A<B

C.A>BD.无法确定A与B的大小关系

9.有&个水果，三个三个取剩余两个，五个五个取剩余三个，七个七个取剩余两个，则（）

A.A<100时，则k的值唯一确定

B.100<Zv200时，k的值唯一确定

C.100<Zv300时，女的值唯一确定

D.不存在满足条件的左值

10.f[x)=ax+b,若对任意xe[0J|,|/(x)归2恒成立,则出?可能的最值为()

A.-8B.4C.-2D.1

22

11.A={X\X-2X-3<0},B={x\x+px+q<0}f若4n3=[f2),则以下结论错误的是

A.p>-\B.p<-\C.q<-2D.2p+q=-4

20242024-।

12.[x]表示不超过工的最大整数，则£[也修+21g-=_____.

JI=I*=iLk.

13.若a,。除的余数相同，则称。，)关于q同余，记作。三b(modq),则()

A,若〃三〃(mod〃)且c三d(mod〃)，则a+c三〃+d(mod〃)

B.若〃三〃(mod〃)且c三d(mod〃)，则ac三bd(m(xl/?)

C.若a三Z?(mod〃)且a=b(modq),则a三b(modpq)

D.