大学（统计学）概率论与数理统计2026年综合测试题及答案

大学（统计学）概率论与数理统计2026年综合测试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内）1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则随σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}（）A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定2.设X1,X2,X3相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布，则下列随机变量中服从泊松分布的是（）A.X1+X2+X3B.X1+X2C.X1-X2D.(X1+X2)/23.已知随机变量X和Y的联合概率密度为f(x,y)，则X的边缘概率密度fX(x)=（）A.∫f(x,y)dyB.∫f(x,y)dxC.f(x,y)D.f(x,y)/∫f(x,y)dxdy4.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X1,X2,...,Xn为样本，则样本均值X̅服从（）A.N(μ,σ²/n)B.N(μ,σ²)C.N(0,1)D.N(nμ,nσ²)5.若随机变量X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ²，则由切比雪夫不等式有P{|X-μ|≥3σ}≤（）A.1/9B.1/3C.3D.96.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，X1,X2,...,Xn为样本，则θ的矩估计量为（）A.2X̅B.X̅C.X̅/2D.nX̅7.设X1,X2,X3是来自总体X的样本，且E(X)=μ，D(X)=σ²，则下列统计量中不是μ的无偏估计量的是（）A.(X1+X2+X3)/3B.(X1+2X2)/3C.(X1-X2+X3)/3D.X18.设随机变量X服从参数为n,p的二项分布B(n,p)，则当n充分大时，X近似服从（）A.N(np,np(1-p))B.N(n,p)C.N(0,1)D.N(p,np(1-p))9.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，σ²已知，μ未知，X1,X2,...,Xn为样本，则μ的置信水平为1-α的置信区间为（）A.(X̅-zα/2σ/√n,X̅+zα/2σ/√n)B.(X̅-tα/2(n-1)S/√n,X̅+tα/2(n-1)S/√n)C.(X̅-zα/2S/√n,X̅+zα/2S/√n)D.(X̅-tα/2(n)S/√n,X̅+tα/2(n)S/√n)10.在假设检验中，原假设H0，备择假设H1，则犯第一类错误的概率α是指（）A.P{接受H₀|H₀为真}B.P{拒绝H₀|H₀为真}C.P{接受H₀|H₁为真}D.P{拒绝H₁|H₁为真}二、多项选择题（总共5题，每题4分，每题至少有两个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内，少选、多选、错选均不得分）1.设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则下列说法正确的是（）A.P{X<0}=0B.P{X<0}=0.5C.P{|X|<1}=2Φ(1)-1D.P{|X|>1}=2(1-Φ(1))2.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X1,X2,...,Xn为样本，样本均值X̅，样本方差S²，则下列结论正确的是（）A.X̅与S²相互独立B.(nS²)/σ²服从χ²(n-1)分布C.(X̅-μ)/(S/√n)服从t(n-1)分布D.(n-1)S²/σ²服从χ²(n-1)分布3.设随机变量X和Y的相关系数为ρXY，则下列说法正确的是（）A.ρXY=Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))B.|ρXY|≤1C.ρXY=0时，X与Y不相关D.ρXY=1时，X与Y完全正相关4.设总体X服从泊松分布P(λ)，X1,X2,...,Xn为样本，则下列关于λ的估计量中，是无偏估计量的有（）A.X̅B.(X1+X2)/2C.(X1+X2+X3)/3D.nX̅5.在假设检验中，关于检验功效1-β的说法正确的是（）A.1-β是指当H₁为真时拒绝H₀的概率B.1-β越大，检验效果越好C.1-β与α有关D.1-β与样本容量n有关三?判断题（总共10题，每题2分，请在括号内打“√”或“×”）1.若随机变量X的分布函数F(x)连续，则X为连续型随机变量。（）2.设X1,X2,X3相互独立，且都服从正态分布N(0,1)，则X1²+X2²+X3²服从χ²(3)分布。（）3.若随机变量X和Y的联合分布函数F(x,y)=F1(x)F2(y)，则X和Y相互独立。（）4.样本均值X̅是总体均值μ的无偏估计量，且是所有无偏估计量中方差最小的。（）5.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，σ²已知，μ未知，在显著性水平α下对μ进行假设检验，当样本容量n固定时，α越小，犯第二类错误的概率β越大。（）6.若随机变量X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=1/λ，D(X)=1/λ²。（）7.设总体X服从均匀分布U(0,1)，X1,X2,...,Xn为样本，则样本极差R=max{X1,X2,...,Xn}-min{X1,X2,...,Xn}的数学期望E(R)=(n-1)/(n+1)。（）8.若随机变量X和Y满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，则X和Y不相关。（）9.在区间估计中，置信水平1-α越大，置信区间长度越长。（）10.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，σ²未知，μ已知，在显著性水平α下对σ²进行假设检验，应采用χ²检验法。（）四、简答题（总共3题，每题10分）1.简述正态分布的性质，并说明其在概率论与数理统计中的重要性。2.什么是参数估计？参数估计有哪些方法？请分别简要介绍。3.说明假设检验的基本思想和步骤。五、计算题（总共2题，每题15分）1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={2,0<x<1,0<y<x;0,其他}，求：(1)X的边缘概率密度fX(x)；(2)Y的边缘概率密度fY(y)；(3)X与Y的协方差Cov(X,Y)。2.已知某批零件的长度X服从正态分布N(μ,σ²)，现从中随机抽取16个零件，测得长度如下（单位：cm）：12.1512.1212.0112.0812.0912.1612.0312.0612.1312.0712.1112.0812.0112.0312.0612.14求：(1)样本均值X̅和样本方差S²；(2)μ的置信水平为0.95的置信区间（已知t0.025(15)=2.1315）。答案：一、选择题1.C2.A3.A4.A5.A6.A7.D8.A9.A10.B二、多项选择题1.BCD2.BCD3.ABCD4.AC5.ABCD三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.正态分布性质：关于x=μ对称，在x=μ处取得最大值等。重要性：广泛应用于自然、社会等领域，是许多统计方法的理论基础，如中心极限定理与正态分布相关。许多随机现象近似服从正态分布，便于进行分析和处理。2.参数估计是用样本统计量估计总体参数。方法有：点估计，如矩估计、极大似然估计，直接给出参数估计值；区间估计，给出包含参数的区间及置信度，反映估计精度和可靠性。3.基本思想：基于小概率事件原理，先对总体参数提出假设，再据样本数据判断假设合理性。步骤：提出原假设和备择假设；选检验统计量；确定显著性水平；求临界值；计算统计量值并与临界值比较；得出结论，若统计量值在拒绝域则拒绝原假设。五、计算题1.(1)\(f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\int_{0}^{x}2dy=2x,0<x<1\)。(2)\(f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx=\int_{y}^{1}2dx=2(1-y),0<y<1\)。(3)\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\frac{2}{3}\)，\(E(Y)=\int_{0}^{1}y\cdot2(1-y)dy=\frac{1}{3}\)，\(E(XY)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}xy\cdot2dydx=\frac{1}{4}\)，\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=-\frac{1}{36}\)。2.(1)\(X̅=\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}x_i=12.08\)，\(S^2=\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{16}(x_i-X̅)^2=0.0024\)。(2)置信区间为\((X̅